一般邊界條件下任意三角形薄板彎曲振動分析

張洋，關先磊，秦斌，王青山

（中南大學a.高性能復雜制造國家重點實驗室；b.交通運輸工程學院，長沙 410083）

0 引言

作為工程中常用的基本構件，薄板結構的應用極為廣泛。薄板結構振動時，其內部存在彎曲波、剪切波及縱波。彎曲波垂直于薄板中面，被稱為彎曲振動，在同頻率下，薄板的彎曲振動更容易被激起。三角形板是板結構中的一種重要結構形式，在諸多領域均有著獨特的應用，另外多邊形板結構都可視為三角形板的組合結構。板殼類結構朝著大型、輕量化與高承載方向發展，這對其振動和低噪聲設計提出了更為苛刻的要求。在此工程背景下，發展一種準確、高效的三角形薄板彎曲振動分析方法，用于研究任意形狀的三角形薄板的彎曲振動特性具有重要理論意義和工程價值。

目前，對三角形薄板的振動特性研究已取得了較大進展，諸多研究人員提出了不同的研究方法，如Ritz法[1-6]、特征正交多項式法[7]、微分求積法[8]等。Singh等[5]采用Ritz法得到了不同邊界條件下變厚度三角形板振動的數值解。Chakraverty等[7]采用特征正交多項式法研究了三角形薄板在不同邊界條件下的橫向振動。Leissa等[9]用代數多項式表示位移函數，首次對完全自由三角形薄板的自由振動頻率和節點模式進行了全面研究。Karunasena等[10]基于Mindlin剪切變形理論，采用pb-2 Rayleigh-Ritz法對厚懸臂任意三角形板進行了自由振動分析。Zhong等[8]將三角形微分求積法應用于等腰三角形Mindlin板的自由彎曲振動，研究了三角形Mindlin板的振動特性。Lam等[11]以Rayleigh-Ritz法為基礎，并結合Gram-Schmidt正交化構造對結構位移容許函數，研究了正交各向異性三角形板的彎曲振動問題。從現有的研究來看，針對三角形板的彎曲振動研究主要集中在某些特定三角形形狀及特定邊界，對于具有任意形狀的三角形板彎曲振動尚缺少簡單通用的分析方法。

近年來，改進傅立葉級數法因其具有快速的收斂速度、較高的收斂精度等優點，被廣泛應用在板、殼結構振動特性[12-14]分析中。這種方法通過將目標求解域分為內場求解區域和邊界求解區域，并在內場求解區域內，采用傅立葉級數來進行描述，而在邊界求解區域，結合輔助函數來消除邊界處存在的不連續或者跳躍現象，對于復雜邊界表現出極好的適應性，同時具備快速參數化分析能力。

本文針對多種邊界條件（如：自由、簡支、固支）下的任意三角形薄板，采用改進傅里葉級數法并結合坐標變換對其彎曲振動進行研究。首先建立結構幾何模型，采用坐標變換將三角形域轉化為單位正方形域，引入人工虛擬彈簧來模擬邊界約束條件。采用改進傅里葉級數表示容許位移函數，基于經典板理論建立能量方程。最后，采用Rayleigh-Ritz法求解。該方法可以很容易地得到任意三角形薄板的彎曲振動特性，本研究可為實際的工程應用及類似結構的研究提供參考。

1 理論和方法

1.1 任意三角形模型

如圖1所示，建立任意三角形薄板的幾何模型。薄板在彎曲振動下的中面位移用w表示。本研究引入人工虛擬彈簧邊界技術來模擬邊界條件，包括一組橫向位移彈簧（kw）和一組旋轉約束彈簧（Kw）[15-17]。通過改變橫向位移彈簧和旋轉約束彈簧的剛度值來對模擬任意邊界條件，例如將橫向位移彈簧剛度值設為無窮大，而將旋轉約束彈簧剛度值設為零，即可得到簡支邊界；而將所有邊界彈簧剛度設為零時即為自由邊界。板結構彎曲振動的控制微分方程為

圖1 任意三角形薄板的幾何模型

式中：D=Eh3/ 12（1-μ2［ ］）為板的彎曲剛度；h、μ、E和ρ分別為板的厚度、泊松比、彈性模量和密度。

1.2 坐標變換

為方便積分計算，需通過坐標變換將三角形域映射變換為規則的單位正方形域[15-16,18]。本研究采用的坐標變換方程為

坐標變換前后的形狀如圖2所示。

圖2 坐標變換

其中xi和yi(i=1,2,3,4)是三角形板的節點坐標。由于三角形域只有3條邊，因此三角形板的第三個頂點需要映射2次。Ni（ξ,η）為坐標變換形函數，定義為

根據鏈式求導法則，函數的一階導數和二階導數在x-y坐標系和ξ-η坐標系中的轉換關系分別為：

1.3 位移函數

為了消除薄板邊界上的不連續或者跳躍現象，本研究采用一種改進傅里葉級數[12-14]來表示位移函數：

1.4 模型求解

式中：K、Ksp和M分別為板剛度矩陣、彈簧剛度矩陣和質量矩陣；E為未知傅里葉系數向量。

通過求解式（22）的特征值和特征向量，可以得到任意三角形薄板彎曲振動的固有頻率和模態振型。

2 數值結果

2.1 收斂性研究

本節對三角形薄板彎曲振動進行了收斂性研究，選用三角形模型為自由邊界和固支邊界下的等腰直角三角形(a=b=1,α=90°)。M和N為截斷值，從M=N=8開始取到M=N=12結束。從表1可以看出，在自由邊界條件下，從8×8到12×12，數據的最大誤差幾乎為零；精度誤差不超過0.1%。在固支邊界條件下，從8×8到12×12，數據的最大誤差小于0.2%。當截斷數為12時，滿足收斂要求。因此，在滿足可靠性和精度的前提下，在下面的數值計算中，級數的截斷值為M=N=12。

表1 等腰直角三角形薄板彎曲振動的收斂性和精度研究(a = b = 1，α= 90°)

如圖3和圖4所示，通過本方法和有限元2種方法得到的自由邊界和簡支邊界下的模態形狀的比較，更加直觀地證明了本方法的精度和可靠性。

圖3 自由邊界條件下等腰直角三角形的三階模態形狀

圖4 簡支邊界條件下等腰直角三角形的三階模態形狀

2.2 不同角度下三角形薄板彎曲振動

作為三角形薄板的一個重要幾何參數，角度變化對三角形薄板彎曲振動具有重要影響。圖5為三角形薄板的無量綱頻率參數隨a、b夾角α改變的變化曲線，角度范圍為50°～130°，角度變化步長設為10°。從圖中可以看出，在自由邊界條件下，第1、2、5階無量綱頻率參數均隨著α的逐漸增大而減小，其余階頻率參數隨著角度變化先減小后增大。而在固支邊界條件下，從50°～90°，前8階無量綱頻率參數隨著α的逐漸增大而減小；但從90°～130°，前8階無量綱頻率參數隨著α的繼續增大而增大。

圖5 不同角度下三角形薄板無量綱頻率參數變化曲線

2.3 不同邊界條件下任意三角形薄板彎曲振動

本節研究了5 種不同邊界條件下3 種不同形狀的三角形薄板的彎曲振動特性，選用的三角形模型為：銳角三角形(a=1,b=1, α=60°)；直角三角形(a=1,b =1, α =90°) 和鈍角三角形(a=1,b =1, α =120°)。從表2 ～表4 可 以看出，不同的邊界條件對三角形薄板彎曲振動的前8階頻率參數有較大的影響。同時，在不同的邊界條件下，不同形狀的三角形薄板彎曲振動的前5階無量綱頻率參數的變化趨勢不同。

表2 不同邊界條件下銳角三角形薄板的彎曲振動特性

表3 不同邊界條件下直角三角形薄板的彎曲振動特性

表4 不同邊界條件下鈍三角形薄板的彎曲振動特性

3 結論

本文分析了任意三角形薄板在多種邊界（自由、固支、簡支）下的彎曲振動特性。首先建立三角形薄板幾何模型，引入人工虛擬彈簧來模擬不同邊界約束條件；利用坐標變換將三角形域轉化為單位正方形域；采用改進傅里葉級數表示容許位移函數，基于經典板理論建立能量方程，最后采用Rayleigh-Ritz法進行求解。該方法可以很容易地得到任意三角形薄板的彎曲振動特性。通過上述研究可得到如下結論:

1）針對任意三角形薄板的彎曲振動特性，該方法的結果與有限元分析結果吻合較好。結果表明，該方法的收斂速度快、精度高。

2）從理論部分的整個步驟來看，該方法不涉及任何復雜的理論、方程或程序，對類似結構的彎曲振動特性甚至自由振動特性研究具有很高的參考價值。

3）從數值結果可以看出，三角形薄板的一些幾何參數和邊界條件對其彎曲振動有較大的影響，因此在設計三角形薄板結構時需要特別注意這些因素。