2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷解幾壓軸題的解法探究及試題溯源*

廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (528404) 楊沛娟廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 張 宇

*本文系廣東教育學(xué)會(huì)教師繼續(xù)教育學(xué)會(huì)2020年度規(guī)劃課題《基于提升高中青年數(shù)學(xué)教師聽(tīng)評(píng)課能力的實(shí)踐研究》(課題編號(hào)：2020gh070),廣東教育研究院規(guī)劃課題《基于STEM教育理念下圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與研究》(課題編號(hào)：GDJY-2020-Ab-259),中山市市級(jí)科研立項(xiàng)一般課題《基于GeoGeBra在高中數(shù)學(xué)“可視化課堂導(dǎo)入”的實(shí)踐與探究》(課題編號(hào)：B2020196)三個(gè)基金項(xiàng)目的階段性成果.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

2 試題分析

此題的解法較多，另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的解法是利用參數(shù)方程，同樣思路比較清晰，并且計(jì)算量小，是一個(gè)不錯(cuò)的解法.

3 試題解答

評(píng)注：用普通方程聯(lián)立原方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理，最后得出斜率間的關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)是思路比較清晰，但計(jì)算量比較大.

∴k1+k2=0.

評(píng)注：此解法通過(guò)構(gòu)造方程得出斜率間的關(guān)系，本質(zhì)上和解法1是相同的.

評(píng)注：以上前兩種解法都屬于常規(guī)解法，解法1和解法2是用普通方程的方程，設(shè)直線的方程后，利用韋達(dá)定理.解法3用參數(shù)方程，可以看出，用參數(shù)方程計(jì)算量小很多.

評(píng)注：此解法運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合斜率的定義，思路清楚，運(yùn)算量不大，是一種比較好的解法.

以上是幾種常見(jiàn)的解法，此題其他解法還有，用代數(shù)法圓的定義及性質(zhì)，復(fù)數(shù)法，雙曲線的參數(shù)方程法，行列式法等，限于篇幅，此處從略.留給有興趣的讀者可以作為練習(xí).

4 試題溯源

4.1 教材題源

在普通高中人教A版數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第38頁(yè)例4及其變式探究.

設(shè)AB，CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB，CD與橢圓長(zhǎng)軸的交角為∠1，∠2,且∠1=∠2，證明：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

教材中例4 的類(lèi)比探究題，把橢圓改為雙曲線？拋物線呢？

4.2 高考題源

2.(2005年湖北高考理科試題)設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

(Ⅰ)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.

(Ⅰ)證明：點(diǎn)P在C上；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

4.3 競(jìng)賽題源

1.(2009年江蘇高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)拋物線y2=2px及點(diǎn)P(1，1)，過(guò)點(diǎn)P的不重合的直線l1,l2與此拋物線分別交于點(diǎn)A,B,C,D，證明：A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線l1,l2的傾斜角互補(bǔ).

(1)確定λ的取值范圍；

(2)試判斷A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓？并說(shuō)明理由.

4 教學(xué)建議

在高考復(fù)習(xí)中，一定要加強(qiáng)三基的訓(xùn)練.幫助學(xué)生梳理教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉結(jié)構(gòu)版塊；立足教材基本例題、習(xí)題，搞好變式研究，復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生突出主干知識(shí)、抓住本學(xué)科各部分知識(shí)之間的聯(lián)系和綜合，形成知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò).

教師在教學(xué)中要選出最優(yōu)秀的試題，最具典型性和最有價(jià)值的試題，講題時(shí)滲透數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，形成對(duì)知識(shí)的悟性，提高他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

以數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用為例，函數(shù)與方程的思想、分類(lèi)與整合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想等思想學(xué)生可謂耳熟能詳，為什么考場(chǎng)上用不上？主要原因是平時(shí)教師生硬地將這些方法灌輸給學(xué)生，學(xué)生食而不化，當(dāng)然在考場(chǎng)上更不會(huì)熟練應(yīng)用，所以重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和運(yùn)用，要始終堅(jiān)持指導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法的提煉，讓學(xué)生從思想上去揭示問(wèn)題的本質(zhì).在解題后進(jìn)行反思和提煉是成功的經(jīng)驗(yàn).發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性和教師的主導(dǎo)地位，要相信學(xué)生，要把思維還給學(xué)生，要讓學(xué)生真正的成為學(xué)習(xí)的主人.同時(shí)督促學(xué)生抓好平時(shí)各個(gè)環(huán)節(jié)，比如審題要謹(jǐn)慎、推理要嚴(yán)密、表述要清楚、計(jì)算要準(zhǔn)確等能力.