珠子圓環(huán)復(fù)雜系統(tǒng)的理論建模與實驗驗證

劉民瑾 郭寶會

摘要：理論上分析了小珠子位于旋轉(zhuǎn)圓環(huán)內(nèi)壁的動力學(xué)過程，通過實驗對理論進行了驗證。得出了珠子在動態(tài)過程中圓環(huán)半徑、珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系，通過實驗驗證了實驗結(jié)果與理論趨于一致。

關(guān)鍵詞：動力學(xué);科里奧利力;角速度

Abstract：The dynamic process of the small beads on the inner wall of the rotating ring was theoretically analyzed，and the theory was verified by experiments. The relationship among the ring radius，the horizontal rotation radius of the bead and the rotation angular velocity in the dynamic process of the bead was obtained，and the experimental results was verified to be consistent with the theory.

Keywords：Dynamics; Coriolis force; angular velocity

當一顆珠子置于一定角速度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)側(cè)時，該系統(tǒng)運動過程較為復(fù)雜[1]，為更明確探究必要條件對于該系統(tǒng)中珠子運的影響——對系統(tǒng)整體進行簡化。為了減少珠子和圓環(huán)內(nèi)壁的摩擦力，對所選的珠子表面和圓環(huán)內(nèi)壁進行了拋光處理，可認為摩擦力很小[2，3]，因此可假設(shè)珠子與圓環(huán)內(nèi)壁無摩擦。珠子隨圓環(huán)的轉(zhuǎn)動其運動分為兩個方面，一是珠子本身在圓環(huán)內(nèi)沿圓環(huán)內(nèi)壁的運動;其二是珠子隨圓環(huán)進行的轉(zhuǎn)動。珠子在豎直方向受到重力和圓環(huán)內(nèi)壁對珠子的支持力在豎直方向的分力作用，二者達到平衡時即圓環(huán)處于平衡位置。而珠子支持力的水平方向的分力提供珠子隨圓環(huán)轉(zhuǎn)動時的向心力。本文主要分析珠子在環(huán)轉(zhuǎn)動的動態(tài)過程。

1.珠子的動態(tài)分析

對系統(tǒng)進行動態(tài)分析，研究時間與珠子大小和圓環(huán)轉(zhuǎn)速n以及角速度之間的關(guān)系。

小球運動過程中，自身會產(chǎn)生微振動，如果卡槽寬度相比珠子較大;其運動時會與卡槽壁產(chǎn)生碰撞，并在垂直槽面方向進行往復(fù)運動，此時科氏力會改變珠子的運動方向。科里奧利力的方向與卡槽面垂直，如果卡槽寬度與珠子直徑相差不大，卡槽壁會對珠子產(chǎn)生支持力，此時科氏力會與支持力抵消，從而不會影響珠子切向速度方向及運動軌跡。在運動過程中，摩擦力的存在使得珠子自身的能量逐漸減小。摩擦系數(shù)越小，珠子穩(wěn)定的時間越長。對于圓環(huán)內(nèi)的珠子，受力分析如圖1所示，定義中Ω為圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度，r為小球相對于圓環(huán)中心的轉(zhuǎn)動半徑，N表示小球所受圓環(huán)支持力，θ為小球所處位置對圓環(huán)中心位置角度，_0為小球本身環(huán)繞圓環(huán)中心軸的角速度。

由此可見，圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角速度與珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑、圓環(huán)半徑之間只要滿足（11）式，就可以表征該系統(tǒng)的動態(tài)運動特征。

2.仿真和實驗分析

對上述過程采用與仿真和實驗對其理論進行驗證，研究不同圓環(huán)半徑時，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)角速度與珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑的關(guān)系。仿真用matlab軟件擬合理論圖像，實際實驗均為設(shè)置同等外部條件下的對比試驗。

2.1 圓環(huán)直徑為5cm時仿真和實驗處理的結(jié)果

圖2和圖3分別為圓環(huán)直徑為5cm時珠子動力學(xué)的仿真和實驗結(jié)果，（其中數(shù)據(jù)橫坐標為rad/s，仿真圖像縱坐標單位為米，實驗圖像縱坐標單位為cm）。從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實驗結(jié)果的趨勢基本一致，當轉(zhuǎn)速較快時，理論和實驗結(jié)果符合較好。

2.2 圓環(huán)直徑為10cm時仿真和實驗處理的結(jié)果

圖4和圖5分別為圓環(huán)直徑為10cm時珠子動力學(xué)的仿真和實驗結(jié)果，從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實驗結(jié)果的趨勢基本一致，理論和實驗結(jié)果符合較好。

2.3 圓環(huán)直徑為15cm時仿真和實驗處理的結(jié)果

圖6和圖7分別為圓環(huán)直徑為15cm時珠子動力學(xué)的仿真和實驗結(jié)果，從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實驗結(jié)果的趨勢基本一致，理論和實驗結(jié)果符合較好。

此實驗使用上述理論中珠子運動半徑和角速度的比例關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)三組不同實驗中有著近似相同的運動趨勢，符合理論中對運動趨勢的預(yù)測，可以認為上述理論與實驗結(jié)論相符合。

科里奧利力對本實驗影響經(jīng)過多次重復(fù)實驗驗證后發(fā)現(xiàn)若將小球放置在相對摩擦較低的圓環(huán)槽內(nèi)時，對本實驗影響小于百分之一，對實驗結(jié)果影響極小，所以在計算過程中不予體現(xiàn)。

3.結(jié)論

針對珠子在旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)的運動情況，進行了靜力學(xué)和動力學(xué)的理論分析，并通過實驗進行了驗證，得出了如下結(jié)論：

（1）當珠子在運動過程中，圓環(huán)半徑、珠子的旋轉(zhuǎn)半徑與旋轉(zhuǎn)的角速度滿足 。

（2）分別對直徑為5cm，10cm，15cm三種圓環(huán)進行試驗，驗證了實驗與理論的一致性。

參考文獻：

[1].王世俊，同長虹，羅冠煒.含多剛性約束的兩自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析[J].振動與沖擊，2021，40（06）：11-22.

[2].王世俊，馬琳.含剛性及彈性約束的振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性[J].蘭州交通大學(xué)學(xué)報，2020，39（05）：76-81+104.

[3].宋靜，張毅.基于非標準Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，56（03）：26-30.

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