基于混合GSA-GA的起重機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計

李 軍，周 偉，魏 睿

（1.重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶400074；2.軌道交通車輛系統(tǒng)集成與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400074）

1 引言

橋式起重機(jī)主梁的金屬結(jié)構(gòu)，承載和轉(zhuǎn)移起重機(jī)的負(fù)擔(dān)及其自重，是起重機(jī)整個運(yùn)行機(jī)構(gòu)的主要部件。它們的設(shè)計質(zhì)量直接影響整個起重機(jī)的技術(shù)和經(jīng)濟(jì)效益以及安全性。一般來說，起重機(jī)的箱型主梁由大量鋼板焊接而成，因此主梁的重量相當(dāng)大。它的成本占總成本的三分之一以上。因此，在滿足實(shí)際設(shè)計規(guī)范的條件，改進(jìn)起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)，來達(dá)到節(jié)省材料，減少重量對于節(jié)省成本具有重要意義。

目前在起重機(jī)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化主要有尺寸優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化和形狀優(yōu)化。在工程實(shí)際情況中主要采用的是對主梁的截面進(jìn)行尺寸優(yōu)化。文獻(xiàn)［1］利用免疫系統(tǒng)中的抗原和抗體之間的相似度和適應(yīng)度來改進(jìn)遺傳算法，對橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，但是收斂速度降低，導(dǎo)致計算時間較長。文獻(xiàn)［2］在人工魚群算法的后期，將遺傳算子引入到算法中對其進(jìn)行自適應(yīng)和反饋改進(jìn)，改善了算法的搜索精度和收斂速度。文獻(xiàn)［3］通過將PSO算法中的粒子更新全局和歷史最優(yōu)位置的機(jī)制引入引力搜索算法中幫助粒子獲得迭代過程中的位置信息，驗(yàn)證了算法的有效性。文獻(xiàn)［4］將引力搜索算法中的在慣性質(zhì)量中加入權(quán)值來達(dá)到自適應(yīng)調(diào)整，進(jìn)而改變適應(yīng)度值，提高了算法的效率。另外還有一些學(xué)者采用現(xiàn)代智能方法［5-7］對起重機(jī)進(jìn)行主梁尺寸進(jìn)行優(yōu)化。這里采用引力搜索算法結(jié)合遺傳算法中遺傳算子等操作對解進(jìn)行更新修改，然后對變量參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最后進(jìn)行有限元分析驗(yàn)證其有效性。這里將采用混合GSA-GA算法對主梁的截面進(jìn)行尺寸優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)對雙梁橋式起重機(jī)主梁的輕量化設(shè)計。

2 主梁優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

起重機(jī)的主梁通常是一個由結(jié)構(gòu)鋼板制成的箱形截面，由主腹板和副腹板，頂部和底部的翼緣板組成，如圖1所示。在一般情況下，它們具有不同的厚度。由于優(yōu)化任務(wù)是獲得最小的自重，即最小主梁橫截面積，同時滿足給定條件。主梁的變量參數(shù)總結(jié)，如表1所示。

表1 主梁截面中的參數(shù)向量Tab.1 Parameter Vector in The Main Beam Section

2.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

由于這里的目的是對主梁的截面尺寸優(yōu)化，來達(dá)到主梁的重量最小，同時還需主梁在正常工作條件下滿足要求。而主梁的重量最直接的影響條件就是其面積，故以主梁橫截面面積為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

2.2 優(yōu)化參數(shù)的確定

起重機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是在滿足整機(jī)各種約束性能的基礎(chǔ)上減小其自重。因此這里選取了截面中所需優(yōu)化的關(guān)鍵參數(shù)向量。如圖1所示，展示了截面中6個參數(shù)向量。

圖1 主梁截面參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Main Beam Section Parameters

2.3 確定約束函數(shù)

為了使設(shè)計變量滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，剛度，穩(wěn)定性，制造工藝和尺寸限制，根據(jù)起重機(jī)設(shè)計規(guī)范［8］，可確定以下幾種約束條件：

（1）主梁跨中最大應(yīng)力

作用力在跨中時，會在最大彎矩截面翼緣板上產(chǎn)生最大正應(yīng)力，則在計算截面上的正應(yīng)力應(yīng)滿足：

式中：σ-在彎矩截面上危險點(diǎn)的最大應(yīng)力；［σ］-主梁許用應(yīng)力，單位pa。

（2）主梁跨中靜剛度約束

式中：fv和fh-主梁跨中最大的垂直和水平撓度；［fv］和［fh］-跨中垂直方向和水平方向的許用撓度。

（3）主梁動剛度約束

滿載小車在跨中時，主梁在垂直和水平方向上會對結(jié)構(gòu)的振動頻率產(chǎn)生影響，故小車在主梁跨中的垂直和水平方向上的振動頻率應(yīng)滿足：

式中：［fV］，［fH］-是垂直和水平允許的動態(tài)剛度，分別等于（2～4）Hz和（1.5～2）Hz；

（4）穩(wěn)定性約束

箱梁的高寬比約束條件為：（5）邊界約束

除了上述的約束外，各設(shè)計變量應(yīng)限制一定的范圍，稱為邊界約束條件。

3 優(yōu)化算法及改進(jìn)

3.1 遺傳算法

遺傳算法是一種全局優(yōu)化概率搜索算法，它的原理是模仿生物在進(jìn)化過程中，通過優(yōu)勝劣汰的法則來保留最佳個體。在遺傳算法中，通過使用選擇，交叉和變異操作來更新稱為染色體的解決方案，以達(dá)到最佳解決方案。在該算法下，應(yīng)用選擇操作根據(jù)適應(yīng)度值找到最佳個體，然后應(yīng)用交叉和變異操作來更新解。

3.2 引力搜索算法

引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）［9］是一個受牛頓基本物理理論啟發(fā)的啟發(fā)式算法，它指出“宇宙中每個個體之間的吸引力與其質(zhì)量的乘積成正比，與距離的平方成反比”。在GSA中，各個個體被認(rèn)為是通過重力彼此吸引的對象。每個個體由位置，質(zhì)量，主動和被動引力質(zhì)量組成。根據(jù)Rashedi［10］等人的說法。考慮一組N個個體，第i個個體的位置（i=1，2，...，N）定義為：

在第t次迭代時由第j個個體作用于第i個個體的重力定義為：

式中：Maj-與個體j相關(guān)的“主動引力質(zhì)量”；Mpi-與個體i相關(guān)的“被動引力質(zhì)量”；ε-非常小的常數(shù)；Rij-“兩個個體i和j之間的歐幾里德距離”。引力常數(shù)G（t）隨時間減小，控制搜索精度并由下式給出：

式中：α和G-用戶定義的“下降系數(shù)”和“初始值”，并且T是“總迭代次數(shù)”。因此，作用于第i個個體的總力由下式給出：

式中：“Kbest”-具有更好適應(yīng)度的第一個K代理的集合，randj是0到1之間的隨機(jī)數(shù)。因此，根據(jù)運(yùn)動定律，個體i在d維度下的時刻t的加速度由下式（10）給出：

式中：Mii（t）-慣性質(zhì)量。下面給出了在第d維下t次迭代中第i個個體的速度和位置更新方程：

3.3 混合GSA-GA算法

由于GSA的優(yōu)點(diǎn)，如魯棒性，適應(yīng)性和簡單性，它被廣泛用于解決非線性約束優(yōu)化問題。此外，GSA在搜索解的過程中容易陷入局部極小值且收斂速度降低，從而會降低解的質(zhì)量。另一方面，在GA中，通過使用諸如選擇、交叉和變異的操作來更新解的集合以避免過早收斂。為保留兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的混合算法GSA-GA來解決主梁截面尺寸優(yōu)化問題。該算法在求解質(zhì)量上增加了遺傳算法的交叉和變異算子，提高了GSA算法的性能。

在初始化階段之后，使用GSA算法的機(jī)制將每個粒子個體更新為最優(yōu)解。為此，通過使用公式（7）計算每個種群的適應(yīng)度“擬合”值和重力值。在更新過程中，計算時間t處所有個體的質(zhì)量：

式中：best(t)和worst(t)-時間t處時目標(biāo)函數(shù)的“最佳”和“最差”適應(yīng)值。假設(shè)對于i=1，2，...，N時，Maj=Mpi=Mii=Mi，定義：

所有個體的速度和位置由公式（11）和（12）進(jìn)行更新。因此，在迭代之后，GSA算法形成了新的種群，并應(yīng)用遺傳算法通過使用選擇、交叉和遺傳等通用函數(shù)來更新選定的個體。由于GSA的種群規(guī)模巨大，應(yīng)該從GSA的種群中選擇多少個體更新，為了節(jié)省時間，我們通過公式（15）選擇了受GA影響的個體數(shù)量。然后分別對每個個體應(yīng)用GA算法。

式中：GSAi-當(dāng)前迭代次數(shù)；

GSAimax-引力搜索算法的“最大迭代次數(shù)”；

GAnmax、GAnmin-受遺傳算法影響最大和最小的個體數(shù)量。

根據(jù)式（15）計算的數(shù)量，選擇種群個體（xk）用于遺傳算法更新位于第一個和“Jmax”之間，其中“Jmax”定義為：

其中，GSAP代表GSA的種群大小。在選擇用于更新的個體之后，通過應(yīng)用遺傳算子進(jìn)行組合交叉和變異，產(chǎn)生出新的個體。通過使用精英主義來保留最佳解決方案。

最后，根據(jù)以下等式定義，得到GA算法的種群大小和迭代次數(shù)隨著GSA迭代的變化而變化。

其中，GAminP，GAmaxP是GA中的第一個和最后一個種群大小。另一方面，GAimax和GAimin是GA的第一個和最后一個迭代次數(shù)。δ，β分別代表GA種群大小和最大迭代次數(shù)的增長率。從這些等式（17）和（18）可以清楚地看出，隨著算法的迭代，遺傳算法的種群大小和迭代次數(shù)都會增加。整個算法過程一直重復(fù)直到得到符合要求的結(jié)果為止。

4 實(shí)例分析

4.1 參數(shù)值的選擇

引力搜索算法中的參數(shù)：常數(shù)ε，G0和α分別設(shè)置為10-100，100和20，而其他變量的初始值為零。遺傳算法中的參數(shù)：交叉速率為0.9，突變率為0.01，輪盤選擇用于更新染色體。GSA-GA參數(shù)：隨機(jī)選擇的控制參數(shù)是γ=2，δ=15，β=15，GAminP=10，GAi-min=10，GAnmin=1和GAnmax=20。這里選擇主梁在跨中最危險的工況下來驗(yàn)證改進(jìn)前后的應(yīng)力強(qiáng)度大小的變化，來證明所提出的算法能力。主要技術(shù)特點(diǎn)如下：起重量50t/10t，起重機(jī)跨度22.5m，小車質(zhì)量約為13000kg，工作級別A6。

4.2 優(yōu)化結(jié)果

比較和驗(yàn)證所提出的混合算法的優(yōu)化結(jié)果，所提出的算法在相同的例子中運(yùn)行30次，并且最大演進(jìn)次數(shù)設(shè)置為200代。圖2顯示了每種算法從30次試驗(yàn)中隨機(jī)選擇的收斂曲線。

圖2 目標(biāo)函數(shù)值迭代曲線Fig.2 Objective Function Value Iteration Curve

從表2可以看出，這里算法對主梁截面的參數(shù)變量都有不同程度的優(yōu)化，從而使主梁的截面面積達(dá)到一定的優(yōu)化減小，這里優(yōu)化前后減少了4000mm2，截面面積優(yōu)化率達(dá)到了12.35%，故而達(dá)到減少主梁重量的目的。

表2 主梁優(yōu)化結(jié)果比較Tab.2 Comparison of Main Beam Optimization Results

4.3 優(yōu)化后模型的力學(xué)分析

根據(jù)起重機(jī)載荷選擇在最危險的位置跨中進(jìn)行分析，其計算結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 優(yōu)化前后的主梁應(yīng)力圖Fig.3 Main Beam Stress Map Before And After Optimization

圖4 優(yōu)化前后的主梁撓度圖Fig.4 Main Beam Deflection Diagram Before And After Optimization

如圖3所示，優(yōu)化前跨中最大應(yīng)力值為107MPa，優(yōu)化后為136MPa，最大應(yīng)力出現(xiàn)位置在主梁跨中附近，但都在許用應(yīng)力值范圍之內(nèi)，滿足設(shè)計要求。如圖4所示，優(yōu)化前的撓度值為9.612mm，優(yōu)化后的撓度值為17.920mm，雖然在優(yōu)化后撓度值有所增大，但都還滿足許用撓度值要求。

5 結(jié)論

為了解決起重機(jī)主梁金屬結(jié)構(gòu)在滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的要求前提下，主梁的質(zhì)量過重的問題。這里結(jié)合遺傳算法和GSA算法的特點(diǎn)，提出了一種稱為GSA-GA的混合算法，該算法通過添加選擇、交叉和變異等遺傳算子，提高了GSA算法尋找最優(yōu)解的性能。也就是說，將遺傳算子嵌入到GSA算法中，可以提高GSA算法的探索和開發(fā)能力。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果和測試表明，提出的算法對于找到全局最優(yōu)解搜索效果好且更加可靠。最后通過對主梁進(jìn)行有限元建模仿真分析，其強(qiáng)度和剛度都滿足要求，且主梁截面面積優(yōu)化比為12.35%，可為起重機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考。