在小學數學《方程的意義》教學中應把握的四個“跨越”

鐘建萍

【摘要】方程作為一種重要的數學思想方法，它對豐富學生解決問題的策略、提高解決問題的能力、發展數學素養有著非常重要的意義，這節課不僅要真正地幫助學生認識到方程的本質，還要幫助學生實現從算術思維到代數思維的跨越，幫助學生穩定簡易方程的模型特征。

【關鍵詞】小學數學;意義;代數思維;方程價值;方程模型

一、從以數狀物到以符狀數的“跨越”

《方程的意義》這節課首次引入方程的概念，在教學中，教師有必要對學生的符號意識進一步培養，明白符號引入的合理性和必要性，筆者是這么設計的：

首先，讓學生用數學式子表示天平上相等物體的重量關系。

師：同學們，你們會使用天平來秤物品嗎？

生：會，一邊放物體，一邊放砝碼，如果天平平衡，砝碼的重量就是物體的重量。

師：從這個天平中，你知道了什么？

生：我知道了兩個雞蛋的重量等于那一個砝碼的重量。

師：說得真好，現在，我標出天平上物體的質量，你能用數學式子來表示出它們的關系嗎？

生：50+50=100。

在了解天平原理的基礎上，讓學生用式子表示天平上已知物體的重量情況，使學生明白天平左邊的物體重量與右邊物體重量相等時可以用等式表示，明白可以用一個數學式子表示生活中的物體之間的關系。目的是從學生熟悉的天平平衡的直觀情境入手，經歷從自然語言描述事件到用數學語言描述等量關系的過程，實現從左右兩邊物體等值到具體數量等值的轉變，發展“以數狀物”的抽象意識;體會等號左右兩邊的數或算式表示兩個相等的量，它們的地位是均等的，突破原有等號作為表示運算結果時出現的符號的認識，使學生在具體情境中認識等式，促進學生進一步理解等量關系。接著，讓學生用數學式子表示天平上不相等的物體的重量關系。

教學中，出現天平兩邊物體重量不相等的情況，這不僅是認識方程的一個必須了解的知識，更是為了讓學生明白不僅可以用等式表示物體間的質量關系，還可以用不等式來表示，豐富學生以數狀物的意識。

師：如果我把砝碼換成蘋果，你能用式來子來表示它們之間的關系嗎？

生：50+50>70。

師：為什么這時候不用等于號了呢？

生：因為天平不平衡了，說明兩邊的質量并不相等，左邊往下沉，說明左邊比右邊大，應用大于號。

師：剛才我們知道了空杯子的重量是100克，裝滿水后，現在天平是這樣的，你知道了什么？

生1：我知道了一杯水的質量小于300克。

生2：我還知道水的質量小于200克。

這里的目的是通過對不平衡的實際情境的數學化表達，進一步發展學生用數學語言去表達現實生活情境的能力，同時，借助情境明確等式和不等式的區別，并豐富對數量之間關系的認識，進一步培養學生“以數狀物”的抽象意識，明白用“數”可以表示物體的質量，用“數與符號”則可以表示物體之間不同的關系。最后，讓學生用帶有符號或字母的式子去表示天平上物體的重量關系。

隨著教學的進行，天平上出現的部分物體不再知曉具體的重量，學生根據以前所學的知識自然而然地想到用符號或字母來表示未知的量，進而獲得方程的基本式子。

用字母和符號表示數及其運算或關系是代數的基本特征。以天平情境為導線，把情境中的數量關系用數學語言表達，并逐步符號化，引入用含有未知數的式子表達等式和不等式，發展學生“以符狀數”的抽象意識，為建構方程概念提供基礎，并初步體會符號化思想發展的歷程及用含有未知數的式子描述數量關系的方程思想。

本節課中，不僅是對學生符號意識的培養，同時更要關注學生對數的抽象發展為對量的抽象，讓學生不僅關注“數”本身，更要把眼界放寬，拓展到關注“量”及“數量關系”，只有把握到等量關系，學生的數學思維才能朝著更好的方向發展。

二、從逆向思考到正向思考的“跨越”

方程的意義是什么？很多教師都會從概念“含有末知數的等式叫方程”入手，緊緊抓住“含有未知數”和“等式”兩個關鍵詞幫助學生理解掌握概念。遺憾的是，有些教師自身就沒有真正理解“意義”本身的含義，“意義”包含兩層意思：1.語言文字或其它信號所表示的內容;2.價值;作用。顯然，僅僅從概念入手理解方程的意義，只是解釋清楚了語言文字所表示的內容，但并沒有突顯“方程”的價值——順著題目的意思列式比逆著題目的意思列式更容易。只有讓學生體會到這一價值，才能促進學生從逆向思考到正向思考的思維轉變，從而在解決復雜的問題時能夠正確解答。

為了更好地讓學生體會到方程的價值，筆者設計了難度不同的四道題算式，讓學生感受方程的價值。

（1）

（2）

（3）爸爸今年36歲，比小明年齡的4倍少4歲，小明今年多少歲？

（4）把一個數先乘0.3，再除以0.2，接著加上1.4再減0.9，結果是13.7，這個數是多少？

前兩小題比較簡單，很難使學生體會到方程的優越性。但是，從這兩道簡單的題目中，可以使學生知道可以采用列方程的形式解決問題，從中體會列方程式的一般方法。

對于第三小題，學生仍然比較習慣用算術方法，題目中給出的條件是“少4”，按一般的經驗“少4”應該是減4，所以，不少學生的列式是錯誤的，此時，引導學生進行比較，借助線段圖幫助理解，爸爸的年齡并不是小明的4倍，所以不能用36除以4，而應該加上4后再除以4。但是，這種逆向思維的題目理解起來總是有難度，重點要引導他們順著題目的意思去列方程，經過比較，使用學生初步體會方程的優越性。

最后出示更為復雜的第四小題時，有前面的經驗，大部分學生直接列方程，又快又準，此時，筆者又反問學生，為什么不用算術方法解決問題了，學生有感而發說出方程的優越性，從而達到教學目的。

讓學生從生活情境中抽象出數學表達思維是橫向數學化，在數學世界里需要通過縱向數學化認識概念的本質特征。描述現實世界中數量關系的式子有多種，讓學生從常見的關系式中明確概念的內涵與外延，自主建構起對概念本質特征的認識。同時，在生活情境中深刻體會方程能夠順向表達思維的價值是筆者這樣設計的目的所在。

學生的數學思維發展具有一定的階段性，從最初的簡單順向思維逐步到會逆向思考，這是學生的必經之路，當正常順向思考行不通，逆向思考又出現困難的時候，視未知的數為已知量，用符號或字母來表示，再由逆向思考轉向正向思考成了重要的教學點，本節課就是要完成這一思維的轉變，從而進一步培養學生思維的靈活性。

三、從算術思維向代數思維的“跨越”

從算術思維向代數思維的跨越，是學生認知規律的一次飛躍。吳正憲在講《方程的意義》的時候就反問過兩個問題：學生會辨別方程的樣子，那就是認識方程了嗎？學生能很流利說出方程的定義就是理解了方程了嗎？

的確，建立方程的思想需要一個漫長的體驗、理解的過程。如何幫助學生建立好這個數學模型？如何讓學生學會將未知數和已知數同等對待，實現從算術思維向代數思維的轉變？在方程的意義的教學中，例題和練習通過“潤物細無聲”的方式將算術思維引向代數思維。

算式“50+50=100”可以表示出平天的平衡狀態，當把左邊已知數換成未知質量的杯子時，天瓶依然保持平衡，學生很容易能確定杯子的質量，并能用語言來表示它們之間的關系，但此時，學生一般還想不到用未知數來表示杯子的質量，所以也無法用一個式子來表示它們的關系。當在杯中加入適量的水，天平出現了不平衡的狀態，如何用一個式子來表示這種狀態呢？此時學生才深刻地體會到需要有表示“水的質量”的事物，學生自然面然地會想到用方框、圓圈、三角形等符號或字母來表示“水的質量”，因勢利導，我們把這個未知的數叫做“未知數”。有了代表未知數的符號或字母，學生很自然地將未知的數當成了已知數來用，且發現完全可以用一個含有未知數的式子表示出天平的狀態100+x>100，有了這個鋪墊作基礎，學生就有了對方程認知的基礎。

在練習中，教材很巧妙地把每本書的價格標為x元，大多學生也就很自然地鉆進了設好的“套”中，列式為3x=2.4，如果在這里，不標出書的單價，學生也能列式解答，但根據學生的經驗，他們都會列出算術式：2.4÷3=0.8，這樣就達不到我們培養學生代數思維的目的了。所以，在本節內容中，所有的未知數都是用了確定的字母或符號來表示，這樣做的目的就是幫助學生從算術思維走向代數思維。

四、從情境分類到模型穩定的“跨越”

對于小學五年級的小學生來說，他們能清楚地根據題型情境背景進行分類，如在教材中出現過的圖形、文字、線段等各種不同情境的題目，學生能夠根據原有的知識逐一理解，并能用語言進行表達，因為他們有一個共同的特點，有兩組可以表示相等關系的數量。當他們根據順向思考的順序用式子表達出來以后，學生會驚奇地發現，無論情境如何變化，它都能抽象出相同的模型：含有末知數的等式。通過看一看、說一說、比一比……促進學生實現從情境分類到穩定模型的跨越。

《方程的意義》這一內容，承載了編者很多的意圖，要真正理解方程的意義，不僅要把握概念表述，更要感悟到方程的價值，才能實現學生思考方式的轉變，從而穩定學生心中的方程模型。教師只有做到真正讀懂教材中的每一幅圖，理解到編者意圖，才能更好地把握教學目標，進行深入有效的教學。

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責任編輯? 溫鐵雄