2020年全國(guó)Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第23題的探究與推廣

廣東省中山紀(jì)念中學(xué) (528454) 鄧啟龍

高考真題設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)證明:ab+bc+ca<0;

首先給出第(1)問的三種證明方法.

由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0得a2+b2+c2=-2(ab+bc+ca),于是得到以下結(jié)論:

結(jié)論3 設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,則a3+b3+c3=3.

證法一:由a+b+c=0得c=-a-b,所以a3+b3+c3=a3+b3-(a+b)3=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)=-3ab(a+b)=3abc=3.

證法二:由恒等式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)得a3+b3+c3=3abc=3.

證明:當(dāng)n=1,2,3時(shí),結(jié)論顯然成立.

最后,本文提出以下猜想: