例析恒成立不等式求參的處理方法

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

在函數與導數的問題中，給定不等式恒成立，求參數的取值范圍是常見的設問方式，函數形式的不同處理的策略也不盡相同.本文通過不同的例題與解法來給出處理此類問題的相關策略.

一、構造差函數直接求最值

例1 (2021屆揚州市期考)已知函數f(x)=ex(x2+mx+m2)，g(x)=ax2+x+axlnx.(1)若函數f(x)在x=-1處取極小值，求實數m的值；(2)設m=0，若對任意x∈(0，+∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的值.

評注：構造差函數直接求最值，因為函數中含有參數，需要對參數進行分類討論，所以此種方法的第一個難點是確定分類的標準，因為是恒成立問題，可以通過取特殊值來縮小討論的范圍簡化解題過程.第2個難點是導函數的零點存在但是求不出來，此時需要常常需要利用隱零點整體代換解決.

二、參變量分離后求最值

例2 (2021屆山東菏澤月考)已知函數f(x)=lnx-kx(k∈R)，g(x)=x(ex-2).(1)若f(x)有唯一零點，求k的取值范圍；(2)若g(x)-f(x)≥1恒成立，求k的取值范圍.

評注：分離參數后轉化為求確定函數的最值，對于確定的函數求最值，同樣會遇到極值點不可求的情況，需要利用隱零點代換進行處理.此題中在隱零點代換的過程中直接代換得不到最大值，需要對方程進行化簡，通過取對數，轉化為相同的結構，利用函數的單調性化簡.

評注：此法在分參后沒有直接求最值，而是通過同構利用常見的不等式放縮求到最值.ex≥x+1、ex≥ex、lnx≤x-1等是常見處理以自然對數為底數的不等式.

例3 (2021屆南通市海門區一模)已知函數f(x)=ex-1+ax，g(x)=bx-blnx，其中e為自然對數的底數，a，b∈R.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)當a=0時，若f(x)≥xg(x)對x>0恒成立，求實數b的取值范圍.

評注：本題中先通過同構，換元后將不等式化簡后，在進行參變量分離求最值.

例4 (2020年新高考山東卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

評注:本題中通過變換轉化為相同的函數的兩個函數值之間的大小，利用單調性轉化為兩個自變量之間的大小關系，然后再采用分離參變量求最值.上述3種解法在分離參變量的過程中，在之前或之后通過變換同構等化簡不等式后再求確定函數的最值.

三、化為區間端點恰成立問題

評注：不等式在區間的端點恰好成立時，比如f(x)≥0，x∈[a,+∞)恒成立，在x=a時正好成立，此時可以得到不等式恒成立的一個充分條件，即保證函數f(x)在[a,+∞)上單調遞增，但是需要說明參數取其它的值時不成立，需要通過放縮，或找到區間(a,x0)，使得函數單調遞減找到小于零的函數值.此類問題不能采用分離參數處理的一個關鍵是參數分離后的函數單調但是在端點處沒有意義，需要用到大學中的洛必達法則處理，超出了高中數學的范圍.是否采用此法的關鍵是預判分離參數后的函數是否在端點處取的最值.

四、化為區間某點恰成立問題

評注：對于所給區間是開區間上的恒成立問題，端點的函數值不存在或無意義，此時可以通過觀察找到使得不等式成立的特殊值，從而確定討論的標準.

在高三復習的最后階段，總結梳理典型高考試題，對問題的類型與方法進行分類整理配以適當的練習鞏固，是把握高考命題動向的有效方法.通過梳理同一類型問題的不同處理方法，可以幫助學生把握解題的方向，調整解題思路，確定解題方法.