基于發射約束的雙曲線軌道運載能力計算方法研究

張博戎，王建明，李靜琳，韓雪穎，周 敬

（1. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076；2. 北京控制工程研究所，北京，100190）

0 引 言

對于需要進入地球雙曲線軌道的發射任務，軌道全局設計與優化是其中的首要問題[1]。在這一類任務規劃問題中，發射窗口和運載能力是關鍵的設計指標。

針對發射窗口選擇問題，目前基于蘭伯特（Lambert）問題快速求解算法，已經能夠對多脈沖軌道轉移問題進行建模，并結合多種優化方法尋優。特別是在簡單的雙脈沖直接轉移問題中，利用Pork-Chop圖方法能夠直觀展現發射窗口與速度增量之間的關系，以便任務規劃選擇[2]。

針對運載能力計算問題，目前主要研究方法是將速度機動轉換為燃料質量消耗，從而將這一指標納入全局優化。有學者在軌道優化中加入干重指標，為全局優化開辟了新的角度[3]。此外，也有學者基于火箭發射軌道特征，在不同發射射向和偏航情況下，定性分析了火箭有效載荷初始入軌質量變化規律[4]，值得進一步研究其與出發軌道的匹配關系。

在選擇發射窗口和計算運載能力過程中，應注意各項工程約束對于任務指標的影響。諸如火箭發射場大多處于固定地理位置，因此對于入軌停泊軌道的傾角范圍具有限制。有學者在軌道全局優化中限定了赤緯（即地球赤道坐標系中一個點的緯度值，可理解為緯度在天球上的投影）或停泊軌道傾角范圍[5～7]，但單純施加這一約束過于絕對，仍與實際發射情況有差異。再者，大多運載火箭末級可在停泊軌道上滑行的時間范圍小，因此對入軌點存在約束。在此基礎上，有學者研究了考慮射向和滑行時間約束的發射軌道匹配方法，并利用“赤緯-發射能量”圖判斷發射可行性[8]，獲得了更符合火箭實際發射能力的匹配規律，但是沒有分析運載能力變化。

總的來講，目前有關進入雙曲線軌道的運載能力計算與發射窗口選擇相結合的研究較少，而事實上這兩部分指標是緊密相關的。發射能量較優的窗口未必能夠實現最大運載能力，而若追求有效載荷質量盡可能增加，則有可能犧牲原窗口的優化指標。美國2018年利用宇宙神V運載火箭發射洞察號探測器，以北射向損失運載能力為代價，獲得了更好的發射機會[9]。今后，隨著進入雙曲線軌道的任務逐步增多，將運載能力計算與發射窗口選擇相結合具有理論上和工程上的研究價值。

進一步具體分析運載火箭發射中的各項約束條件，其中發射場緯度、射向、末級滑行時間3個參數有可能顯著影響發射軌道與出發條件的拼接結果以及具體實現的運載能力大小[8,10]。如果發射場位置確定，則這一問題轉化為基于射向與滑行時間約束下的雙曲線軌道發射運載能力計算。本文將基于“赤緯-發射能量”圖方法，對考慮火箭射向和滑行時間約束的發射軌道運載能力計算進行研究，提出一種基于射向約束表達的無量綱運載能力折算方法，并通過算例進行說明和分析。

1 軌道模型與運載能力折算方法

1.1 雙曲線軌道發射速度計算

目前，雙曲線發射軌道初步計算主要基于引力影響球模型，即以雙脈沖直接轉移為例，首先確定出發時間歷元1t和到達時間歷元2t，通過星歷計算得到出發時刻位置矢量1x和到達時刻位置矢量x2。本文中，統一使用開源的DE405模型。獲得位置信息后，迭代蘭伯特問題求解函數Lambert，根據首末狀態位置矢量和轉移時間，即可獲得雙曲線出發速度vdpt[11]：

式中vdpt為出發速度矢量。

根據出發時刻地球在日心系下速度矢量Ev，可將雙曲線出發速度vdpt轉化為地心系表達，即為在地心系中的逃逸速度vesc：

vesc的平方也被稱為發射能量（C3），其可用于描述運載火箭發射能力大小：

通過式（1）～（3）可知，對于不同出發和到達時間的雙曲線軌道，其需要的出發速度是不同的，運載火箭要根據逃逸速度需求去匹配適當的發射參數，以滿足軌道拼接要求。

1.2 發射軌道拼接可行域分析

已知需要的逃逸速度vesc后，需要進一步匹配滿足工程約束的運載火箭發射軌道。一般來講，運載火箭發射雙曲線軌道需要通過近地停泊軌道進行過渡，以保證發射軌道和逃逸軌道拼接具有更大自由度。如圖1所示，火箭末級和有效載荷組合體在近地停泊軌道上滑行至P點后進行逃逸加速，經由雙曲線軌道飛出地球引力影響球。如要保證逃逸速度大小和方向相同，則所有可拼接的停泊軌道均必經過公共點M，即可繞vesc的地心矢量軸旋轉。

圖1 雙曲線發射軌道與停泊軌道拼接示意Fig.1 Hyperbolic Launch Orbit and Parking Orbit Splicing

在確定發射場地理位置和停泊軌道圓半徑前提下，如果火箭末級和有效載荷組合體只采取1次切向脈沖加速逃逸，則雙曲線出發軌道與運載火箭發射彈道拼接只具有1個自由度，這一自由度表示為停泊軌道圓繞逃逸速度地心矢量軸的轉角。

發射場緯度、射向、末級滑行時間3個參數會在這一自由度上產生約束，且相互影響。令發射場緯度為B，極性定義北緯為正，南緯為負。令火箭發射射向為A。則利用式（4），可以計算射向約束下的雙曲線發射停泊軌道公共點M的赤緯δ范圍。

式中δ為赤緯；A為火箭發射射向；B為發射場緯度。

進一步假定運載火箭末級滑行時間約束對應停泊軌道上的地心角為φp，由發射點進入停泊軌道射程對應地心角為φL，經過停泊軌道公共點M后的逃逸段滑行地心角為φMP，則根據式（5），可計算在滑行時間約束下的停泊軌道公共點M的赤緯范圍：

式中φp為滑行段地心角；φL為發射點進入停泊軌道段地心角；φMP為逃逸段地心角。

式（5）中，火箭由發射點進入停泊軌道入軌點的射程地心角φL在初步分析中可認為是定值，并由火箭射程計算，本文計算中取為0.31 rad。火箭滑行時間地心角φp可以根據滑行時間約束tp、停泊軌道半徑Rp、地球引力常數μ計算：

式中tp為滑行時間約束；Rp為停泊軌道半徑；μ為地球引力常數。

經過停泊軌道公共點后的逃逸段滑行地心角為φMP與停泊軌道半徑Rp和逃逸速度vesc大小有關，如式（7）所示。

式（7）中，vesc可由式（2）計算得到。至此，根據雙曲線出發速度，已能求解確定滿足射向與滑行時間約束的發射可行域范圍。在發射場緯度、停泊軌道半徑、射向和滑行時間確定的情況下，這一約束表示為逃逸速度赤緯與發射能量集合的交集。

1.3 不同射向運載能力折算方法

在雙曲線發射軌道滿足發射約束基礎上，可進一步計算火箭實現的運載能力大小。一般來講，末級滑行時間對運載能力影響微小，初步分析中可認為不變。發射射向對運載能力影響較大，90°正東發射時，火箭能最大程度利用地球自轉產生的初始速度，因此同一型火箭按相同程序飛行時，正東發射能夠實現最大運載能力，隨著射向逐步偏離正東，運載能力逐步減小，直到射向為正西270°時，運載能力最低。

初步分析中，可用式（8）估算某射向A下有可能達到的最大無量綱運載能力m，其中k為射向變化帶來的運載能力損失系數，初步分析中可取為0.2，即正東發射實現最大無量綱運載能力，此時m為1，隨著射向逐步由正東變化至正西，m減小至0.8。

在此基礎上，針對特定射向范圍的發射軌道，出于航落區限制，會調整加注量和俯仰飛行程序角等參數，以保證航落區安全。因此，特定射向下實現的上升段飛行軌跡未必是運載能力最優。此類約束只針對特定射向，所以可在式（8）基礎上，減去特定射向范圍內的方波函數以擬合實際軌道設計結果，如式（9）。

式中η為方波函數特征寬度；τ為運載能力折損幅度特征量。

式（9）中，Fi（A，Ai，η，τ）為射向Ai下的運載能力折損函數，其中η為方波函數寬度，即產生運載能力折損的射向區間大小，τ為運載能力折損幅度。Fi一般表達式為

假設射向Ai取97.5°附近時，出于航落區安全考慮，會產生運載能力損失，此約束下方波函數寬度取為15 °，即90～105 °射向范圍都會受到損失，折損系數τ取1%，則在考慮這一特定射向折損情況下的運載能力函數示意見圖2。

圖2 考慮特定射向損失的運載能力折算函數Fig.2 Carrying Capacity Conversion Function Considering Loss of Specific Launch Azimuth

在考慮多射向約束的運載能力分析計算中，可設置多個Fi函數疊加，從而使得總的運載能力折算函數接近真實設計狀態。根據本章以上內容，可用圖3中的計算流程圖表示深空發射運載能力計算過程。

圖3 深空發射運載能力計算流程Fig.3 Calculation Flowchart of Carrying Capacity in Deep Space Launch

2 滿足發射約束的運載能力計算與分析

考慮某發射場位于北緯20°位置，發射射向約束為90～130°，運載火箭末級滑行時間約束為950 s內，通過式（4）～（7），能夠得出滿足發射約束的雙曲線軌道“赤緯-發射能量”可行域（見圖4）。

圖4 “赤緯-發射能量”可行域范圍Fig.4 Feasible Range of Declination-launch Energy

圖4中，射向可行域為兩條垂直線之間，關于0°對稱分布，與發射能量無關。滑行時間約束為兩條曲線之間，關于發射場緯度對稱分布，在本文算例中，約束可行域隨發射能量增加而變窄。兩類可行域疊加后，即為同時滿足射向約束和滑行時間約束的可行域集合，落在這一范圍外的逃逸速度無法被滿足。

在判斷發射可行性之后，進一步引入運載能力折算函數。首先，針對圖4可行域中的每一個點，其均對應多種射向與滑行時間組合的發射選擇，對運載能力產生主要影響的參數是發射射向。因此，由式（4）計算圖4中任意一點可能的發射射向范圍，如式（11）。

將式（11）所得的射向范圍代入式（9），即可以映射得到這一射向范圍下所能夠實現的運載能力范圍，選取這一范圍的最大值作為該點的最大運載能力，并將這一數值表示到“赤緯-發射能量”可行域中，如圖5所示。

在圖5中，所有發射可行域內的點均已優化得到最大運載能力發射方案，可見其沿射向等值線分布，在能夠接近實現90°射向處，無量綱運載能力最大，隨著可實現的射向遠離90°，無量綱運載能力逐步降低，直至觸碰可行域邊界。

圖5 逃逸速度可行域內運載能力Fig.5 Carrying Capacity in Feasible Region of Escape Velocity

以上計算過程與發射任務無關聯，即說明可針對某一型運載火箭在特定發射約束下實現的雙曲線軌道發射能力進行全面評估，并且找到射向和滑行時間約束邊界，以供任務選擇和后續改進設計參考。

3 假想算例分析

在實際的雙曲線軌道任務規劃中，初步階段往往需要優化得到多個軌道方案，此后在論證過程中對比選擇。在這一類具有明確任務背景的分析中，利用第2章提出的方法能夠快速計算多個不同發射方案實現的運載能力大小，以供任務規劃選擇。本章將通過3個具體算例進行分析和說明。

3.1 算例1任務分析

根據假想任務探測軌道需求，首先根據式（1）～（2），計算得到出發速度增量Pork-Chop圖（見圖6）。

圖6 算例1任務窗口總速度增量Fig.6 Total Velocity Increment of Eg.1 Launch Window

將圖6中滿足總速度增量小于8 km/s的點全部選出，并計算其需要的出發雙曲線速度及其對應的出發速度赤緯與發射能量大小，運載能力在圖中以散點形式畫出，見圖7。

從圖7中可以看出，算例1窗口滿足要求的出發點全部位于可行域內，同時均處在最大運載能力發射范圍，表明這一窗口的出發條件均可被滿足，且無運載能力損失，是一個適合執行發射的窗口。

圖7 算例1探測窗口運載能力計算Fig.7 Carrying Capacity Calculation of Eg.1 Launch Window

3.2 算例2任務分析

按3.1節中同樣方法，基于算例2雙曲線軌道需求，根據式（1）～（2），計算得到出發速度增量Pork-Chop圖（見圖8）。

圖8 算例2窗口總速度增量Fig.8 Total Velocity Increment of Eg.2 Launch Window

將圖8中滿足總速度增量小于9 km/s的點全部選出，并計算其對應的出發速度赤緯與發射能量大小，在運載能力圖中以散點形式畫出，見圖9。

圖9 算例2探測窗口運載能力計算Fig.9 Carrying Capacity Calculation of Eg.2 Launch Window

從圖9中可以看出，算例2窗口滿足要求的出發點也全部位于可行域內，且無運載能力損失，雙曲線軌道出發條件均可被滿足，是一個適合執行發射的窗口。

3.3 算例3任務分析

按3.1和3.2節中同樣方法，根據算例3雙曲線軌道需求計算出發窗口。首先根據式（1）～（2），計算得到出發速度增量Pork-Chop圖（見圖10）。

圖10 算例3窗口總速度增量Fig.10 Total Velocity Increment of Eg.3 Launch Window

將圖10中滿足總速度增量小于14 km/s的點全部選出，并計算其對應的出發速度赤緯與發射能量大小，在運載能力圖中以散點形式畫出，見圖11。

從圖11中看出，總速度增量較低的散點部分落在了發射可行域范圍之外，表明這些出發速度無法被滿足。同時，也有部分出發點位于非最大運載能力范圍，表明如果選擇這一窗口，可能會承擔部分運載能力損失，這一信息可供任務規劃時參考使用。

圖11 算例3探測窗口運載能力計算Fig.11 Carrying Capacity Calculation of Eg.3 Launch Window

4 結論與展望

本文研究了基于發射約束的雙曲線軌道運載能力計算方法，得到以下結論：

a）提出了一種基于射向約束的運載能力折算函數，能夠模擬射向變化和航落區調整帶來的運載能力損失。利用這一函數可以在軌道初步設計與優化中快速模擬實際發射能夠實現的運載能力大小。

b）利用雙曲線軌道速度“赤緯-發射能量”圖方法，展現了射向約束產生的無量綱運載能力變化規律，這一結果能為工程任務規劃提供參考。分別以3個假想算例為例，分析了指定窗口的發射適應能力。

對后續研究進行展望，本文未考慮火箭末級滑行時間變化對運載能力造成的小幅影響，在后續研究中可以深入分析，以得到更貼合工程實際的設計結果。