溫度修正的單模光纖宏彎損耗特性理論分析

孫云鵬，舒 暢，林海濤

(海軍工程大學 電子工程學院，武漢 430000)

0 引 言

光纖傳感器因其體積小、靈敏度高和抗電磁干擾強等特點，在溫度[1]、應變[2]、位移[3]和電磁場[4]等物理量的測量中具有廣泛的應用價值。其中，光纖溫度傳感器的研究始于20世紀70年代[5]，相比于傳統熱電阻溫度傳感器具有電絕緣和耐腐蝕等優點，在電力系統[6]和礦業開采[7]等領域代替傳統溫度傳感器實現了應用。

光纖在使用過程中難免發生彎曲產生宏彎損耗，這種損耗被認為是光通信中的不利因素[8]。但近些年，利用這種性質制作的光纖宏彎溫度傳感器成為研究的熱點問題。以光纖宏彎損耗為基礎的溫度傳感器主要是通過外界溫度的變化使光纖結構發生改變，進而導致光纖宏彎損耗發生變化的原理進行測量。2018年，彭星玲[9]在Marcuse[10]纖芯-無限包層結構的基礎上，對宏彎損耗的理論公式進行了熱光效應修正；然而，除纖芯和包層外，光纖還有附著在外面的涂覆層結構，Renner[11]和Faustini[12]針對纖芯-包層-無限涂覆層結構分別提出了相應的計算公式，茶映鵬[13]證明了兩者都能很好地預測宏彎損耗隨彎曲半徑振蕩的現象，但Faustini公式的模擬結果與實驗誤差更小。本文以Faustini的宏彎損耗理論公式為基礎，考慮由于溫度變化引起的熱光效應和熱膨脹效應，分別分析了SMF28和1060XP單模光纖宏彎損耗隨溫度的變化特性，為光纖宏彎傳感器的應用研究提供了理論參考。

1 溫度修正的單模光纖宏彎損耗理論模型

1.1 單模光纖宏彎損耗理論模型

單模光纖宏彎損耗Ac的計算公式為

式中：2αc為宏彎損耗系數；L為光纖彎曲長度，設彎曲半徑為R，彎曲圈數為ρ，則L=ρ2πR。目前，對于光纖宏彎損耗的計算主要為對宏彎損耗系數的研究。

通常，光纖宏彎損耗計算模型可分為兩種：纖芯-無限包層結構和纖芯-包層-無限涂覆層結構。1976年，Marcuse假定光纖為纖芯-無限包層結構，最早建立了宏彎損耗系數的理論模型并得到了宏彎損耗系數的解析解。但在實際應用中，光纖除了纖芯和包層外，還包括保護光纖的涂覆層結構。1992年，Renner通過假設光纖為纖芯-包層-無限涂覆層理論結構，利用攝動理論和標量近似的方法對Marcuse推導的理論模型進行修正并對積分項進行簡化近似，得到了單模光纖宏彎損耗系數的計算公式。1997年，Faustini從擬合的角度認為Renner的近似并不合適，并提出了更復雜精確的計算公式：

式中：β為軸向傳播常數；K1()為貝塞爾函數；κ、γ和V分別為歸一化相位常數、軸向歸一化常數和歸一化頻率；a為纖芯半徑；ξ為y方向傅里葉變換的共軛變量；Ai為第一類艾里函數；Bi為第二類艾里函數；Xq、xq和θ可以分別通過下式求得：

式中：k為真空波數；n2和n3分別為包層和涂覆層的折射率；b為包層到纖芯的距離。

根據Faustini公式得到光纖宏彎損耗與波長和半徑之間的關系如圖1所示。由圖可知，纖芯-包層-無限涂覆層結構的單模光纖宏彎損耗隨半徑出現振蕩的現象。

圖1 Faustini光纖宏彎損耗隨波長和半徑的變化

1.2 溫度修正的單模光纖宏彎損耗理論模型

光纖的宏彎損耗主要與光纖物理結構(尺寸半徑和折射率)、入射光波長以及彎曲半徑有關，而溫度對光纖宏彎損耗也會產生影響，一方面熱膨脹效應會導致光纖尺寸發生改變，另一方面熱光效應會使光纖折射率發生變化。

溫度的改變會導致光纖的尺寸結構發生變化，可以表示為

式中：T0為溫度為20 ℃；αT為熱膨脹系數(Thermal Expansion Coefficient, TEC)；ΔT為與T0的差值；L(T)和R(T)分別為溫度改變后光纖長度和彎曲半徑的變化；x1(T)、x2(T)和x3(T)分別為溫度改變后纖芯、包層和涂覆層厚度的變化。

由于光纖的主要組成成分為二氧化硅，當外界溫度發生變化時會導致晶格內部結構發生變形從而影響光纖折射率的變化。對于聚合物涂層，溫度的改變會引起聚合物分子振幅的改變，從而導致聚合物長分子結構內交聯網絡的平移和扭曲，引發折射率變化。

當外界溫度改變時，光纖折射率與溫度之間的變化關系可表示為[14]

式中：β1、β2和β3分別為纖芯、包層以及涂覆層的熱光系數(Thermal Optic Coefficient, TOC)；n1(T)、n2(T)和n3(T)分別為溫度改變后纖芯、包層和涂覆層的折射率。

由式(6)和(7)對Faustini提出的理論公式進行熱膨脹效應和熱光效應修正，則式(2)可改寫為

對于具有纖芯-包層-涂覆層結構的光纖，溫度會引起光纖結構及折射率的變化，從而引起相關參量κ(T)、γ(T)、V(T)、a(T)、Xq(T)、xq(T)和θ(T)發生改變。

2 溫度對光纖宏彎損耗影響的仿真分析

2.1 SMF28單模光纖

為探究溫度對單模光纖宏彎損耗特性的影響，采用纖芯-包層-無限涂覆層結構的SMF28單模光纖進行仿真分析。溫度T為20 ℃時，SMF28具體參數如表1所示[15]。

表1 T為20 ℃時，SMF28單模光纖的參數

圖2所示為波長分別為1 550和1 600 nm條件下，SMF28單模光纖在T為0和80 ℃時宏彎損耗與光纖彎曲半徑R之間的關系。由圖可知，在不同溫度下，無限涂覆層結構SMF28光纖宏彎損耗并沒有呈現出單調增加或減小的特點，而是隨著R的增加出現振蕩的現象，這些非線性變化是由于光纖發生彎曲后，纖芯中輻射出的光在包層與涂覆層界面交界處發生反射，在內表面產生散焦面進而形成封閉的回音壁模(Whispering Gallery Mode, WGM)，溫度的改變引起纖芯、包層以及涂覆層結構發生變化，導致基模與WGM間的相位差發生變化，進而產生強度不同的耦合作用。整體上看，R越小、溫度越低和波長越大時，SMF28單模光纖宏彎損耗隨R的振蕩現象越明顯。

圖2 不同波長條件下，T為0和80 ℃時，SMF28單模光纖宏彎損耗與R間的關系

圖3所示為波長分別為1 550和1 600 nm條件下，SMF28單模光纖在T為0和80 ℃時的宏彎損耗差值隨彎曲半徑R的變化情況，其中差值表示為0與80 ℃的宏彎損耗之差。由圖可知，溫度為0和80 ℃時，不同R下宏彎損耗差值存在明顯差異。當光纖的彎曲半徑R<11 mm時，SMF28單模光纖宏彎損耗差值隨R的變化較為敏感，且當波長取1 550 nm時，在7.64 mm處取得最大差值2.27 dB；波長取1 600 nm時，在7.51 mm處取得最大差值3.53 dB；當R≥11 mm時，溫度的改變對宏彎損耗差值的影響不明顯。

圖3 不同波長條件下，宏彎損耗差值與R間的關系

圖4和5所示為波長分別為1 550和1 600 nm時，不同彎曲半徑R下SMF28單模光纖的宏彎損耗隨溫度T變化的情況。由圖可知，當R不同時，SMF28單模光纖宏彎損耗隨T變化的趨勢存在明顯差異，但整體呈單調變化。當R=7 和11 mm時，宏彎損耗隨T的增加而單調增加；當R=9和13 mm時，宏彎損耗隨T的增加而單調減小。相同R條件下，波長越大，SMF28單模光纖的宏彎損耗隨T變化的幅度越大。

圖4 波長為1 550 nm時，不同R下SMF28單模光纖的宏彎損耗與T間的關系

圖5 波長為1 600 nm時，不同R下SMF28單模光纖的宏彎損耗與T間的關系

圖6所示為不同波長下，宏彎損耗與溫度T間的關系及擬合結果。由圖可知，當波長為1 550 nm、R=9.2 mm時，SMF28單模光纖的宏彎損耗與T間變化近似呈線性關系，當溫度從0 ℃增加到80 ℃時，宏彎損耗的增加幅度約為0.131 dB，通過擬合，得到線性擬合結果為y=0.001 68x+0.930 28，靈敏度為0.001 68 dB/℃；當波長為1 600 nm，R=8.5 mm時，SMF28單模光纖的宏彎損耗增加幅度約為0.217 dB，與T間變化的線性擬合結果為y=0.002 80x+3.051 86，靈敏度為0.002 80 dB/℃。

圖6 不同波長時，宏彎損耗與溫度T之間的關系及擬合結果

圖7所示為波長分別為1 550和1 600 nm擬合后的殘差值與T間的關系，最大殘差分別為0.001 96和0.003 89 dB；擬合后的殘差平方和分別為5.770E-05和2.485E-04，說明擬合結果較好。

圖7 不同波長時，線性擬合結果殘差值

圖8所示為波長為1 550 nm、彎曲半徑R=9.2 mm和彎曲圈數為20時，宏彎損耗與溫度T的變化曲線及殘差值。由圖可知，當光纖彎曲圈數為20時，靈敏度為0.033 69 dB/℃，最大殘差為0.038 9 dB。在相同波長及R條件下，增加光纖的彎曲圈數可提高光纖隨溫度變化的靈敏度，但相應的殘差值也會增加。

圖8 波長為1 550 nm，R=9.2 mm，彎曲圈數為20時，宏彎損耗與溫度的變化曲線及殘差值

2.2 1060XP單模光纖

為進一步證明本文模型的適用性，采用同為纖芯-包層-無限涂覆層的1060XP單模光纖進行分析，具體參數如表2所示[16-17]。

表2 溫度為20 ℃時，1060XP單模光纖的參數

圖9所示為不同波長條件下，溫度T為0和80 ℃時，1060XP單模光纖宏彎損耗與彎曲半徑R間的關系。由圖可知，1060XP單模光纖在不同波長下的宏彎損耗同樣隨R的增加呈現振蕩的特點。與SMF28單模光纖相比，1060XP單模光纖的振蕩幅度更大。

圖9 不同波長條件下，T為0和80 ℃時，1060XP單模光纖宏彎損耗與R間的關系

圖10和11分別為不同波長條件下對應宏彎損耗隨T變化的近似線性結果及殘差值。當波長為1 550 nm、R=7.5 mm及波長為1 600 nm、R=9.1 mm時，得到線性近似擬合結果分別為y=-0.454 05x+64.819 23和y=-0.489 60x+65.523 01。

圖10 不同波長時，宏彎損耗與T間的關系及擬合結果

圖11 不同波長時，線性擬合結果殘差值

將上述兩種單模光纖進行對比，結果如表3所示。由表可知，在給定彎曲半徑R下，兩種單模光纖的宏彎損耗與溫度T間都具有良好的線性關系，與SMF28單模光纖相比，1060XP單模光纖在波長為1 550和1 600 nm時的靈敏度更高，但線性程度較低。因此，在設計光纖宏彎溫度傳感器時，需要綜合考慮這兩個因素，根據實際情況選取合適的光纖。

表3 SMF28和1060XP單模光纖結果對比

3 結束語

基于Faustini的彎曲損耗公式，本文從理論上對其進行熱光效應和熱膨脹效應修正，探究SMF28和1060XP單模光纖宏彎損耗的溫度特性，就彎曲半徑、波長以及溫度變化等因素對宏彎損耗的影響進行了仿真分析。由于纖芯-包層-無限涂覆層結構的單模光纖發生彎曲時，基模與WGM間會產生強烈的耦合作用，使得宏彎損耗隨彎曲半徑呈現振蕩的現象，但宏彎損耗隨溫度的改變呈單調性變化。對于SMF28和1060XP單模光纖，在給定波長及彎曲半徑條件下，其宏彎損耗與溫度之間均具有良好的線性關系，這種線性關系對光纖宏彎溫度傳感器的研究具有重要意義。