從一道八省聯(lián)考題談函數(shù)切線問題的求解

江蘇省興化市楚水實驗學(xué)校 (225700) 袁小強(qiáng)

1.引例

(1)人教版《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》第99頁習(xí)題5.3第12題：利用函數(shù)單調(diào)性證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證：ex>1+x,x≠0.

本題要求通過函數(shù)圖象直觀驗證，如圖1，從函數(shù)圖象上看，y=ex圖象恒在y=x+1的上方，從而ex≥x+1，并且發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)相切于點(0,1)處，但是從不等式證明角度來看，嚴(yán)格的邏輯證明只能是從定義、定理公式、法則等出發(fā)，不能通過圖象作為證明依據(jù)，于是通過構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x-1，利用研究導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值，從而解決問題，由h′(x)=ex-1，當(dāng)x<1時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.因此h(x)≥h(x)min=h(0)=0，因此不等式得證.

圖1

(2)人教版《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》第97頁練習(xí)第1題：利用函數(shù)單調(diào)性證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證：sinx

顯然該式可以推廣到一般情況：sinx0)，sinx

圖2

2.聯(lián)考題及解答

例1 (2021八省模考22題)已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

圖3

(2)由g(0)=2發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)過(0,2)，而y=2+ax也過(0,2)，兩個函數(shù)有公共點，如圖4，從圖象上聯(lián)想到可能是切線，也就是函數(shù)g(x)=ex+sinx+cosx在(0,2)處的切線就是y=ax+2，從而通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及零點存在性定理“小心求證”，從而掌握研究導(dǎo)數(shù)問題的一般方法：從“直觀感知”到“推理論證”.

圖4

2°、當(dāng)x≥0時，令y=x+1-sinx-cosx≥x-sinx，令φ(x)=x-sinx，則φ′(x)=1-cosx≥0，從而φ(x)在(0,+∞)單調(diào)增，φ(x)≥φ(0)=0，于是x+1≥sinx-cosx；

(2)令G(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，則G(0)=0.

1°、當(dāng)a=2時，G(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，則G′(x)=ex+cosx-sinx-2，G″(x)=ex-sinx-cosx≥0，于是G′(x)單調(diào)增，又G′(0)=0，從而G(x)在(-∞,0)單調(diào)減，在(0,+∞)單調(diào)增，G(x)≥G(0)=0成立，因此a=2；

綜上a=2.

3.變式

變式1 (2020泉州模考題)已知函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=2x2-1.

圖5

解析：(1)F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)(過程略).

綜上，a≥-1.

1°、當(dāng)a=0時，不等式恒成立，因此a=0；

4.結(jié)語

曲線的公切線問題一直是高考的熱點，其中涉及證明、求值或求范圍問題.此類問題研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變，精準(zhǔn)地把握函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的切入點“切線”，才是解決導(dǎo)數(shù)問題的“王道”.研究兩個函數(shù)(直線與曲線、曲線與曲線)之間的關(guān)系，借助切線(或公切線)這個紐帶和橋梁，從而巧妙地轉(zhuǎn)化為直線與曲線的關(guān)系，并用嚴(yán)格邏輯推理證明“猜想”.此類問題解題方向明確：一般是先找切線，再導(dǎo)數(shù)證明.導(dǎo)數(shù)搭臺，切線唱戲，多題歸一，從直觀感知到推理論證，這樣培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，能引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、審美價值，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的育人價值.