數(shù)學(xué)文化視域下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

陳一葉

【摘 要】從歷史的視角來(lái)看，人類(lèi)創(chuàng)造的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，究其本質(zhì)，就是一個(gè)廣泛的蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的知識(shí)體系。如何在小學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更能深刻領(lǐng)悟知識(shí)背后的思想和方法。教學(xué)設(shè)計(jì)要把握好三個(gè)策略：一是透視知識(shí)，充分發(fā)掘知識(shí)的文化內(nèi)涵;二是厘清知識(shí)脈絡(luò)，并將數(shù)學(xué)知識(shí)的相關(guān)歷史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中;三是讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的再創(chuàng)造過(guò)程，并在其中感悟知識(shí)的文化內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)策略

從歷史的視角來(lái)看，人類(lèi)創(chuàng)造的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，究其本質(zhì)，就是一個(gè)廣泛的蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的知識(shí)體系。數(shù)學(xué)知識(shí)是人類(lèi)以抽象的方式去把握世界客觀規(guī)律的結(jié)果。這一過(guò)程體現(xiàn)人類(lèi)的智慧與理性，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)從產(chǎn)生到發(fā)展的整個(gè)過(guò)程中人類(lèi)的主動(dòng)性與創(chuàng)造性。因此，數(shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，蘊(yùn)含著豐富的文化特征。數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生如果忽略知識(shí)的文化背景，僅僅記憶一些數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅不能感悟內(nèi)蘊(yùn)于知識(shí)之中的文化內(nèi)涵，也必定不能深刻理解知識(shí)的本質(zhì)。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)文化的基本策略

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的預(yù)先規(guī)劃，對(duì)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)情況的預(yù)判。教學(xué)設(shè)計(jì)是上好課的前提條件。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)文化滲透？筆者以為，首先在設(shè)計(jì)時(shí)要發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的文化內(nèi)涵;其次要設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)知識(shí)的情境脈絡(luò);最后要讓學(xué)生在知識(shí)的境脈中領(lǐng)悟知識(shí)的文化內(nèi)涵。

（一）透視知識(shí)，發(fā)掘文化內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識(shí)不是數(shù)學(xué)符號(hào)的堆積，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不單純是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和公式的記憶。但實(shí)際教學(xué)呈現(xiàn)給師生的往往是靜態(tài)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)掩蓋了知識(shí)長(zhǎng)期而曲折的形成和發(fā)展過(guò)程，這個(gè)過(guò)程包括了人類(lèi)在探索知識(shí)過(guò)程中的精神、數(shù)學(xué)知識(shí)背后所體現(xiàn)的思想方法及數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)人們生活的影響等。因此，從文化的視角來(lái)探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)有十分重要的意義。

用文化的視角來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，關(guān)鍵要發(fā)掘相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)文化史。克萊因認(rèn)為：歷史是教學(xué)的指南。弗賴(lài)登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會(huì)發(fā)生的歷史。”

以圓為例。圓是基本的平面圖形，看似簡(jiǎn)單卻蘊(yùn)含了極其豐富的內(nèi)涵。從歷史上看，人類(lèi)對(duì)圓的認(rèn)識(shí)是從圓的應(yīng)用開(kāi)始而逐步深入的，其中包括許多重大的發(fā)現(xiàn)，如圓周率、割圓術(shù)等。大約一萬(wàn)八千年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來(lái)鉆孔，一面鉆不透，再?gòu)牧硪幻驺@。石器的尖是圓心，它寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個(gè)圓形的孔。

6000年前，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了。古人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來(lái)他們?cè)诎徇\(yùn)重物時(shí)，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省力得多。如古代金字塔的建造，古埃及人可能就是利用在巨石上裝上圓輪將巨石拉上坡的。大約在6000多年前，美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個(gè)輪子——圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車(chē)輛。

人類(lèi)在生活生產(chǎn)中對(duì)圓的廣泛應(yīng)用，實(shí)際是自覺(jué)和不自覺(jué)地在應(yīng)用圓的許多特性，如許多瓷器都制成圓形，是因?yàn)橥瑯哟蟮娜莘e，圓形瓷器是最小的，而且相對(duì)容易制作。在2000多年前，我國(guó)的墨子給出了圓的定義：“一中同長(zhǎng)也。”意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義抽象出了圓最本質(zhì)的屬性，也可以理解為古人在大量實(shí)踐的基礎(chǔ)上逐漸形成了對(duì)圓的理性認(rèn)識(shí)。

圓周率的發(fā)現(xiàn)可以說(shuō)是人類(lèi)認(rèn)識(shí)圓的一個(gè)里程碑。據(jù)史料記載，古代許多偉大的思想家曾致力于尋求圓周率的精確值。在眾多對(duì)圓周率的探尋者中，阿基米德是第一個(gè)通過(guò)計(jì)算方法而不是測(cè)量方法得到圓周率的人。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，這個(gè)正多邊形的形狀就越來(lái)越接近圓，根據(jù)這個(gè)思路，圓就相當(dāng)于一個(gè)由許多極其短的邊構(gòu)成的正多邊形，這個(gè)想法提供了計(jì)算圓周率的新途徑（見(jiàn)圖1）。如果把正六邊形看作近似的圓，通過(guò)內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形可算得，圓周率是3<π<3.46，當(dāng)正多邊形邊數(shù)增加到96時(shí)，就可得到3.1408<π<3.1429。我們可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)這種方法，當(dāng)正多邊形邊數(shù)越多，算得的圓周率就越精確。

在這之后，劉徽的“割圓術(shù)”也是充分利用了內(nèi)接正多邊形計(jì)算出圓周率和圓面積。所謂“割圓術(shù)”，就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”。可見(jiàn)，人類(lèi)在對(duì)圓逐步深入地認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，首次將極限和無(wú)窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為數(shù)學(xué)史中不朽的篇章。

發(fā)掘知識(shí)的數(shù)學(xué)史是滲透數(shù)學(xué)文化的前提，圓豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，不僅揭示了圓的相關(guān)知識(shí)的形成，更為實(shí)際的教學(xué)指明了方向。

（二）厘清脈絡(luò)，實(shí)現(xiàn)有效融合

對(duì)內(nèi)蘊(yùn)于知識(shí)中的文化內(nèi)涵的感悟，必須建立在學(xué)習(xí)者對(duì)相關(guān)知識(shí)的境脈的深刻理解的基礎(chǔ)上。要讓學(xué)生深刻理解知識(shí)的境脈，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)就必須把握好兩個(gè)方面：一是厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，明晰知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程;二是要根據(jù)知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)，使之成為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的材料。

如何有效地設(shè)計(jì)，教師要關(guān)注三個(gè)方面：一是兒童的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，如學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的已有知識(shí)是對(duì)由線(xiàn)段圍成的平面圖形的認(rèn)識(shí)，經(jīng)驗(yàn)是生活中觀察到的圓形物體;二是要關(guān)注兒童的生活，要將數(shù)學(xué)知識(shí)鑲嵌在學(xué)生熟悉的生活情境中;三是要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史，情境的設(shè)計(jì)要圍繞相關(guān)的數(shù)學(xué)史組成知識(shí)結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)情境充盈著文化的積淀和歷史脈絡(luò)，為學(xué)生提供一種浸潤(rùn)式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)域。圖2就是筆者在圓的認(rèn)識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中的一種嘗試。

（三）經(jīng)歷過(guò)程，感悟文化內(nèi)涵

文化意義上的數(shù)學(xué)觀以包容、多元和整體的視角重新審視學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。上面提到數(shù)學(xué)文化要通過(guò)感悟獲得，而要有感悟，就必須親歷過(guò)程，具體地說(shuō)就是要經(jīng)歷再創(chuàng)造的過(guò)程。弗賴(lài)登塔爾曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)。”數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)情境引入學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過(guò)程。在這種深切關(guān)注學(xué)生生命體驗(yàn)的“再創(chuàng)造”過(guò)程中要注意三個(gè)方面的問(wèn)題：一是正確對(duì)待差異，學(xué)生由于生活背景、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)習(xí)方式存在差異，他們對(duì)知識(shí)的探索、理解和領(lǐng)悟也會(huì)存在差異，教學(xué)中教師要用多元和寬容的眼光鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化地學(xué)習(xí);二是及時(shí)把握動(dòng)態(tài)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索和感悟是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，教師的教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的動(dòng)態(tài)變化及時(shí)調(diào)整和改進(jìn);三是關(guān)注多元表征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)悟往往只能意會(huì)而不能言傳，這種理解和感悟往往可以通過(guò)不同的方式進(jìn)行表征，肢體的、藝術(shù)的、言語(yǔ)的等，教師要關(guān)注每一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各種反應(yīng)。

二、“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

有關(guān)圓的知識(shí)歷來(lái)都是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域非常重要的內(nèi)容。從相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，很多國(guó)家（包括我國(guó)）的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都是這樣安排的：一、二年級(jí)直觀認(rèn)識(shí)圓，三、四年級(jí)教學(xué)圓的特征，五、六年級(jí)教學(xué)圓的周長(zhǎng)和面積。這是比較符合兒童的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律的。但如果從數(shù)學(xué)文化的層面，我們?cè)诮虒W(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)應(yīng)該有不同的意蘊(yùn)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，初步感知

出示正方形花園，思考從哪一點(diǎn)走向四個(gè)角的距離相等？

操作：學(xué)生自己用正方形紙畫(huà)一畫(huà)。

出示正八邊形，想想這樣的路有幾條？正十六邊形呢？

想一想：這樣一直下去會(huì)是一個(gè)什么圖形，會(huì)有這樣的多少條路。

學(xué)生交流，揭示課題：圓的認(rèn)識(shí)。

（二）動(dòng)手操作，探究畫(huà)圓

我們已經(jīng)能想象出這樣一個(gè)圖形了，你能把它畫(huà)出來(lái)么？比比看誰(shuí)畫(huà)得最好。學(xué)生畫(huà)完后全班進(jìn)行交流，展示畫(huà)得比較好的圓，并說(shuō)說(shuō)你是如何畫(huà)的。

同學(xué)們剛才畫(huà)了這樣的圖形，能保證從中心點(diǎn)到邊上的距離都相等嗎？

小組討論：怎么畫(huà)才能確保中心點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等？

用圓規(guī)畫(huà)圓的同學(xué)介紹一次畫(huà)法后，其他同學(xué)學(xué)著用圓規(guī)畫(huà)一個(gè)圓。

設(shè)計(jì)意圖：這樣的設(shè)計(jì)不是簡(jiǎn)單地教學(xué)生用圓規(guī)畫(huà)圓的技能，而是通過(guò)正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，逐步逼近圓形，讓學(xué)生思考如何確保中心點(diǎn)到頂點(diǎn)距離一直保持不變，這實(shí)際就是圓規(guī)畫(huà)圓的本質(zhì)。

（三）自主探究，合作交流

1.認(rèn)識(shí)圓心、半徑、直徑

出示正方形和圓，小組討論：比較它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

相同點(diǎn)：都有一個(gè)中心點(diǎn)（圓的中心點(diǎn)為圓心），都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

不同點(diǎn)：正方形是線(xiàn)段組成的，圓是曲線(xiàn)圖形;正方形的中心到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，圓的圓心到邊上的距離都相等;正方形有4條對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

圓心到圓周上的距離就是圓的半徑r。

通過(guò)圓心，兩端都在圓周上的線(xiàn)段叫直徑d。

同一個(gè)圓，直徑是半徑的兩倍d=2r。

2.做一做

學(xué)生在自己畫(huà)的圓上分別畫(huà)出一條半徑和直徑，并標(biāo)上相應(yīng)的字母。

通過(guò)畫(huà)直徑和半徑，及時(shí)鞏固了所學(xué)的知識(shí)。

（四）教學(xué)思考

根據(jù)以上教學(xué)，我們可以體會(huì)到，融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)，有三個(gè)基本特征：一是更準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì);二是教和學(xué)的過(guò)程實(shí)現(xiàn)了“再創(chuàng)造”;三是教學(xué)目標(biāo)指向深層次理解。

當(dāng)然，基于數(shù)學(xué)文化視域的數(shù)學(xué)教學(xué)與新課標(biāo)提倡的教學(xué)方式是完全吻合的，從知識(shí)目標(biāo)上說(shuō)，數(shù)學(xué)文化可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué);從過(guò)程與方法目標(biāo)上說(shuō)，數(shù)學(xué)文化提供了豐富的問(wèn)題解決方法，可以拓寬學(xué)生的思維;從情感、態(tài)度和價(jià)值觀的目標(biāo)上說(shuō)，數(shù)學(xué)文化可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使數(shù)學(xué)變得更親和、 更令人愉悅、更激動(dòng)人心，揭示出數(shù)學(xué)作為人類(lèi)文化活動(dòng)的本質(zhì)。