邊際密度函數的教學方法探討及應用

◎范梓淼 張 瑜 (新疆農業大學,新疆 烏魯木齊 830052)

引 言

邊際密度函數是概率論中的重要內容，包含連續型多維隨機變量中每個分量的分布信息.邊際密度函數因涉及定積分、二重積分的計算，一直是概率論教學與解題實踐過程的難點所在.又因其是求解隨機變量特征數字的基本內容，故而又是教學實踐中的重點所在.目前關于邊際密度函數教學方法的主要是變量代換法、密度函數轉化、不等式組法[1-3]，袁媛利用圖示法求邊際密度函數[4].

本文圍繞邊際密度教學方法的探索，提出以計算為核心，詳細地演示與歸納如何確定積分上下限，并用類比思想，引導學生舉一反三，應用于卷積公式和商的公式.

1 邊際密度函數的教學方法

如果二維連續隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為p(x,y)，則

分別為X和Y的邊際密度函數.

教學中要特別注意講解積分區域的確定.下面圍繞如何確定積分區域分析邊際密度函數的教學方法.

例1設二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為

求邊際密度函數pX(x)和pY(y).

解首先畫出積分區域，即p(x,y)的非零區域，0

(1)求pX(x).

計算pX(x)，在確定積分上下限時，必須將積分區域看作“X型”,如圖1.即將直線方程用x表示y，寫成y=f(x)，同時過x軸作垂線，與積分區域上下的交點所在直線為積分上下限，區域左右端點的x值為x的范圍.當0

圖1 X型區域

所以X的邊際密度函數為

(2)求pY(y).

計算pY(y)，在確定積分上下限時，必須將積分區域看作“Y型”.如圖2，用y表示x，此時直線方程寫成x=g(y)的形式，過y軸作垂線，與積分區域左右的交點所在直線為積分上下限，區域上下端點的y值為y的范圍.

圖2 Y型區域

當-1

當0

所以Y的邊際密度函數為

求解邊際密度函數關鍵在于確定積分區域類型，不妨將此方法稱為“畫線法”.過x軸作垂線稱為X型，過z軸作垂線稱為Z型，過u軸作垂線稱為U型.總之，求X的密度函數時，將積分區域看作X型，直線方程寫成y=f(x)，過x軸作垂線.

下文將上述方法應用于卷積公式和兩個隨機變量的商的公式.

2 卷積公式

引理1[1]設X與Y是兩個相互獨立的連續隨機變量，其密度函數分別為pX(x)和pY(y)，則其和Z=X+Y的密度函數為

例2設隨機變量X與Y相互獨立，且X～U(0,1),Y～Exp(1)，求Z=X+Y的密度函數.

解 由引理1的卷積公式，Z的密度函數為

求pz(z)，所以用“Z型”.首先畫出積分區域，又因為pX(x)=1,0 0，如圖3所示.

圖3 “Z”形積分區域(1)

圖4 “Z”形積分區域(2)

當0

當z>1時，過z軸作垂線，與區域左交點所在直線為y=z-1，右交點所在直線為y=z，所以

綜上，

所以確定積分上下限，重點是如何畫線，為更好解釋，將例2的積分區域畫在以z軸為橫坐標的坐標系中.

同樣，必須過z軸作垂線，直線方程用z表示y，可得到一模一樣的結果，即當01時，與區域下交點所在直線為y=z-1，上交點所在直線為y=z.

3 兩個隨機變量的商的公式

引理2[5]設隨機變量X與Y相互獨立，其密度函數分別為PX(x)和PY(y)，則U=X/Y的密度函數為

例3設隨機變量X與Y相互獨立，且X～U(0,1),Y～Exp(1)，求U=X/Y的密度函數.

解由引理2，積分區域確定為 00.

圖5 “U”形積分區域

所以，U的密度函數為

4 結 論

通過數形結合闡述了確定連續型隨機變量邊際密度函數上下限的方法，在邊際密度函數教學時，重點講清過哪條軸畫線即可.另外，注重計算也是幫助學生理解的一種教學方法，要注意引導，增強學生舉一反三的能力，培養學習興趣.