移動車輛作用下大跨度懸索橋梁端縱向位移機理

黃國平， 胡建華， 華旭剛， 王連華, 崔劍峰

(1. 湖南大學 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室， 長沙 410082； 2. 湖南城市學院 土木工程學院， 湖南 益陽 413000；3. 湖南省交通水利建設集團有限公司， 長沙 410004； 4. 湖南省交通規劃勘察設計院有限公司， 長沙 410011)

隨著我國交通基礎建設的快速發展，大跨度公路懸索橋不斷應用于跨越大峽谷、跨海及聯島工程中。然而大跨懸索橋輕柔，在荷載及環境作用下極易發生位移與振動，因此懸索橋剛度、振動問題一直是大跨橋梁領域的研究熱點。近年來有研究表明，大跨度懸索橋端部附屬設施諸如伸縮縫、阻尼器的疲勞及耐久性與加勁梁端部不斷往復運動的特性有關；服役環境下，交通荷載導致懸索橋主梁梁端產生巨大累積位移是端部附屬設施磨損破壞的重要原因之一[1-4]；日常行車條件下，主梁頻繁的縱向運動與主纜產生較大的相對縱向位移，可能導致短吊桿過早失效[5]；此外，車輛活載作用下主梁梁端亦可能發生過大轉角而影響行車安全及舒適性[6]。因此，深入研究懸索橋梁縱向振動規律及加勁梁端部運動特征、其產生機理及影響因素等相關問題十分必要。

就懸索橋而言，針對縱向振動及梁端位移問題的研究，以往較多關注的是地震作用下的振動與控制相關研究，如為防止過大梁端位移而損壞端部附屬設施或端部碰撞問題[7-8]。而在車輛作用下多是涉及豎向振動及撓度問題[9-10]，以及車輛變速行駛(即加速或制動)下的振動問題，如王江浩[11]、沈銳利等[12]探討了不同縱向約束體系對鐵路懸索橋在列車制動力作用下的梁端位移和梁端速度影響；陳榕峰等[13]開展了對勻加速行駛車輛的車橋耦合振動的研究。對于日常行車條件，有少量文獻從長期健康監測、及數值計算[14-15]等方面探討了移動車輛導致的梁端位移；但上述研究均未涉及移動車輛與懸索橋縱向振動現象背后的動力學本質機理。

為此，本文首先以撓度理論為基礎，分析懸索橋在非對稱豎向荷載作用下的變形特征以及由此導致的梁端縱向靜位移；以移動荷載簡化模擬行駛車輛，推導移動荷載作用下的懸索橋梁端縱向運動方程。并以湘西矮寨懸索橋為背景，研究了豎向力以不同速度沿橋縱向移動下的主梁縱向振動規律及梁端動位移特性，同時對可能出現的縱向共振速度進行了探討，并對相關影響因素進行了分析；最后結合梁端位移實測數據，進一步揭示車致懸索橋梁端位移響應機理及影響因素。

1 豎向荷載作用下縱向位移機理

單跨懸索橋可簡化為主纜系統與加勁梁系統的簡單組合，在一般情況下加勁梁梁端設置縱向滑動支座，允許加勁梁縱向位移，以減輕荷載作用時的內力效應，特別是地震作用效應。單跨懸索橋典型的結構示意圖，如圖1所示。

圖1 單跨懸索橋的結構示意圖

對懸索橋而言，整個橋梁的結構行為依賴于主纜的力學特性；當豎向荷載作用懸索橋加勁梁上時，主纜發生撓曲變形，不少學者均對該撓曲變形特征開展了相關研究[16-17]，但均關注于豎向撓曲。實際上，若忽略塔頂位移及纜索彈性變形的影響，由于非對稱荷載(或反對稱荷載)作用影響，主纜幾何線形將發生改變，近似呈反對稱撓曲，該特性也決定了懸索橋大位移性質。下面以撓度理論為基礎分析主纜豎向撓曲與縱向位移之間的耦合關系。

主纜微段位移如圖2所示。取ds微元段為對象進行變位關系分析，主纜微段伸長量水平投影du滿足下列關系[18]

圖2 主纜微段位移

(1)

式中：Hp為豎向力引起的主纜近似水平拉力;EcAc為主纜軸向剛度;ψ為主纜傾角;α為線膨脹系數;T為溫度變化;η，y分別為主纜和加勁梁的豎向撓度;x沿橋軸向向的水平坐標。式(1)由三項構成，前兩項分別為豎向活載和溫度導致的變形位移，第三項為主纜豎向撓度η引起的縱向變形位移。若不考慮溫度變化，并忽略張力作用的彈性變形，則主纜的水平位移為

(2)

式(2)從力學概念上反映了豎向活載導致懸索橋主梁縱向發生位移的機制，并進一步揭示：由于豎向非對稱力作用，主纜發生豎向伴隨縱向的變形位移，加勁梁隨之發生類似主纜的豎彎耦合縱向漂移，該加勁梁的彎縱耦合位移決定了梁端的靜位移效應，豎向荷載作用下懸索橋變形示意圖，如圖3所示。

圖3 豎向荷載作用下懸索橋變形示意圖

由于η曲線影響因素較多，求解復雜、繁冗，式(2)的解析解不易獲得，但在一些特殊的情況并作適當近似假設，仍可獲得解析解。

(3)

若以相對坐標x/L為橫坐標，-4Af/πL為縱坐標單位，可得主纜相對縱向位移曲線圖,如圖4所示。從圖4可知，不同位置處主纜縱向位移的變化規律，呈雙波峰曲線形態，且在L/4位置附近縱向位移達最大值。主纜縱向位移使加勁梁隨之整體縱向移動；需要注意的是，加勁梁縱向位移與主纜縱向位移并不相等，且加勁梁不同位置處縱向位移基本一致。受自體質量剛度、荷載的作用形式與位置以及主纜與加勁梁間縱向聯接剛度等因素影響，并不能由此直接得到梁端縱向位移，一般采用有限元法獲得其數值解。

圖4 反對稱均布荷載下主纜豎向撓曲伴隨的縱向位移

2 移動荷載作用下梁端縱向位移

就大跨度懸索橋而言，車輛質量遠小于橋梁結構體系質量，車身長度遠小于橋梁跨度；本文旨在揭示車輛移動作用下懸索橋梁梁端位移響應機理、把握其總體規律，暫不關心車輛自身振動效應，故忽略車耦影響，行駛車輛近似視為移動荷載是可接受的[19-20]。同時僅考慮一般的日常行車工況，不考慮變速效應，故常量荷載P以速度v移動作用下，懸索橋系統的運動方程可表示為

(4)

式中:M，C,K分別為體系的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;u為橋梁節點的位移列向量;P(t)為外荷載列向量;δ函數定義為

(5)

在廣義坐標下，式(4)可表達為

(6)

可利用ANSYS軟件的瞬態功能進行運動方程的求解，采用直接積分法和模態疊加法分別求解式(4)和式(6)，得到移動荷載作用下懸索橋的車致振動響應。

因此，式(6)可改寫為

(7)

若暫不考慮阻尼，則梁端位移的解為

(8)

因此，移動荷載作用下的縱向振動問題表現為模態坐標下以廣義擾動頻率2πnv/L的簡諧強迫振動。

當移動速度較小時，Ωn遠小于結構固有頻率ωn，在移動荷載作用下結構效應為擬靜態，若僅考慮一階模態，則此時梁端縱向位移形式可表述為

(9)

式中：u0為移動荷載位于最不利位置的主梁梁端縱向靜位移位;L為正弦曲線位移波長，取單跨懸索橋主梁跨度。

更為直接地，梁端施加一縱向力，則梁端發生縱向位移；因此可用梁端縱向力等效緩慢移動豎向荷載對橋梁縱向激勵，該等效縱向力可近似為

Fe=ku(t)

(10)

式中，k為等效縱向剛度。

將式(9)代入式(10)則有

(11)

又有x=vt,式(11)可改寫為

(12)

式中：fp為移動荷載等效縱向加載頻率；Fe0為等效縱向荷載幅值。

因此，移動荷載作用下導致的主梁縱向振動還可近似等效為縱向諧波荷載，其荷載加載頻率fp=v/L。等效縱向荷載作用下懸索橋的運動方程為

(13)

當等效縱向擾動頻率與體系某階彎縱耦合振動頻率fn相等時，將發生縱向共振現象，此時需要的共振速度為vbr=Lfp=Lfn。

3 算例分析

3.1 工程概況

本文以湘西矮寨大橋為背景研究了懸索橋受移動荷載作用下的梁端縱向位移規律。該橋位于湖南省湘西矮寨鎮，為橫跨矮寨深峽谷的大跨度鋼桁加勁梁懸索橋，采用新型塔梁分離式懸架結構，主纜與加勁梁跨度相差較大，主纜孔跨布置為242 m+1 176 m+116 m，加勁梁全長1 000.5 m，鋼桁加勁梁全寬為27 m。全橋采用兩根主索進行平面索布置，主索垂跨比為1/9.6；全橋中跨主纜設69對吊索，跨中設置3對柔性斜拉中央扣。吉首一側為重力錨固，而茶洞側采用隧道錨固；橋塔采用鋼筋混凝土門式框架結構，吉首岸高129 m，茶洞岸高62 m，大橋橋型總體布置，如圖5所示。

圖5 矮寨大橋橋型總體布置 (m)

3.2 計算模型

采用ANSYS軟件建立矮寨懸索橋三維有限元模型，如圖6所示。橋塔、橋墩及加勁梁采用空間梁柱單元模擬，纜索及吊桿模擬為只受拉索單元，并考慮了主纜的重力剛度和大變形非線性特征；考慮到塔座基礎為剛性基礎，故塔底處以固結形式模擬，不考慮樁土效應；加勁梁端設橫向抗風支座，縱向為漂浮體系，允許縱向位移。結構阻尼采用瑞利阻尼模型，考慮到本文重點關注梁端縱向位移問題，采用瑞利阻尼，其阻尼系數由前兩階縱漂模態的阻尼比均取為0.005。計算模型的前7階振型特性，如表1所示。與梁端位移密切相關的一階非對稱豎彎伴縱飄振型圖，如圖7所示。

圖6 矮寨大橋有限元模型

表1 矮寨懸索橋振型特征

圖7 一階非對稱豎向伴縱飄模態

3.3 車速對梁端位移的影響

3.3.1 單個移動荷載緩慢過橋

以3.2節矮寨大橋有限元模型為基礎，采用直接積分法進行移動車輛過橋仿真分析，計算移動荷載(P=600 kN)作用下的梁端縱向位移響應。為研究移動荷載作用下懸索橋梁端縱向位移響應特征及規律，分析該豎向荷載在緩慢移動通過橋梁時的梁端擬靜態位移響應，如圖8所示。從圖8可知，該曲線線形與正弦函數相仿，且與懸索橋梁端縱向位移影響線類似，當荷載作用于跨中時梁端位移約等于零，而大概位移1/4跨時，梁端位移達到最大。

(a) 梁端不同位置處縱向位移

此外，梁端不同位置處的位移時程為一組起伏變化相似的曲線，并有細微差別，該差別是由于加勁梁豎向撓曲(彈性變形)導致(見圖8(a))。若忽略此撓曲導致的梁端位移，即對梁端不同位置處位移取平均，可得主梁縱漂運動(類似“擺錘體”運動)位移，所得位移曲線更接近于正弦函數曲線(見圖8(b)中等效位移，該位移采用第2章的等效荷載法計算得到)。因此，對于緩慢移動過橋導致的梁端縱向位移可以理解為：當豎向荷載沿橋縱向緩慢移動時，可等效為梁端縱向諧波荷載緩慢加載，其主梁作“擺錘體”緩慢振動(亦稱擬靜態)。

3.3.2 單個移動荷載作用下的梁端縱向位移

為把握單個移動荷載速度效應下懸索橋梁端位移響應特征規律，以單個豎向力不同速度進行移動荷載過橋仿真分析。為對比分析，對等效縱向荷載激勵進行了輸入，得到結構的振動響應及梁端動態位移。引入動力放大系數FDA(dynamic amplification factor，DAF)以衡量移動荷載導致的動態效應，FDA定義為

(14)

式中，RDmax，RSmax車輛過橋時橋梁動力和靜力效應的最大值，包括位移、應力及內力等。

移動荷載不同速度(0～140 m/s)輸入工況下的梁端位移響應時程曲線和移動荷載及等效縱向荷載作用下的梁端縱向位移DAF曲線，分別如圖9和圖10所示。由圖9和圖10可知當：移動速度較小時，梁端位移響應動態效應較小，主要表現為擬靜態位移；隨之速度的增大，動態位移效應不斷增強，當速度達共振速度vbr=1 000.5×0.116=116 m/s時，體系發生彎縱耦合共振，位移效應達到最大。圖10亦表明采用等效縱向荷載計算結果與有限元方法計算的DAF隨速度變化的規律接近，其可用于估算移動荷載導致的動力放大效應。

圖9 單個移動荷載不同速度過橋致梁端縱向位移時程

圖10 梁端縱向位移DAF

現考慮結構阻尼比、梁端縱向阻尼器及支座摩阻力對梁端位移的影響，不同計算工況進行仿真分析，如表2所示。移動荷載30 m/s過橋引起的梁端位移響應，如圖11所示。圖11(b)顯示各計算工況的位移響應的一階主頻約等于移動荷載過橋的廣義縱向擾動頻率為fp=30/1 000.5=0.030 Hz，該部分屬強迫擬靜態位移效應并決定梁端位移幅值，而位移響應的二階主頻等于結構一階縱向振動頻率(0.116 Hz)，該部分可導致較大的梁端累積位移；支座摩阻力對動、靜態位移有控制作用，而結構阻尼比、阻尼器及均不能減小位移響應的擬靜態位移，但對動態位移有一定的抑制作用，對于設有阻尼器并考慮支座摩阻力的計算工況其動態位移效應基本被消除，可見摩阻力對梁端位移影響不可忽略。

表2 不同阻尼計算工況

對于公路懸索橋的常規車速(一般不超過40 m/s)而言，移動荷載的縱向等效激勵頻率往往遠小于結構自振頻率，相當于遠離橋梁一階縱飄共振區域的強迫振動，這也解釋了圖11(b)所示0.116 Hz的小幅峰值。

(a) 位移時程曲線圖

3.3.3 多個移動荷載作用下的梁端縱向位移

梁端位移響應與行車工況密切相關，現考慮多車荷載工況，即移動荷載隊和荷載流工況。分析中僅采用簡化的荷載隊和荷載流，荷載隊由10個P=600 kN間距為100 m豎向移動力構成(為使荷載全部上橋時基本均勻分布于橋面)，并以25 m/s依次自吉首端入橋再駛出茶洞端；荷載流為P=600 kN間距為100 m、速度為25 m/s，依次上橋后形成均勻荷載流，計算分析時仍考慮表2中的幾種阻尼工況。此移動荷載隊作用下的梁端縱向位移響應,如圖12所示。對比圖11可得出：荷載隊作用下其梁端位移仍然是擬靜態位移主導，但相當于單個移動荷載其梁端縱向位移動態效應明顯增強，而結構阻尼比、阻尼器及摩阻力對動態位移的影響效果表現與單個移動荷載工況相同。

(a) 位移時程曲線圖

荷載流作用下的梁端縱向位移響應，如圖13所示。從圖13可知，前期荷載依次上橋，其位移響應特征(見圖13(a))與圖12(a)類似，當橋梁在荷載流作用下時荷載流滿布于橋上且對橋梁的作用趨于對稱，不平衡效應很大程度上相互抵消，因此其位移幅值大幅減小；但振動效應更為顯著(見圖13(b))，這是因為均勻荷載流對橋梁產生周期性的激勵導致，而實際工程中，該理想化的均勻車流很少出現。

(a) 位移時程曲線圖

3.4 中央扣對梁端位移的影響

為明確中央扣對移動荷載激勵下梁端位移響應的影響，分別采用無中央扣、設一對柔性中央扣、三對柔性中央扣、以及設一對剛性中央扣和三對剛性中央扣等計算模型為基礎，進行移動荷載過橋仿真分析。考慮到實際公路橋常規的車速范圍，移動荷載速度取5～40 m/s并以5 m/s遞增，得到不同速度下的各荷載工況結果。由于篇幅原因，僅示出的移動荷載20 m/s速度輸入下的梁端縱向位移時程曲線,如圖14所示。

圖14 移動荷載20 m/s過橋引起的梁端縱向位移

移動荷載過橋的梁端縱向位移幅值曲線，如圖15所示。從圖14和圖15可知，中央扣的設置能顯著抑制移動荷載作用下的縱向振動效應，但中央扣的數量及自身剛度對結果影響甚微；除此，在速度考察范圍內，梁端位移幅值與移動速度近似呈正相關。對于運營狀態的大跨懸索橋而言，車輛為日常工作小荷載，其位移幅值問題并不是特別突出，而梁端頻繁往復運動導致的累積位移行程卻不容忽視。梁端縱向累積位移曲線，如圖16所示。從圖16可知，中央扣亦能有效地減小梁端縱向累積位移，且三對柔性中央口的控制效果最佳；總體而言，不同中央扣設置方式對累積位移的影響不明顯。另外，對于設有中央扣的模型，在低速范圍(0～15 m/s)，當10 m/s的移動速度下，縱向累積位移達到最大，而在15～40 m/s內移動速度對梁端縱向累積位移并不敏感。

圖15 梁端縱向位移幅值

圖16 梁端縱向累積位移

實際上，對于縱向無約束的懸索橋，其結構體系實質上為瞬態體系，斜拉中央扣的存在改變了該瞬態體系，加強了主纜與加勁梁之間的縱向連接與縱向位移同步的能力，從而提高了體系總縱向剛度，有利于減小靜、動態梁端位移。

3.5 梁端縱向位移的實測分析

文獻[21]以矮寨大橋梁梁端縱向位移為對象，進行梁端位移實測研究，獲得約450 d的實測數據。梁端縱向位移典型日時程波動曲線，如圖17所示。相應的位移傅里葉幅值譜，如圖18所示。從圖18中可知，梁端位移響應的頻帶主要集中于0～0.05 Hz，且幅值最大時對應的頻率值非常小(見圖17局部圖)，該位移成分由溫度變化導致。現暫不考慮溫度效應，并選擇風速小于2.0 m/s環境，取短時10 min位移數據，此時溫度及風荷載因素可忽略，其相應地縱向位移響應頻譜曲線如圖19所示。同樣可以發現梁端位移響應頻率均小于0.05 Hz，實際上該頻率區間與隨機車流過橋等效縱向加載頻率(fp=v/L)范圍較為吻合；而并未出現圖11(b)、圖12(b)中的反對稱伴縱飄模態振型，這是因為矮寨懸索為高速公路橋車流稀疏，與簡化單車或稀疏車隊工況較為接近，且梁端設有阻尼器裝置以及支座摩阻力影響而小幅動態效應被抑制，3.3節及圖11、圖12已論證。因此，隨機車輛流作用下的矮寨大橋實橋梁端位移主要表現為車致擬靜態位移，其動態位移效應并不突出。

圖17 梁端單日縱向位移時程曲線

圖18 梁端單日縱向位移傅里葉幅值譜

圖19 梁端縱向10 min位移傅里葉幅值譜

4 結 論

(1) 以撓度理論為基礎，從主纜微段幾何變位出發，分析推導主纜豎向位移與縱向位移的耦合關系；在非對稱豎向力作用下，主纜發生幾何形狀改變，導致主纜及加勁梁產生撓曲耦合縱向位移，決定了懸索橋豎向荷載作用下的縱向變位的結構特征。

(2) 以移動荷載簡化模擬行駛車輛，推導了單車荷載作用下的梁端縱向位移方程，并采用ANSYS軟件進行了車致懸索橋振動仿真分析，得到梁端位移響應總體規律，揭示了懸索橋縱向振動力學機理；但未考慮車橋耦合效應和隨機車流效應，梁端位移計算結果并不能直接應用于實際工程，更精準的梁端位移計算有待后續進一步研究。

(3) 就漂浮體系懸索橋而言，移動荷載作用下，因速度效應及重力效應導致加勁梁縱向耦合豎向振動；當移動速度較小時，梁端位移響應為擬靜態位移為主，隨之速度增大，位移動態效應增強，并在速度v略等于Lf1時發生共振；該共振速度一般遠大于公路橋車輛行駛速度，因此共振意義不大；但車輛常規車速行駛時，加勁梁發生強迫擬靜態縱向運動的同時仍然伴隨振動效應，該動態效應導致的梁端累計不可忽略，可采用相應的振動控制措施。

(4) 結構阻尼、梁端阻尼器及支座摩阻力對梁端位移有一定抑制作用，且支座摩阻力作用不可忽略；中央扣對梁端位移幅值及累積位移的控制效果明顯，但其自身剛度及數量的影響不大。

(5) 基于矮寨橋梁端縱向位移實測數據與數值計算對比分析，結果表明，因阻尼器及支座摩阻力的影響，該橋在日常行車條件下其主梁作擬靜態縱向往復運動。