思維可視化：學生數學理性思維培育的新路徑

王琳

【摘要】思維可視化是指運用圖式或者圖式組合把本來不可視的思維路徑、思維結構呈現出來，使其清晰可見.數學活動可以幫助學生建構發展性的認知系統，形成多樣的思維方式，創設開放性的實踐載體，既奠定了學生思維可視化的基礎，又拓展了思維可視化空間，豐富了思維可視化的體驗，為培育學生的理性思維探尋出一條新路徑.

【關鍵詞】 思維可視化;理性思維;數學活動

思維是人腦對客觀事物間接概括的反映，是人與生俱來的一種高級認識活動.數學活動可以讓學生對事物、問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，可以將無序、凌亂的思維培養成理性思維.學生在數學活動中，若能將豐富的知識結構、多元的直觀圖示以及順應的活動經驗結合，將思維可視化蘊含于多視角、多方式、多層次的思維活動中，學生的理性思維一定能得到可持續發展.

思維可視化是指運用圖式或者圖式組合把本不可見的思維路徑、思維結構呈現出來，使其清晰可見的過程.理性思維是通過概念、判斷和推理這三種形式體現的，人的大腦對“圖”特別敏感，以“圖”的形式體現的概念更容易被學生理解，以“圖”體現的數量關系更容易被學生接受，學生也更容易對以“圖”體現的推理過程做出推論.當圖示的直觀性和思維的結構性、嚴密性和概括性結合，會形成優勢互補的合力作用，既把復雜的思維過程化繁為簡，又將簡單直白的圖式賦予了思維和靈魂.思維可視化的有效運用對學生理性思維的培養具有深遠影響.

一、建構發展性的認知系統，奠定思維可視化的基石

學生健全的認知結構是學生思維可視化的立根之本.豐富的知識積累、多元的圖式建構以及順應的活動經驗可以為學生思維可視化奠定基石.

1.豐富的知識儲備為思維可視化提供生發的預見

學生前期的認知結構中，若尚未建立清晰的概念，就不可能為后期探究新知提供合理的聯系及順應的遷移.在探索“圓的面積”一課中，學生借助轉化思想將圓的面積轉化成已學圖形面積的計算：將一個圓均分成8，16，32等份，分別拼成形似平行四邊形（圖1）、接近平行四邊形（圖2）、接近長方形（圖3）的圖形.

圖1 圖2

圖3

豐富的知識儲備為圖示演繹創造了可能.學生發現：圓平均分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形.基于對轉化圖形前后面積相等的認知以及長方形長、寬與圓半周長、半徑的對應關系，學生能順利探索出圓面積的計算方法.豐富的知識儲備為思維可視化提供了生發預見力.

2.多元的圖式建構為思維可視化提供可表征的模型

識別性較強的符號以及圖式有助于學生建構認知模型，采用多元化的圖式建構為思維可視化提供可表征的模型.如在理解12+14+18+116的求和計算中，可采用較直觀的圖式（圖4）來表示這四個分數之和.通過直觀圖示將算式結果轉化成計算1-116的結果，達到化繁為簡的目的.

對于教師而言，教學中應為學生提供多元化的表征方式，使學生在數學活動中將思維可視化，從圖式中即時提取信息，促進學生理性思維的形成.

3.順應的活動經驗為思維可視化提供可遷移的支持

在數學活動中，學生已有的活動經驗能否順應遷移到新的學習情境中，對后期數學活動的順利進行起關鍵作用.如五年級下蘇教版“用字母表示數”一課，教師可以課前指導學生玩24點游戲：A，3，4，9和5，1，Q，8，學生根據已有活動經驗說出算法，教師板書：（9-3）×4×1，（8-5-1）×12，接著以失物招領啟事導入新課“張同學在公園撿到一個黑色提包，包內有現金A元.請失主到景區派出所領取”，學生將數學問題與生活經驗建立聯系，在具體情境中理解字母表示數的意義，體會用字母表示數的必要性.隨后構建探究題組：無錫到南昌鐵路全長769千米，一列火車從無錫開往南昌，用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數？①已經行駛了60千米，剩下的千米數是769-60;②已經行駛了 150千米，剩下的千米數是769-（? ）;③已經行駛了b千米，剩下的千米數是（? ）.課前游戲到情境引入，再到探究題組，學生的活動經驗支撐有序的思維可視化過程：具體數到用字母表示數，再到含有字母的式子.學生的思維從一個個具象的點向知識面逐漸擴展，這正是學生思維從具象思維向理性思維生長的過程.

二、形成多樣態的思維方式，拓展思維可視化的空間

通過多視角、多方式及多層次的多樣態思維方式，培養學生思維的靈活性、敏捷性以及批判性，從而拓展思維可視化空間.

1.多視角，培養思維可視化的靈活性思維

立足不同視角思考問題，能促進學生獲取問題的最佳解決方案，更有甚者能打破當前固有的思維模式.如在解決以下數學問題時，以圖示的形式描述三人身高關系（圖5）.常規視角：根據小力與小英的身高關系算出小英身高，再根據小英與小軍的身高關系算出小軍身高.轉換視角：運用直觀線段圖表示小力、小英與小軍三者的身高關系，獲得小力身高比小軍矮6厘米這一重要信息，直接求出小軍身高.數學活動中，通過可視化手段轉換思考視角，既能簡化數學問題，又能發展思維可視化的靈活性.

2.多方式，培養思維可視化的敏捷性思維

圖式模式將學生的思維可視化，既能讓教師了解學生學習認知的狀態，又能便于學生回顧知識經驗的積累過程及時作出判斷并自我評價.畫簡易圖可以羅列數學問題中多而不復雜的數量關系，幫助學生理清思路;測量、統計形成的數據圖表，可以比對數量、分析數據、揭示變化規律;思維導圖實現思維擴散，以關鍵詞為支架，延展出連續性信息，構建完整的知識體系，在提升學生推論演繹能力的同時促使學生理性思維的形成.

3.多層次，培養思維可視化的批判性思維

分層推進思維可視化訓練，引導學生形成批判性思維，幫助學生形成良好的思維習慣和思維品質.如蘇教版五下“3的倍數特征”一課中，分四個層次進行教學.第一，“說出2和5的倍數特征”“猜一猜3的倍數特征”，當學生列舉3的倍數特征為個位是3的數、個位是6，9的數時均被同伴反駁：12，15，18，21，27，…這些也是3的倍數，但個位沒有3，6，9，學生的質疑恰到好處;第二，教師以退為進，“如若說不出3的倍數的特征，就寫寫3的倍數吧”，學生羅列出許多3的倍數后觀察到3的倍數的個位有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0這些數，發現只看數的個位不行，此時學生感到困惑;第三，教師啟發“把以上3的倍數的各個數位的數字調換一下，還是不是3的倍數？”學生頓感峰回路轉;第四，啟發學生在百數表上圈出3的倍數，學生發現各個數位上數字之和是3的倍數的數一定是3的倍數.分四個層次引導學生在批判中化解僵局，學生在質疑、猜測中經歷了批判性思維，激發了理性思維的形成.

三、創設開放性的實踐載體，豐富思維可視化的體驗

理性思維的養成不應拘于數學課堂，還可借助數學閱讀、數學實驗與數學日記等實踐性載體，豐富思維可視化的體驗.

1.數學閱讀，拓寬學生思維可視化的認知視野

數學閱讀不僅是對教材內容的閱讀，還包括學生對生活中數學應用、課外數學史、數學故事等與數學相關材料的閱讀.學生對自身熟知的素材更能在數學活動中運用思維可視化.例如：關于我國上海市與澳大利亞悉尼市的氣溫折線統計圖，由于大多數學生并不熟悉上海與悉尼所屬地理位置的區別，導致學生無法精準把握兩市氣溫的變化差異，利用氣溫分布折線統計圖進行判斷與推理中有可能出現偏差.由此表明，學生廣泛涉獵與數學相關的知識，不但能拓闊視野，還能為其思維可視化的培養提供有力支持.

2.數學實驗，豐富學生思維可視化的具身體驗

對于學生而言，數學實驗不但能使其親自參與探索，還能豐富思維可視化的具身體驗，培養科學觀念.如在“三角形的面積”一課中，教師通過實驗的方式幫助學生檢驗預見結果.學生需沿高將三角形剪開，使之產生以下認知沖突，即其他三角形難以組合為平行四邊形，等腰三角形與等邊三角形例外.為了便于直觀思維與理性思維的整合，實驗前的預設、實驗的方法與流程的梳理以及實驗結論的獲得都應留下操作痕跡，同時留下思考痕跡，這是豐富思維可視化具身體驗的重要途徑.

3.數學日記，記錄學生思維可視化的形成過程

日記可以將數學活動記錄下來，對數學過程進行反思，記錄學生思維可視化的形成過程，對學生判斷、推理、歸納、分析數學發現起良好的引導作用.學生的數學日記，根據學生的年齡特征可以是生活日記，記錄學生生活中的精彩數學問題，感受數學源于生活;可以是讀書日記，寫數學故事閱讀體會或是記錄有關的數學歷史筆記，提出自己的觀點和見解，有效將數學知識與語文寫作有機結合，記錄思維可視化形成的過程;還可以是反思日記，運用自己獨特的眼光、見解和經驗審視自己面臨的數學問題，激活認知，重建認知聯系，利用數學反思日記記錄解決數學問題的全過程，進行反思和自我評價.

數學是人類文明的重要組成部分，它不僅有知識和方法，還包含著數學思想和精神，思維可視化為數學思想指引了方向.以思維可視化為載體，可以發展學生的批判性思維，培養學生的理性思維，激發學生的數學理性精神.

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