基于改進(jìn)多入多出無模型自適應(yīng)控制的二維直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制

曹榮敏 鄭鑫鑫 侯忠生

（1.北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院 北京 100192 2.青島大學(xué)自動化學(xué)院 青島 266071）

0 引言

工業(yè)制造技術(shù)及自動化設(shè)備的高速、高精度特性已是未來制造業(yè)快速發(fā)展的趨勢[1]，在二維直線電機(jī)系統(tǒng)中，XY軸由兩臺直線電機(jī)驅(qū)動，直線電機(jī)的運(yùn)動軌跡相互垂直，直接產(chǎn)生直線推力，消除了電機(jī)與工作部件之間的驅(qū)動環(huán)節(jié)，具有響應(yīng)快、定位準(zhǔn)確、可靠性高等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于制造業(yè)超精加工、微電子工程、生物工程、納米技術(shù)領(lǐng)域[1-2]。然而，在二維直線電機(jī)系統(tǒng)中，各種不確定性，如時變參數(shù)、噪聲干擾和強(qiáng)耦合非線性等都會影響系統(tǒng)的性能，降低控制精度[3-5]。文獻(xiàn)[6-9]提出了基于雙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前饋解耦控制、階次優(yōu)化、模糊控制和設(shè)計(jì)解耦控制器的控制方法，可以使二維直線電機(jī)系統(tǒng)獲得較高的跟蹤精度，但需要精確的二維直線電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[10-12]。然而復(fù)雜系統(tǒng)的建模往往比較困難，在建模過程中因很難避免建模的誤差而導(dǎo)致模型的不準(zhǔn)確，因此，設(shè)計(jì)可靠且易于實(shí)現(xiàn)的不依賴精確數(shù)學(xué)模型的控制策略，可以有效解決二維直線電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行中存在的問題[13]。

無模型自適應(yīng)控制（Model Free Adaptive Control,MFAC）是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，控制律中可調(diào)參數(shù)具有不敏感性，而可調(diào)參數(shù)選取可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能，因此無模型自適應(yīng)控制具有更加平穩(wěn)的過渡過程，能夠很好地實(shí)現(xiàn)快速工業(yè)過程的控制[13-17]。迭代學(xué)習(xí)控制（Iterative Learning Control,ILC）在設(shè)計(jì)控制器時不需要事先已知受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可以實(shí)現(xiàn)對嚴(yán)格重復(fù)運(yùn)作的系統(tǒng)在有限區(qū)間上的完全跟蹤[18-19]。本文提出了一種改進(jìn)多入多出-無模型自適應(yīng)控制（Multiple Input and Multiple Output-MFAC,MIMO-MFAC）反饋控制和迭代學(xué)習(xí)前饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制方案。一方面該方法可以擺脫對精確數(shù)學(xué)模型的依賴，充分利用二維電機(jī)在線輸入輸出數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定精密控制，與經(jīng)典無模型自適應(yīng)控制相比，可以進(jìn)一步提高系統(tǒng)控制精度和抗干擾能力；另一方面可以使前饋和反饋優(yōu)勢互補(bǔ)，提高學(xué)習(xí)收斂速度和系統(tǒng)跟蹤性能，進(jìn)一步減小實(shí)時跟蹤誤差，提高控制精度，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。最后通過實(shí)驗(yàn)對ILC復(fù)合控制方案進(jìn)行了有效性驗(yàn)證。

1 二維直線電機(jī)模型辨識與驗(yàn)證

1.1 二維直線電機(jī)運(yùn)動平臺組成

本文所用二維直線電機(jī)運(yùn)動平臺是由兩臺運(yùn)動軌跡相互垂直的永磁同步直線電機(jī)構(gòu)成，整套運(yùn)動平臺裝置主要由上位機(jī)控制軟件、LINKS實(shí)時仿真機(jī)、計(jì)算機(jī)控制模塊運(yùn)動實(shí)驗(yàn)裝置及二維直線電機(jī)平臺構(gòu)成，實(shí)驗(yàn)平臺電氣連接如圖1所示。二維直線電機(jī)具體性能參數(shù)指標(biāo)見表1。二維直線電機(jī)是鄭州微納公司生產(chǎn)的WMU系列U型直線電機(jī)，Links-RT是北京靈思創(chuàng)奇公司研發(fā)的通用半實(shí)物仿真平臺。

圖1 二維直線電機(jī)運(yùn)動平臺電氣連接圖Fig.1 The electrical connection diagram of two-dimensional linear motor motion platform

表1 直線電機(jī)性能參數(shù)Tab.1 performance parameters of linear motor

1.2 二維直線電機(jī)的簡化模型及參數(shù)辨識

基于上述二維直線電機(jī)運(yùn)動平臺，在建立其動態(tài)數(shù)學(xué)模型時需要考慮諸多外部干擾和不確定性[20]，其中的主要因素是庫侖摩擦力變化、端部效應(yīng)和推動力脈動[21-22]。依據(jù)二維直線電機(jī)動力學(xué)特性，通過建模和簡化[16]，二維直線電機(jī)狀態(tài)空間模型為

式中，下標(biāo)x、y分別為對應(yīng)x、y軸分量；M為動子質(zhì)量；x為直線電機(jī)位置；B為系統(tǒng)粘滯摩擦系數(shù)；Af為庫侖摩擦力系數(shù)；為已知光滑連續(xù)函數(shù)，用來近似估計(jì)傳統(tǒng)的庫侖摩擦力；Ct為電磁推力系數(shù)；fe(x)用來近似估計(jì)傳統(tǒng)的電磁推動力；D為其他誤差和外部干擾；u為控制對象的輸入力；K為控制器輸入u的系數(shù)。

根據(jù)最小乘法原理，依據(jù)實(shí)驗(yàn)室設(shè)備，進(jìn)行二維直線電機(jī)系統(tǒng)辨識，得到二維直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型參數(shù)，見表2。將表2中參數(shù)代入式（1），兩邊同時除以K可得實(shí)際二維直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

表2 二維直線電機(jī)辨識參數(shù)Tab.2 The identification parameters of two-axis linear

1.3 數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確性實(shí)物驗(yàn)證

為確保1.2節(jié)建立的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確性，在Simulink上搭建此數(shù)學(xué)模型，在二維直線電機(jī)平臺的Links-RT軟件上建立等同可執(zhí)行文件。在相同輸入和相同配置情況下，分別采集數(shù)學(xué)模型輸出結(jié)果與二維直線電機(jī)平臺實(shí)物輸出結(jié)果進(jìn)行比較，并變換不同的輸入信號，重復(fù)進(jìn)行測試，直至數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)的輸出誤差在可接受范圍內(nèi)時（本文小于0.4mm），則可保證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

因?yàn)橹本€電機(jī)實(shí)際位置輸出近似于正弦波[15]，所以實(shí)驗(yàn)設(shè)定輸入位置信號x軸為4cos(2πt)，y軸為4sin(2πt)，t為采樣時刻，采樣頻率為0.01s。圖2所示為數(shù)學(xué)模型x軸和y軸的單軸輸出誤差。在運(yùn)行的大部分時間內(nèi)，誤差在0.25mm以下，但起始時誤差相對波動較大，是由直線電機(jī)x軸受y軸耦合作用引起，但依然保持在一定的范圍內(nèi)（0.4mm），通過實(shí)驗(yàn)證明了辨識出的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖2 數(shù)學(xué)模型單軸輸出誤差Fig.2 Single axis output error of simulation mathematical model

2 改進(jìn)MIMO無模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

大多數(shù)實(shí)際的工業(yè)過程本質(zhì)上都是MIMO的非線性系統(tǒng)。對于這類系統(tǒng)來說，由于系統(tǒng)的輸入和輸出變量之間存在耦合，其控制問題尤為復(fù)雜[13]。改進(jìn)MIMO無模型自適應(yīng)控制算法是針對二維直線電機(jī)位置控制過程中，輸出產(chǎn)生了振蕩和發(fā)散而提出的改進(jìn)方法，是一種針對MIMO離散時間非線性系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法。該算法控制器的設(shè)計(jì)僅需要系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)，在一定的假設(shè)條件下可保障系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性和收斂性。

2.1 基于緊格式線性化的改進(jìn)MIMO-MFAC設(shè)計(jì)

一般MIMO非線性離散時間控制系統(tǒng)可表示為

式中，k為采樣時刻；u(k)、y(k)分別為k時刻的二維直線電機(jī)系統(tǒng)輸入和輸出；ny、nu為兩個未知正整數(shù)，表示未知非線性向量函數(shù)。

假設(shè)2.1：f(…)關(guān)于u(k)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

式中，a＞ 0 是一個常數(shù)；Δu(k)=u(k)?u(k?1)；Δy(k)=y(k)?y(k?1)。

當(dāng)離散時間MIMO控制系統(tǒng)（式（2））滿足假設(shè)2.1與假設(shè)2.2時，可以將式（2）轉(zhuǎn)換為基于緊格式動態(tài)線性化的數(shù)據(jù)模型[13]。

式中，Φc(k)為與采樣時刻k相關(guān)的時變參數(shù)，Φc(k)∈Rm×m，稱為控制域的偽雅可比矩陣（Pseudo Jacobin Matrix,PJM），且對于任意時刻k，Φc(k)是有界的。

為了嚴(yán)格穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)，做如下假設(shè)。

假設(shè)2.3：系統(tǒng)的偽雅可比矩陣矩陣Φc(k)滿足對角占優(yōu)矩陣，即

且Φc(k)中所有元素的符號對任何時刻k保持不變。

假設(shè)2.3是關(guān)于閉環(huán)數(shù)據(jù)輸入輸出關(guān)系的假設(shè)，對于多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，由于對象模型未知，僅知道系統(tǒng)過去時刻的輸入輸出數(shù)據(jù)，系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)關(guān)系的對角占優(yōu)條件僅是描述系統(tǒng)各變量之間耦合的唯一可行選擇。關(guān)于Φc(k)中元素符號的假設(shè)問題，對大多數(shù)自適應(yīng)控制方法，比較合理的假設(shè)是控制增益為符號已知的常數(shù)。因?yàn)槎S直線電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行時，數(shù)據(jù)量是足夠豐富的，假設(shè)2.3是可驗(yàn)證的。因此，這是一種合理的假設(shè)。

考慮控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)

式中，權(quán)重系數(shù)λ＞0，用于限制二維直線電機(jī)控制輸入量過大的變化；y?(k+1)為電機(jī)系統(tǒng)k+1 時刻的期望輸出。在準(zhǔn)則函數(shù)式（7）中加入了第三項(xiàng)，用于對跟蹤誤差變化率即一階差分的限制，以保證二維直線電機(jī)這種含有純二階積分環(huán)節(jié)的非自平衡系統(tǒng)在位置控制時的平穩(wěn)和收斂。將式（4）代入到式（7）中，對u(k)求導(dǎo)并令其等于零。

式中，ρ1、ρ2、ρ3為權(quán)重因子，用于限制相關(guān)各項(xiàng)過大的變化。ρ1和ρ2用于約束期望輸出與實(shí)際輸出之間的變化量，ρ3用于對控制量變化率的約束，對于二維直線電機(jī)系統(tǒng)，可以約束直線電機(jī)的輸入不可瞬間有過大的變化，位置輸出不可在突然間有過大的變化。偽雅可比矩陣的估計(jì)算法不變，利用改進(jìn)MIMO系統(tǒng)的緊格式數(shù)據(jù)模型（4），給出參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為

式中，權(quán)重因子μ＞0，用于限制偽雅可比矩陣估計(jì)值的變化率。基于二維直線電機(jī)系統(tǒng)的改進(jìn)MIMOMFAC控制方案（式（8））、準(zhǔn)則函數(shù)（式（9））極小化，可得估計(jì)算法為

式（10）是偽雅可比矩陣Φc(k)的估計(jì)值，其中，η是步長因子，η∈(0,2)，偽雅可比矩陣Φc(k)的估計(jì)值為

PJM重置算法為

至此，由控制算法（式（8）），估計(jì)算法（式（10）），重置算法（式（12））和（式（13））構(gòu)成改進(jìn)MIMO無模型自適應(yīng)控制方法。

東陽市境內(nèi)以丘陵與盆地為主，會稽山大盤山、仙霞嶺延伸入境，形成三山夾兩盆的獨(dú)特地理環(huán)境。截至2017年底，東陽市擁有省級森林城鎮(zhèn)5個，市森林覆蓋率達(dá)到59.1%，林木覆蓋率為60.0%，為省級森林城市。為了能夠更好地了解東陽市森林古道的現(xiàn)狀，挖掘森林古道的價值，發(fā)現(xiàn)森林古道存在的問題，筆者對東陽市境內(nèi)的森林古道進(jìn)行了調(diào)查研究與分析，希望能為森林古道的保護(hù)與修復(fù)提供參考。

2.2 改進(jìn)MIMO-MFAC穩(wěn)定性和收斂性分析

對于MIMO離散時間非線性系統(tǒng)，在滿足假設(shè)2.1，假設(shè)2.2和假設(shè)2.3的條件下，改進(jìn)MIMOMFAC控制方案具有如下性質(zhì)：

當(dāng)y*(k+1)=y?是常數(shù)時，存在一個正數(shù)λmin＞0，使得當(dāng)λ＞λmin時，閉環(huán)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出（Bounded Input and Bounded Output,BIBO）穩(wěn)定的，即輸出序列{y(k)}和輸入序列{u(k)}是有界的。

證明過程分三步：第一步證明偽雅可比矩陣估計(jì)值的有界性；第二步證明改進(jìn)MIMO-MFAC系統(tǒng)跟蹤誤差收斂性以及系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性；第三步證明期望輸出y?在非常值時穩(wěn)定性和收斂性同樣成立。具體如下：

1）本文改進(jìn)MIMO-MFAC算法，并未涉及其中的偽雅可比矩陣的估計(jì)算法，故可保證PJM估計(jì)值的有界性[13]。

2）證明MFAC系統(tǒng)跟蹤誤差收斂性以及BIBO穩(wěn)定性。

穩(wěn)定性和收斂性分析中需要用到Gerschgorin（蓋爾）圓盤原理。令A(yù)=(aij)∈Cn×n，定義Gerschgorin圓盤為

其中，z∈C,1 ≤i≤n，則矩陣A的所有特征根z1,z2,…,zn都滿足。

依據(jù)緊格式線性化模型（4）和控制律（8）可得

再根據(jù)圓盤定理，并利用三角不等式可得

同理，當(dāng)ρ1,ρ2,ρ3?(0,1)是可調(diào)參數(shù)，存在正數(shù)d2和d3，譜半徑不等式（20）可轉(zhuǎn)換成不等式為

結(jié)合上述，在式（17）兩邊取范數(shù)得

至此，證明了輸出誤差序列有界且收斂。因?yàn)閥*是給定常量，且e(k)有界，因此根據(jù)式（15）得出系統(tǒng)輸出序列{y(k)}的有界性。

結(jié)合改進(jìn)MIMO-MFAC控制律（8）和式（24）合并得

式（25）證明系統(tǒng)輸入序列{u(k)}是有界的。

3）建立增廣系統(tǒng)。

上述過程證明了在期望輸出信號恒值條件下，改進(jìn)MIMO-MFAC控制算法針對復(fù)雜非線性系統(tǒng)時的穩(wěn)定性和單調(diào)收斂性。但實(shí)際應(yīng)用過程中，系統(tǒng)期望輸出大多是時變信號，為了佐證在此條件下穩(wěn)定性和收斂性依然成立，可建立增廣系統(tǒng)[17]，按照類似步驟2）的方法進(jìn)行嚴(yán)格理論證明。

3 改進(jìn)MIMO-MFAC方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

當(dāng)二維電機(jī)運(yùn)行過程中，通過二維直線電機(jī)配有的光柵編碼器（位置傳感器）測量實(shí)際位置輸出，反饋給控制器，與期望位置軌跡比較，如果有誤差，則通過控制器中的改進(jìn)MIMO-MFAC控制律進(jìn)行修正，重新產(chǎn)生新的控制輸出。系統(tǒng)按照采樣周期不斷采集新的位置輸出，周而復(fù)始進(jìn)行此過程，目的就是不斷修正位置誤差，使輸出很好地跟隨輸入的變化。運(yùn)行過程中的數(shù)據(jù)均通過Links-RT數(shù)據(jù)采集平臺采集、存儲，通過編程用曲線顯示出來。本文是對二維直線電機(jī)系統(tǒng)位置進(jìn)行控制。在實(shí)物系統(tǒng)建立基于Links-RT半實(shí)物仿真控制程序，其中相應(yīng)的DAC模塊分別作為二維直線電機(jī)的xy軸驅(qū)動器輸入，光柵編碼器反饋輸出作為二維直線電機(jī)的位置輸出，將整個算法文件形成、編譯、生成可識別代碼，由專用軟件RT sim讀取并配置，下載到硬件在環(huán)DSP仿真器中，最后通過Elmo Studio驅(qū)動器，控制電機(jī)運(yùn)動。

二維直線電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行時x軸位置期望軌跡為0.14sin(2πt)，y軸位置期望軌跡為0.14 -0.14cos(2πt)，t為采樣時刻，采樣時間間隔為0.01s，參數(shù)λx=λy= 1.2，驗(yàn)證改進(jìn)MIMO-MFAC方法實(shí)際運(yùn)行位置跟蹤特性，圖3所示為xy軸實(shí)際位置和期望位置的運(yùn)行曲線采集圖。從圖3可以看出x和y軸具有很好的運(yùn)行特性，實(shí)際位置輸出能夠很好跟隨期望位置輸入的變化。

圖3 xy軸實(shí)際運(yùn)行位置數(shù)據(jù)采集圖Fig.3 Data acquisition diagram of xy axis actual operation positions

4 基于改進(jìn)MIMO-MFAC的迭代學(xué)習(xí)控制

此控制方案的收斂性分析采用在縱向?qū)W習(xí)控制收斂品質(zhì)（周期運(yùn)行的收斂速度的定量指標(biāo)）中引入橫向收斂品質(zhì)（控制策略的跟蹤誤差以連續(xù)的采樣點(diǎn)為基準(zhǔn)的有限步收斂的定量指標(biāo)）的概念。為了對非周期性擾動的收斂速度進(jìn)行衡量，故將改進(jìn)MIMO-MFAC反饋控制和迭代學(xué)習(xí)前饋控制相結(jié)合可達(dá)到更準(zhǔn)確的同步運(yùn)動和動態(tài)性能，使二維直線電機(jī)位置跟蹤誤差最小。

4.1 控制算法設(shè)計(jì)

由于二維直線電機(jī)運(yùn)行時對擾動和系統(tǒng)參數(shù)變化較敏感，易受不確定摩擦力等影響，為進(jìn)一步提高控制精度，在改進(jìn)MIMO-MFAC控制器設(shè)計(jì)中加入迭代學(xué)習(xí)控制（ILC），形成復(fù)合控制方案。其基本思想是用迭代學(xué)習(xí)控制作為重復(fù)任務(wù)系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)補(bǔ)償，目的是為了減少系統(tǒng)干擾影響和對象模型參數(shù)部分未知的補(bǔ)償[23]。其中，改進(jìn)MIMO-MFAC反饋控制器具有強(qiáng)魯棒性，用以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，迭代學(xué)習(xí)前饋控制用來克服干擾，實(shí)現(xiàn)期望輸出精度補(bǔ)償，兩者結(jié)合，使前饋和反饋優(yōu)勢互補(bǔ)。具體算法框圖如圖4所示。

圖4中的復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)是二維直線電機(jī)在有限時間區(qū)間上重復(fù)執(zhí)行相同控制任務(wù)的系統(tǒng)，也就是任務(wù)執(zhí)行是在有限時間區(qū)間T上進(jìn)行重復(fù)迭代的，在第k次迭代時，對于給定的期望輸出軌跡yd(t)，控制輸入uk(t)，位置跟蹤誤差ek(t)，系統(tǒng)的控制輸入uk(t)是前饋輸入和反饋輸入的疊加，表示為

圖4 復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制算法框圖Fig.4 The compound scheme structure diagram

式中，L為定常學(xué)習(xí)算子。迭代學(xué)習(xí)控制需要儲存前一次迭代過程的跟蹤誤差和控制輸入數(shù)據(jù)，以便計(jì)算當(dāng)前時刻下的迭代控制輸入，本質(zhì)上是依賴存儲的控制方案。因此，選擇離散時間迭代過程是合適的。在復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制器中，前饋控制器是PD型迭代學(xué)習(xí)前饋控制器，其算法為

在實(shí)際應(yīng)用中P型迭代學(xué)習(xí)律能快速降低誤差，提高迭代效率，而D型迭代學(xué)習(xí)律則能減小超調(diào)，提高響應(yīng)速度。k為迭代次數(shù)，為學(xué)習(xí)控制輸入常數(shù)。反饋控制器是基于改進(jìn)MIMO-MFAC無模型自適應(yīng)控制，在文章第2節(jié)和第3節(jié)已經(jīng)具體研究，在這里將其算法重新表示為

將式（27）和式（28）代入式（29）中，得到基于改進(jìn)MIMO-MFAC的迭代學(xué)習(xí)控制算法為

4.2 實(shí)驗(yàn)研究

在二維直線電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺上驗(yàn)證基于改進(jìn)MIMO-MFAC的迭代學(xué)習(xí)控制算法時，發(fā)現(xiàn)隨著復(fù)合控制算法迭代次數(shù)的增加，單軸位置跟蹤誤差曲線雖然進(jìn)一步減小，但在時間軸上，位置跟蹤誤差曲線出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，并且振蕩幅度有增大的趨勢。這是由于二維直線電機(jī)伺服系統(tǒng)還存在電磁系數(shù)改變、機(jī)械溫度變化、永磁體磁鏈波動等各種實(shí)際擾動因素，這些實(shí)際擾動因素具有不確定性，如果不消除或者抑制，則會沿迭代軸的反復(fù)學(xué)習(xí)逐漸積累，積累到一定程度會嚴(yán)重劣化迭代學(xué)習(xí)的收斂效果。

為了防止迭代產(chǎn)生的“鋸齒”干擾信號破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，故在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中加入低通濾波器來過濾部分高頻干擾信號，減緩“鋸齒”振蕩。本文二維直線電機(jī)復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的任務(wù)執(zhí)行是在有限時間區(qū)間T上進(jìn)行重復(fù)迭代的，實(shí)驗(yàn)中，有限時間區(qū)間T為 20s，x軸位置期望輸出軌跡為0.1sin(2πt)，y軸位置期望軌跡為0.1-0.1cos(2πt)，迭代控制前饋輸入初始值，迭代學(xué)習(xí)控制律采用PD控制律，其中，改進(jìn)MIMOMFAC反饋控制算法參數(shù)不變，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 x軸復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制位置誤差比較圖Fig.5 x-axis compound ILC position error comparison in experiment

圖6 y軸復(fù)合迭代學(xué)習(xí)控制位置誤差比較圖Fig.6 y-axis compound ILC position error comparison in experiment

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，僅在改進(jìn)MIMO-MFAC反饋控制器作用下，單軸跟蹤位置誤差比較大，誤差曲線類似正弦波和余弦波，最大誤差值在4mm左右。但加入迭代學(xué)習(xí)前饋控制器作用后，單軸位置跟蹤誤差會隨著迭代次數(shù)的增加而減小，在迭代21次后，單軸位置跟蹤誤差趨于0，而迭代次數(shù)超過21次后，輸出結(jié)果基本相同。由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)中存在隨機(jī)干擾和其他不確定性因素，導(dǎo)致改進(jìn)MIMO-MFAC迭代學(xué)習(xí)控制下的單軸位置誤差無法完全降低為0。

5 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)MIMO-MFAC的迭代學(xué)習(xí)（ILC）復(fù)合控制方案，在改進(jìn)MIMO-MFAC反饋控制器基礎(chǔ)上，加入迭代學(xué)習(xí)前饋控制器，形成復(fù)合ILC控制算法。改進(jìn)的MIMO-MFAC反饋控制方案可以顯著減小位置控制誤差，克服控制過程中的振蕩現(xiàn)象，優(yōu)于沒有改進(jìn)的MIMO-MFAC算法，優(yōu)于傳統(tǒng)的用兩個單軸控制器控制二維直線電機(jī)的XY軸等方法，并對其穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行分析和論證。迭代學(xué)習(xí)前饋控制用來克服干擾，實(shí)現(xiàn)期望輸出精度補(bǔ)償。二維直線電機(jī)控制實(shí)際實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)MIMO-MFAC反饋控制與ILC前饋控制優(yōu)勢互補(bǔ)，進(jìn)一步減小位置誤差，提高跟蹤精度，從而進(jìn)一步提高系統(tǒng)的整體控制性能。