基于并矢格林函數法的孔徑縫隙激勵矩形波導場研究

雒向東，張 明，海 波

(蘭州城市學院 電子與信息工程學院，甘肅 蘭州 730070)

1 基本理論

1.1 直角坐標系的矢量波函數

20世紀30年代中期，漢森首先引進了矢量波函數用來解決某些電磁問題，其后斯特萊頓驗證了這些函數的有效性，認為矢量波函數是構成各類并矢格林函數本征函數展開式的積木塊.漢森引進的L、M、N3類矢量波函數都滿足齊次亥姆霍茲矢量方程[1-2].因為磁型并矢格林函數M、N既滿足矢量波動方程又具有無散性[3]，所以將它們作為積木塊來研究孔徑縫隙激勵的矩形波導輻射場問題較為方便.

直角坐標系表示的矩形波導如圖 1 所示，領示矢量c為z軸正向單位矢量，這樣可構成兩組矢量波函數M和N，分別表示矩形波導理論中的TE模和TM模.

矢量波函數M和N在波導壁上滿足矢量狄里克萊邊界條件：

n×M=0，

n×N=0.

這一邊界條件相當于在一個純導體表面上電場應滿足的條件.

矩形波導內電磁場的直角坐標系矢量波函數可取如下形式[4]71-75:

1.2 波函數的正交性

直角坐標系矢量波函數具有如下正交性[4]71-75：

它對奇偶函數的任何組合都成立，且

m、n、h和m′、n′、h′可以不同或相同，代表兩組本征值.體積分區間為:

x?[0,a],y?[0,b],z?(-∞,+∞).

當m≠m′或n≠n′時，有：

由此可見，所有直角坐標系矢量波函數都是相互正交的.

當m=m′和n=n′時，設h≠h′，歸一化系數討論如下：

對n=0，證明有以下相同結論：

(1)

克羅內克符號定義為：

(2)

同樣可推得：

(3)

對Nemn和Nomn函數可用同樣方法求得的歸一化系數為：

(4)

(5)

2 孔徑隙縫激勵的波導場

2.1 矢量函數Aemn(h)和Bomn(h)的確定

當用沿波導壁的孔徑或隙縫場激勵波導時，可用下式計算波導內部的場[4]74：

因為

(6)

函數定義域為:

0≤x≤a, 0≤y≤b, -∞≤z≤∞，

并在x=0、x=a、y=0、y=b滿足第一類磁型并矢格林函數的邊界條件:

假設

(7)

其中,Aemn(h)和Bomn(h)為兩個待定的未知矢量函數.用函數Mem′n′(-h′)作為前標積，取本征值m′、n′、h′，可得：

(8)

將式(8)左邊積分分成兩項：

由于徑向R′位于體積V內，上式中面積分等于零，故得：

當m=m′、n=n′時，式(8)右邊積分為:

可得:

解出的系數為:

上式也可寫為:

將本征值上的撇號去掉，但函數N′上的撇號不能去掉，上式改寫為：

從而得到式(7)中的未知系數Aemn(h).用類似方法將Nom′n′(-h′)與式(7)作為前標積，用同樣程序可推證得：

(9)

2.2 系數a(h)和b(h)的確定

假設

(10)

將式(9)和式(10)代入式(6)，利用下式:

可推得：

(11)

將式(11)代入式(10)，得:

其中,上行符號對應z>z′,下行符號對應z

當用波導壁的孔徑或隙縫場激勵波導時，波導內部的場由下式確定：

3 結 語

采用并矢格林函數方法處理電磁場問題始于20世紀40年代初，史文格、萊文、戴振鐸等采用這種方法求解各類電磁場邊值問題和各類復雜媒質中的電磁場問題，使格林函數方法成為了處理電磁場問題的一種系統理論和有效方法.本文基于并矢格林函數法對矩形波導由孔徑或縫隙激勵時波導內場的確定進行了理論分析，推得的公式對波導內場結構研究和波導設計等具有重要的理論意義.