一道2021年高考壓軸題的多視角探究

福建師范大學數學與信息學院 (350117) 束浩東

近年來全國高考和各地的模考試卷中頻頻出現導數的極值點偏移問題，該類型試題通常以壓軸題的形式出現，對考生的數學思維能力和基本功要求較高.文章以2021年新高考數學1卷的壓軸題為例，對一類極值點偏移問題進行了多解探究，總結了證明此類問題的常見方法和思路，在此基礎之上對該題的“母題”進行了優化證明.

1 原題再現

2 試題解析

問題(I)的求解：由f(x)=x(1-lnx)得f′(x)=-lnx.分別令f′(x)>0得01.故f(x)的單調遞增區間為(0,1)；單調遞減區間為(1,+∞).

下面主要是對問題(II)的證明進行探究.

思路一：構造函數，對稱作差

證明：(1)先證x1+x2>2，即證x2>2-x1.因為0f(x1)，顯然矛盾！故假設不成立，即x1+x2>2得證.

圖1

(2)再證x1+x2

圖2

評注：本題是一道老生常談的“極值點偏移”問題，求解的關鍵在于揭開試題“神秘的面紗”，不被其表象迷惑.由于原函數中含有對數函數，因此在比較大小時考慮使用作差法較為簡潔.根據函數特點畫出草圖，可使解題思路更為清晰明了！利用對稱作差構造函數是解決此類問題的基本思路，當然，筆者對后半部分的證明過程當中用到了部分高數知識，對于高中生來說可能不太適合.因此在這里留下一個瑕疵，期待有更為完美的處理方法.

思路二：等價變形，換元轉化

圖3

評注：實際上方法一和方法二如出一轍，相對方法一而言，方法二的難度在于如何將題設條件blna-alnb=a-b合理變形，通過巧妙換元把問題轉化為研究函數g(t)=tlnt(t>0)的極值點偏移問題，因此該方法具有一定的技巧性和創造性，對考生的數學思維能力要求較高.

思路三：巧用放縮，妙解問題

(2)再證明x1+x2

評注：可以說對數平均不等式是解決極值點偏移問題的一大有效“殺手锏”，根據題設條件合理進行變形轉化往往可以獲得事半功倍的良好收益.第二部分證明的關鍵點在于能否發現并利用“1-lnx1>1，1-lnx2<1”這一隱藏結論，運用放縮法研究不等式問題對學生而言具有一定的挑戰性，不僅要掌握一定技巧還需對常見基本函數的相關結論如“lnx≤x-1,(x>0)”有一定的積累.教師在日常教學中應注意歸納和整合相關知識，幫助學生建構自己的知識網絡以我完善學生的數學認知結構,助力學生數學學科核心素養的達成.

思路四：合理代換，化難為易

3 題源探究

A.(1)(2) B.(1)(3)

C.(2)(3) D.(1)(2)(3)

結論(3)即為本文原題第(2)小問的前半部分，不再闡述.

4 寫在最后

作為數學教育工作者，應從不同的視角深入探究，不斷優化解題過程，發掘試題背后所蘊含的價值.高考評價體系中也強調“經過素質教育的培養，學習者應當能夠從多個視角觀察、思考同一個問題；能夠靈活地、創造性地運用不同方法，發散地、逆向地解決問題”.由此可見，多視角探究問題既是考試評價要求也是培養學生發散性思維和創新精神的重要途徑.基于此，筆者認為在數學解題教學中應充分發揚試題的輻射作用，鼓勵學生從不同層次對問題展開探究，尋找不同的解題方法，從“就題論題”上升到“就題論法”，避免機械式的題海戰術.