中學數學幾何解題策略

崔健強 溫瑞萍

摘要：數學是思維的體操，數學解題因此也要以“多想”為主，要力求解題方法的簡潔自然。本文以波利亞解題思想為理論依據，結合山西省數學中考的幾道幾何題為例，展示解題思路，分析解題過程，反思解題方法。通過題目中的啟發性提示詞合乎情景地提出化歸思想在解幾何題中的自然生成;通過構造輔助線和類比輔助解決問題，尋找解題的簡潔過程并能夠一題多解;通過“多想少算”簡化解題過程，在此基礎上促進學生掌握數學思想，提高思維品質。

關鍵詞：幾何題;化歸思想;數學思想;自然

中圖分類號：G640 ?文獻標識碼：A

數學的解題方法追求簡潔、自然，把復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，要自然生成解題思路[1]。波利亞和希爾伯特始終堅信，在對待數學問題上，我們無法成功找到答案的原因是還有一些簡單輕松的數學問題沒有得到解決，這就無法支撐我們解決更為復雜困難的問題，所以要盡可能豐富解題思路和方法，發現問題間的聯系，將難題轉化為已解決的難題或幾個簡單題，化歸是中學數學解幾何題中常用的重要方法。

本文以波利亞《怎樣解題》解題思想為理論依據，結合山西省近幾年中考數學題，從中選擇2016年第15題、2019年第15題，2道利用化歸思想求線段長度、2020年第22題利用化歸思想判斷圖形形狀、線段數量關系和類比相似問題作為代表，對三道例題的解題思路、解題過程、解題方法進行剖析、總結并反思[2]，發現都可以用化歸思想簡單、便捷、自然的解決問題。

一、 問題

（一）運用化歸思想求線段長度

綜觀山西省歷年中考題，在2013年第17、21、23、25題，2014年第15、16、23題，2015年第15、16、23題，2016年第15、22題，2017年15、21、22題，2018年第15、22題，2019年第15、22題，2020年第15、22題都是采用化歸法求線段長度、圖形面積、線段之間的數量關系或判斷圖形形狀以此達到簡單快捷的效果。本節以波利亞《怎樣解題》為理論依據，遵循理解題目、擬定方案、執行方案 、回顧的步驟來分析解題思路。

例1 （2016年山西卷第15題）如圖1，已知點C是線段AB的中點，CD⊥AB且CD=AB=4，連接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分線，與DC相交于點F，EH⊥DC于點G，交AD于點H，則HG的長為_______。

例2 ?（ 2019年山西卷第15題 ） 如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為△ABC內一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為_____cm。

（二）運用化歸思想求線段數量關系

分解和重組是波利亞指出的思維的兩個重要活動[3]。對于證明題，先考慮整體，分析整體的主要部分（題設和結論），根據證明的需要，再將題設和結論分解為細小部分，單獨考慮，分布解決細節，將根據細節所得的結論重組，再深入證明結論。本部分以此思想為理論依據，當通過直接證明兩線段數量關系受阻時，通過分割、轉化到同一個三角形或規則圖形中，來達到解法的自然生成，提升學生思維品質。

例3（2020年山西卷第22題）問題情境：

如圖3，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C）。延長AE交CE′于點F，連接DE。

猜想證明：

（1）說明四邊形BE'FE的形狀;

（2）如圖4，若DA=DE，請猜想線段CF與FE'的數量關系并加以證明;

解決問題：

（3）如圖3，若AB=15，CF=3，請直接寫出DE的長。

二、解題思路與方法展示

根據波利亞《怎樣解題》中提到的四個步驟：理解題目、擬定方案、執行方案、回顧，分析三道例題的解題思路和方法。

（一）例1的解題思路與方法展示

解析：第一步，理解題目。必須明確已知條件是什么;已知條件蘊含哪些隱藏條件;明確要求解什么（未知量）。要求線段HG。

第二步，擬定方案。已知跟未知之間存在怎樣的關系？要求HG，直接求HG不好求，但HG屬于HE的一部分，并且在Rt△ADC里面，可轉化為求GE的長度或者用相似的方法求HG。

分析GE與圖形之間的聯系？從已知條件易得，四邊形GCBE是矩形，又點C是AB的中點，GE=AC=BC=2，AD=2 ，EH∥AC，AE是∠DAB的平分線，由此推出AH=HE，設HG=x，用帶有未知數x的式子表示AH和DH，由此把含有x的線段轉移到同個三角形中，利用相似定理，找準對應邊關系，建立等式。

第三步，執行方案。HG=3- 。

第四步，回顧問題與解題過程。這道題不能直接看出解答，思路受阻，嘗試把所求線段轉化到特殊三角形中進行求解，對于類似問題都可以用這種方法。

（二）例2的解題思路與方法展示

解析：第一步，理解題目。要求線段CF。

第二步，擬定方案。分析已知條件和未知量之間的聯系，要求線段CF，線段CF是線段AC的一部分，所以問題可以轉化成求線段AF，線段AF雖然是Rt△ABF的一條直角邊，但是因為條件不夠無法求解線段AF的長度，因此根據題目旋轉，把線段AF的注意力轉移到△ADE中，△ADE是等腰直角三角形，過點A作線段DE的垂線，垂足為G，這樣又把線段AF轉到一個角為30°的特殊直角三角形中，根據勾股定理或余弦值，求得線段AF。至此，CF=AC-AF。

第三步，執行方案。解得CF=10-2 。

第四步，回顧問題與解題過程。這道題具有一定的特殊性，從圖形上觀察，點B、D、F、E是在一條直線上的，但是根據數據計算或者題目，我們發現這四個點并不在一條直線上，因此在解題時，要探索發現獲得理性認識，步步有依據，不能光從圖形觀察。

（三）例3的解題思路與方法展示

1.第（1）小題的解題思路與方法展示

解析：第一步，理解題目。判斷四邊形BE'FE的形狀。

第二步，擬定方案。尋求結論與已知條件的關系，要判斷圖形的形狀，就是要判斷邊與邊的關系，角與角的關系，邊與角的關系。如圖3，要判斷四邊形BE'FE的形狀，根據已知條件，旋轉可得BE=BE'，∠EBE'=∠BE'F=90°，又∠AEB=90°，延長AE交CE'于點F，所以點A、E、F在同一直線上，即∠FEB=90°。

第三步，執行方案。四邊形BE'FE是正方形。

第四步，回顧問題與解題過程。先觀察圖形，猜測四邊形BE'FE是正方形，尋找四邊形BE'FE角的關系和邊的關系，通過正方形定理進行證明，并牢記這一結論。

2.第（2）小題的解題思路與方法展示

解析：第一步，理解題目。要判斷線段CF與FE'的數量關系。

第二步，擬定方案。尋求結論與已知條件的關系，要判斷線段的數量關系的情況分兩種，第一種兩線段在同一圖形內，可以構造輔助圖形，根據邊角關系、全等或相似來計算線段的數量關系;第二種兩線段不在同一圖形內，這種情況又可分兩種討論，第一種直接根據兩圖形邊角關系，利用全等或相似，解決問題;第二種構造輔助圖形，把兩線段轉化到三角形或規則圖形，以此判斷兩線段的數量關系。

分析結論線段CF與FE'是△CE'B的一條直角邊分成的兩條線段，直接判斷線段數量關系的思路受阻，嘗試線段CF或FE'轉化到另一三角形中，由第（1）小題易得，四邊形BE'FE是正方形，因此BE=FE'，就可以把問題轉化成判斷線段BE與CF的數量關系。根據新增條件DA=DE，所以△DAE是等腰三角形，又因為旋轉，得AE=CE'，由此把問題轉化到△DAE和△AEB中，根據兩三角形的特殊性，嘗試作過點D的線段DH⊥AE，垂足為點H，點H即線段AE的中點，得到△AEB≌△DAH，BE=AH=CE'/2。

第三步，執行方案。BE=FE'=CE'/2，CF=CE'-FE'，結論得CF=FE'。

第四步，回顧問題與解題過程。觀察圖形并猜測線段CF與FE'的數量關系，重點關注新增條件，轉化邊的關系，借助特殊三角形的性質，利用全等定理證明CF=FE'。

3.第（3）小題的解題思路與方法展示

解析：第一步，理解題目。要求DE的長，但線段DE所在△DAE并不是直角三角形，也不是特殊三角形，當題中的圖形不能直接通過計算求線段長度思維受阻后，可以通過切割拼補等方法使原先圖形轉化為熟悉的圖形。

第二步，擬定方案。尋求未知量與已知條件的關系，根據第（2）小題的解題經驗，構造類似的輔助直角三角形，過點D作DH⊥AE，垂足為點H，由此可以把不規則三角形轉化成已解決的圖形。根據第（2）小題得知，△AEB≌△DAH，所以AH=BE，DH=AE，而要求的線段DE在Rt△DHE中，所以要解決的問題就轉化為求線段DH和線段HE。已知CF=3，不妨嘗試把要求的線段轉化到△CBE'，EH=AE-AH，而AH=BE'=E'F，AE=CE'，把要求的線段都轉化到Rt△CE'B中，根據勾股定理，建立等式，求出BE'和CE'，則EH=AE-AH=3，DH=AE=CE'=12，在Rt△DHE中，根據勾股定理可得DE=3 。

第三步，執行方案。檢查過程，DE=3 。

第四步，回顧問題與解題過程。第（3）小題與第（2）小題類似，所以嘗試用同樣的方法，構造輔助條件，把第（3）小題轉化為第（2）小題進行求解，這就是數學思想。

三、反思與啟示

（一）化歸思想在解幾何題中的自然生成

涂榮豹在《數學教學設計原理的構建——教學生學會思考》中提到，要解決一個難題，就是處在有力無處使的境地，最開始要有思路是很難的，因此要把注意點放在題設，從問題的原點開始，分析題設，理清已知條件間邏輯關系，弄清問題是什么，問題與已知條件存在怎樣的聯系，撥繭抽絲解決問題[4]。

教師課堂教學，一個好的教師在一堂課的開始就讓學生知道為什么要上這節課，對于這節課的知識要掌握到什么程度，這堂課的教學內容的本質是什么，怎么用這些知識，這是一堂課所需要具備的環節，這其中必不可少的就是啟發性提示語，使得教學過程環環相扣，體會教學內容自然生成的過程。所以解題過程也同樣需要啟發性提示語，只不過這些提示語需要學生去發現，當學生已有的條件無法跟未知量產生聯系，教師就需要合乎情景的使用啟發性提示語，讓學生體會解題過程的自然：當CF與FE'的數量關系看起來不好判斷時，能否尋找所要求的邊的關系與其他邊的關系？能否從其他條件中得到一些有用的信息？如果找到了相關關系，依然不能解決問題，能否構造輔助條件或圖形把已知條件跟未知量串聯起來？啟發學生從其他邊和構造輔助圖形等方面進一步思考。判斷邊的數量關系，通常使用全等和相似的方法，嘗試把構造輔助問題，把問題與條件間建立關系，過點D作DH⊥AE，垂足為點H，因為DA=DE，所以△DAE是等腰三角形且點H是線段AE的中點，△AEB≌△DAH，所以AH=BE而AE=CE'，從而求出CF=FE'。

在教學過程中采用啟發性提示語讓學生經歷自然的知識產生過程，因而在解題過程中可以采用同樣的方式讓學生經歷解題過程的自然，體會自然流暢的思考過程，體會思維活動的自然和解題方法產生的自然，從而積累數學的解題活動經驗和數學思想，教師采用啟發式提示語讓學生習慣自我啟發，感受解題思路和方法產生的自然，教學生學會思考。

（二）構造輔助線和類比輔助解決問題，尋找解題的簡潔過程并能夠一題多解

波利亞在《怎樣解題》中提到“出色的念頭”[5]，這是用來描述對問題有了大進步，而“出色的念頭”產生的必要條件就是一種熟悉的經歷，解過類似的題。當現有的題目不好解時，發現它與之前解過的題目類似，圖形有些許的變化，就需要嘗試合適的輔助條件，使現有的條件與之前的條件類似甚至一樣，這就需要思維活動。分析上述的三個例題的共同特點發現，借助構造輔助條件進行分割拼補，建立與所要求解問題的實質聯系的直角三角形，這是解題思路和方法自然生成的化歸思想。

例1中沒有構造輔助條件，但是依據波利亞《怎樣解題》中的解題思想，把思維受阻的問題轉化為易求解的問題。要求的HG轉化為易求的HE再轉化為直角三角形的斜邊AH，根據相似從而求出HG的長。

例2要求線段CF的長度，把它轉化為直角三角形的一條直角邊，發現條件不夠無法求解，再轉化到等腰直角三角形中，并構建直角三角形，最后根據勾股定理或余弦值求出線段CF。

例3第（2）小題直角三角形一條邊的兩條線段的數量關系看著不好求，就把其中一條線段轉化到另一直角三角形中，作等腰三角形第三邊的垂線，利用全等定理實現邊的轉化，從而判斷兩條線段的數量關系。

例3第（3）小題，圖形與第（2）小題類似，嘗試采用同樣構造輔助條件的方式，轉化邊的關系，把問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理求解。

在解幾何題的過程中，學生具有將一般三角形轉化為直角三角形再轉化為特殊的直角三角形的意識，掌握數學解題思想，就可以實現一題多解、一題多變、多題一解，學生在有了反思解題過程的思維后，自然就生成了解決新問題的能力。

（三）通過“多想少算”簡化解題過程，掌握數學思想

繼續反思上述3道例題的解法的共同點，直接求解問題思維受阻，關鍵在于把問題轉化到特殊三角形或者構造特殊三角形，而輔助三角形與原三角形存在某種聯系，因此求輔助三角形的邊即可，不需要求原三角形的邊的關系（如例2和例3第（2）、（3）小題）就可以直接求輔助三角形判斷線段的長度和數量關系。通過“多想少算”進行簡化運算，鍛煉學生的思維活動并且提升學生思維品質體現數學的簡潔美。

解題是數學學習的重要組成部分，而數學題是解不完的，因此需要反思數學的解題過程，分析解題思路和方法，概括出共同點，凝練解題思路和方法，升華并掌握數學思想。在解題時要注意解題思路的自然，使學生能夠經歷分析、解決問題的解題過程后再從解答或題目中發現、提出新問題、再分析、解決新問題由此循環往復，使學生在解決一道問題的基礎上解決一類問題，從而掌握數學思想，提高解題效率。

參考文獻

[1]（美）波利亞著;涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]韓龍淑，郝曉鑫.一道數學問題解法的自然生成及其教學啟示[J].中國數學教育（初中版），2017（09）：49-52.

[3]孫朝仁.中考試題解法“自然性”的四個“引擎”[J].中國數學教育（初中版），2016（10）：54-55.

[4]涂榮豹著.數學教學設計原理的構建[M].北京：科學出版社，2018.

[5]郝曉鑫，韓龍淑.面積法在解中考數學試題中的運用[J].中國數學教育（初中版），2016（10）：52-53.

基金項目：2017年度山西省教育科學規劃課題支持（ZJ-17011）

作者簡介：

崔健強（1998—），男，山西運城人，碩士研究生，主要從事數學課程與教學研究。

溫瑞萍（1965—），女，山西太原人，教授，主要研究領域為數值代數及其應用。