陳題新得：一道高考試題的變式探究與反思

江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) (214074) 顧曉峰

1 引言

受文[1]的啟發(fā)，筆者基于2010年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題第3問(wèn)開(kāi)設(shè)了一節(jié)變式探究課，問(wèn)題主要考查了解析幾何中的一大熱點(diǎn)——定點(diǎn)定值，其解決過(guò)程蘊(yùn)含著不同的解法角度，具有縱向延伸，橫向推廣的探究?jī)r(jià)值.筆者陳題新探，精心設(shè)計(jì)，采用過(guò)程性變式[2]的方法引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題從不同角度、不同層次進(jìn)行探究，取得了良好的效果.

2 變式探究的過(guò)程

2.1 起：起于考題，初探解法

圖1

對(duì)于此問(wèn)題，學(xué)生的主流思路是通過(guò)聯(lián)立方程及韋達(dá)定理用m表示出M、N的坐標(biāo)，再試圖表示出MN的方程研究.筆者提醒注意的斜率是否一定存在，于是優(yōu)化了做法，先討論斜率不存在的情況猜出定點(diǎn)，再對(duì)一般情況加以證明(利用三點(diǎn)共線)，這樣處理相對(duì)便利些.

2.2 承：承接思路，逆向探尋

2.3 轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)變眼光，縱深變式

結(jié)論3和4的條件中的要素有左、右頂點(diǎn)和直線x=m(或定點(diǎn)(n,0))，那能否將條件適當(dāng)改變得出類似結(jié)論呢？筆者組織學(xué)生分組合作探究，并選取兩組同學(xué)分享成果.

圖2

2.4 換：換類思考，擴(kuò)展成果

課堂的最后，筆者和學(xué)生總結(jié)了今天的收獲(7個(gè)結(jié)論)，同時(shí)拋出思考：這些性質(zhì)在橢圓上成立，那在其它類型的二次曲線上會(huì)成立嗎？雙曲線與橢圓有著諸多相似之處，故類比方法，請(qǐng)學(xué)生課后嘗試在雙曲線上探究結(jié)論3、4、7，作為課后作業(yè).

最終整理學(xué)生的探索成果如下：

3 變式探究的思考

3.1 變式探究利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)抽象是表現(xiàn)在獲得知識(shí)規(guī)則、形成思想方法、認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)體系的重要核心素養(yǎng).變式探究的教學(xué)起點(diǎn)可以是單一化的問(wèn)題，但通過(guò)變化問(wèn)題條件和結(jié)論，一般化問(wèn)題，轉(zhuǎn)變模型等方式，引發(fā)學(xué)生對(duì)起始問(wèn)題不斷探索進(jìn)而抽象出新的知識(shí)或方法，透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題本質(zhì)從而不斷完善自身認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，這種低開(kāi)高走而后又高瞻遠(yuǎn)矚的教學(xué)模式利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.2 變式探究應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

有想法才能有做法，有做法才能有方法，也就是說(shuō)在變式探究教學(xué)中，起始問(wèn)題要易于激起想法，教師也要尊重學(xué)生的想法.在實(shí)踐方面筆者分享兩點(diǎn)心得：第一，能以考題、教材中的重要結(jié)論為依據(jù)生成系列化的變式.因?yàn)樗夭牡倪x取既要有針對(duì)性，更強(qiáng)調(diào)基于學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，而優(yōu)質(zhì)的高考試題或模擬試題具有很好的融合性與延伸性，教材中的部分結(jié)論生根于最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)卻又蘊(yùn)含著使用的普適性與多樣性，兩者若能加以整合必是相得益彰的.例如本例的探究反復(fù)用到了與斜率乘積為定值有關(guān)的重要性質(zhì)，這實(shí)際上是蘇教版選修2-1習(xí)題2.3(1)第5題衍生的一個(gè)結(jié)論，其研究?jī)r(jià)值極廣，適合深入挖掘；第二，尊重學(xué)生想錯(cuò)了.因?yàn)橄脲e(cuò)了表明存在認(rèn)知偏差，例如課堂中有學(xué)生試圖將的位置推廣為任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，我們應(yīng)贊揚(yáng)學(xué)生大膽思考的動(dòng)機(jī)并理解其想法的合理性，同時(shí)抓住教學(xué)契機(jī)，因?yàn)榧m正錯(cuò)誤本身伴隨著檢驗(yàn)與反思，這利于學(xué)生形成批判性思維習(xí)慣.此外，有時(shí)站在錯(cuò)誤的肩膀上若能發(fā)現(xiàn)意外的收獲，這無(wú)疑是令人欣喜的.

3.3 變式探究促使教師提升教研能力

“教而不思則罔，思而不研則殆”，新課標(biāo)的指向是在數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)“四基四能”，那么教師本身應(yīng)由單純的解題者轉(zhuǎn)變?yōu)樵诮鉀Q問(wèn)題之下更能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的教研者.變式探究促使教師領(lǐng)會(huì)命題者背后的心思，結(jié)合平時(shí)的廣泛閱讀、研討與思考，深挖問(wèn)題內(nèi)涵，用研究成果來(lái)指導(dǎo)教學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)教研相長(zhǎng).