從“定義描述”到“邏輯推理”
——由“曲線與方程”課堂教學引發的思考

浙江省象山縣第二中學 (315731) 馬燕青

最近，筆者參加了縣教壇新秀的課堂教學評比，課題是“曲線與方程”.“曲線與方程”是解析幾何核心思想——“用代數方法研究幾何問題”的理論依據，它解釋了曲線與方程之間的對應關系，展現了“數與形”、“靜止與運動”的對立統一.因此，本節課在高中數學中的教學地位非常重要.

1 教學的目標定位：“學生能夠描述定義”

在教材(人教A版)中，本節課只占區區“30余行字”，所有的內容都是圍繞著“曲線方程”與“方程曲線”的概念展開，因此，筆者認為本節課的教學目標就是讓學生理解什么是“曲線方程”與“方程曲線”的基礎上能夠對具體的問題進行“純粹性”與“完備性”的證明.主要教學過程如下：

1.1 創設情境，引入課題

問題1 已知曲線C：第一、三象限角平分線和三個方程f(x,y)=0：①x-y=0,②x-y=0(x≥0),③|x|=|y|，試判斷 ：

(1)曲線C上各點的坐標是否都是相應方程f(x,y)=0的解 ；

(2) 以相應f(x,y)=0的解為坐標的點是否都在曲線C上?

意圖：直接設問明晰思考方向，適當反問誘發學生的深入思考，為曲線與方程概念的獲得鋪設第一步臺階.

問題2 你能寫出下列圖1，圖2曲線對應的方程嗎？

圖1 圖2

意圖：利用學生熟悉的曲線寫出其相應方程，進一步理解曲線上的點的坐標與方程的解之間的對應關系，為曲線與方程概念的獲得鋪設第二步臺階.

1.2 自主探究，形成概念

問題3 根據上述兩個問題的解答，請回答下面兩個問題：

(1)對給定的曲線C，如用一個方程f(x,y)=0來表示，那么該方程應該滿足哪些條件？

(2)在給定的平面直角坐標系中你認為每條曲線C是否只有唯一的方程f(x,y)=0和它對應？反過來呢?

意圖：揭示曲線與方程之間的對應關系，抽象出“曲線的方程與方程的曲線”的概念.

一般地，在給定的平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.并說明曲線的方程反映的是圖形所滿足的數量關系;方程的曲線反映的是數量關系所表示的圖形.

1.3 數學運用，深化概念

例1 判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)到x軸距離等于1的點的軌跡方程為x=1；

(2)△ABC的頂點A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC的中點，則中線AD的方程為x=0；

(3)到兩坐標軸的距離之積等于1的點的軌跡方程為|xy|=1.

例2 證明：以坐標原點為圓心，半徑等于2的圓的方程為x2+y2=4.

意圖：用兩道例題來深化對“曲線與方程”概念的理解，學會用圍繞著曲線的方程與方程的曲線的定義來驗證數與形之間的等價性.

教學反思：通過本節課的教學，學生基本能夠求出曲線對應的方程，但在證明“曲線與方程”的等價性時卻出現了問題.學生看似能夠熟練的“描述”曲線的方程與方程的曲線的等價性.比如，在例2中，學生會說“圓上點所對應的坐標都是方程x2+y2=4的解，反過來以方程x2+y2=4的解為坐標的點都在圓上”.隨后，筆者把問題改為“求以坐標原點為圓心，半徑等于2的上半圓的方程”，學生給出的曲線方程是“x2+y2=4(y>0)”，方程顯然正確，但當筆者問道“怎么證明所求的方程就是半圓的方程”，學生給出的理由就是把對“例2”描述重復一遍，唯一的差別就是把其中的“圓”替換成了“半圓”，當筆者追問“怎么驗證半圓上的點都滿足方程x2+y2=4(y>0)” 時，多數學生一臉茫然…，可見，學生是“知其然而不知其所以然”，對“方程與曲線”的一致性的證明只是停留在對概念本身的“描述”階段，而沒有真正的理解其中的數學原理，即為什么可以這樣描述？

2 反思：“定義描述”無法替代“邏輯推理”

本節課的教學為什么不能取得預期的教學效果，主要原因是教學難點沒有得到真正的突破.表面上看，“曲線的方程與方程的曲線”的概念是本節課的重點與難點，似乎概念能“描述”清楚，教學目標就能夠達成，從而導致教師過分地關注對“曲線的方程與方程的曲線”概念本身的描述，而忽視了對“曲線與方程”等價性原理的揭示，其所產生的后果就是學生對“曲線與方程”的認知只能在記憶與模仿的低級思維層面徘徊，面對具體的問題只能是“依樣畫葫蘆”.

實際上，“邏輯推理”才是這節課的核心，從“曲線與方程”概念的生成到判斷證明，無一不需要經過邏輯推理.作為數學核心素養之一的邏輯推理，它是一種基于事實和命題，并根據規則推導出其他命題的素養.邏輯推理主要包括兩類推理：一類是從特殊到一般的推理，主要有歸納、類比兩種推理形式；另一類是從一般到特殊的推理，主要就是演繹推理.在本節課中，一方面，需要通過歸納與類比推理來“驗證某個特殊點在或者不在曲線上”從而引導學生發現“曲線與方程”之間的關聯性，獲得“曲線的方程與方程的曲線”的概念；另一方面，需要通過演繹推理從純粹性與完備性兩個角度來驗證“曲線與方程”的等價關系，從而使學生掌握推理的基本形式和規則，體會以形描數，以數敘形，數形一統的解析幾何基本思想.但教學中以“定義描述”來替代“邏輯推理”的不當做法淡化了證明的推理屬性，導致學生對“曲線與方程”的理解無法觸及本質.

3 教學目標再定位：“學生學會邏輯推理”

由此可見，學會邏輯推理才是“曲線與方程”這節課的教學重點.推理作為不可或缺的思想方法，滲透在數學的產生與發展過程中，數學家陳省身說過，學生應該學會推理，推理很要緊， 推理不僅在數學，在其他學問里也是要用到的.《普通高中數學課程標準(實驗)》明確指出，培養和提高學生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數學課程的重要目標，合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成.由于學生第一次接觸關于“曲線與方程”關系的嚴格論證，缺乏相關的學習經驗，因此，需要對推理的過程進行系統的設計.

3.1 立足“運動中的不變性”，明確推理的依據

對于“曲線與方程”等價性的推理主要存在兩大障礙：一是“曲線”呈現出來的是直觀的“形”，而方程反映的是抽象的“數”，它們分屬于不同的數學對象，很難進行直接對比；二是曲線上有無數個點，方程有無數個解，從數量上無法做到逐一對比.突破這兩大障礙的關鍵是要找到溝通“曲線”與“方程”的橋梁.那這個橋梁到底是什么呢？其實就是曲線所遵循的運動規律、幾何屬性，即“運動中的不變性”.

又比如，證明“第一、三象限角平分線”與方程“y-x=0”的等價性，關鍵要驗證曲線上的點與方程的解都滿足角平分線的幾何屬性，即“到角兩邊的距離相等.“第一、三象限角平分線”上任意一點的坐標為(x,x)，顯然到兩坐標軸的距離都相等；方程“y-x=0”的任意一組解都滿足|y|=|x|，進一步變形為|y-0|=|x-0|，根據絕對值的幾何意義，方程所表示的就是“到坐標軸兩邊距離相等”.不論是“第一、三象限角平分線”，還是方程“y-x=0”，它們都是對角平分線幾何屬性的刻畫，因此它們是等價的.

如圖3，在解析幾何中，一方面用方程來表示曲線“運動中的不變性”，另一方面可以通過分析方程的結構特征來發掘其所蘊含的“運動中的不變性”，從而實現數形一致性的驗證.由此可見，“運動中的不變性”才是“曲線與方程”等價性推理的依據，這個依據教材雖然沒有明確指出，但縱觀前面的直線與圓，還是后面的圓錐曲線，都是按照“探索定義——求解方程——等價性檢驗”套路展開的，其中“探索定義”實質上就是研究曲線“運動中的不變性”，只有定義得到明確方程才能得以求解.因此，在本節內容的教學中，首先應該強調曲線上點的“運動中的不變性”，即要把曲線的“定義”凸顯出來，在學生明白“曲線是怎么來”的基礎上再進行等價性的推理.

圖3

3.2 經歷特殊到一般的過程，明確推理的步驟

圖4

數學概念一般分為兩類，一類是對現實對象或關系的直接抽象，這類概念與生活現實接近，容易理解；另一類是純粹的數學邏輯構造，這類概念高度抽象，沒有客觀現實與之對應.“曲線與方程”恰恰屬于后一類，從淺層上看它是對兩個概念的抽象表述，但從深層次上看恰恰是對兩個概念邏輯關系的驗證.李邦河院士認為 “數學從根本上玩的是概念”，因此，教師要依據數學概念類型來規劃教學流程，在教學中更是要做到“不惜時,不惜力”.