積分學中反常積分的課堂研究

◎楊 林 趙 絢 (.太原科技大學運城工學院基礎部,山西 運城 044000;.運城師范高等專科學校數計系,山西 運城 044000)

引 言

在分層次、分類別、分大小專業的高職高專高等數學教學改革的思想指導下，經過幾年的探索，我們教學組通過對現有知識結構的重構，分別采用了底層的必選(高數數學必學內容)，中層的限選(按大小專業方向的限選)，高層的自選(按照學生的未來規劃發展方向)的教學方式組織教學.本文對高等數學分層、分類、分專業高職數學改革有如下建議[2-3]：

(1)觀念的開放性.擺脫傳統高職數學教材編寫觀念的影響，以實現高職學生數學素養的培養為目標，啟迪和開發學生的邏輯思維和智慧.我們以比較開放的新型構造過濾方式處理所教內容，并通過初期了解學生的基本學習情況和基礎知識，在授課程過程中，逐步應用新型觀念來激發學生學習高數理實一體化的興趣和自覺性.

(2)教學內容上的通俗性.遵從科學的認知規律性，按照起源、重構、過濾、還原的教學觀念，結合計算機輔助對教學內容進行重新編排和整理，使所教內容易學、易懂.

(3)體系的新穎性.突出高職教育的針對性和實用性，弱化傳統高等數學的完整性和系統性，以問題為驅動引入，由特殊到一般，對數學內容進行高度概括和提煉.體系的構成、內容的跳躍，有利于激發學生的學習興趣和解決實際問題的成就感.

(4)版面的創新性.吸取初等數學教材版面設計清晰、活躍的特點，合理設計版面，力圖簡潔、美觀，提高視覺效果.

下面以高等數學上的反常積分這一節內容為例，簡單介紹下我校教學改革的新思想，即底層必選部分.根據學生學習的實際情況，采取相應的措施，力圖達到因材施教.通過分層、分類、分專業的教學模式,使學生更容易接受高數課程,同時通過計算機輔助功能體現數學的思想.

1 問題驅動

分析：從圖像看出，這個圖形不是封閉的，是一個開口的曲邊梯形，按照定積分的幾何意義，在x軸上任取一點b，構成封閉曲邊梯形.當b改變時，曲邊梯形面積也隨之改變.結合定積分的定義可給出面積的定積分.

圖1

=1(無限區間的反常積分)

觀察歸納得到：此問題是積分區間為無窮區間的情形，前面介紹的定積分概念是對有限區間上的有界函數建立的．而在科學技術和工程的實際問題中，常常遇到積分區間為無窮區間的情形，或者被積函數為無界函數積分的情形，于是我們將定積分的概念進行推廣，推廣后的積分稱為廣義積分(反常積分).

2 無限區間的反常積分

說明：無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.

2.上述定義中若出現∞-∞,并非不定型,它表明該反常積分發散.

則有類似N-L公式的計算表達式，詳見教材[4].

3 課堂活動

聯系與歸納:對反常積分來說,只有在收斂的條件下，才能使用“偶倍奇零” 的對稱性質,否則會出現運算的錯誤.通過實訓操作(計算機輔助教學)，即理實一體化的教學，得以實現此結論.

4 理論實踐一體化(即計算機在數學中的體現)

數學對于計算機的發展以及應用都有著不小的作用，雖然現在我們學的僅僅是數學本身，但是需要我們在實踐中去將數學和計算機這兩個學科有機地結合在一起，使學生在學習數學的過程中，多思考，多建立起數學的思維模式，并且能根據所學知識，讓這種思維模式在計算機中應用起來.這樣既可以提高數學理論的思維和嚴格的邏輯推理、判斷能力，也可以為未來計算機創新性的研究和發展打下堅實的基礎.通過我們的實踐理論一體化課程,能有效地使學生理解和應用高數課程.

由于普通的高職院校的生源及學生的基本情況不同，所以在高等數學的教學中，我們根據不同對象不同專業采取不同的授課方式，并結合計算機的輔助功能，因材施教.通過高職高專對于應用高等數學課程標準的要求，促成了應用數學教學的改革，即在教學中，底層必學，中層限選.結合計算機，將這些基本知識最終回歸于解決實際問題.通過這樣的教學方式，加強了學生學習高等數學的興趣，從而促使學生對于基本知識學習的積極性與主動性.

結 論

本文是按照高職數學改革的總體思路設計的，在分層、分類、分專業高職數學改革的思想指導下，體現高職教育的針對性和實用性，弱化傳統高等數學的完整性和系統性，以問題為驅動引入，由特殊到一般，對數學內容進行高度概括和提煉，體系的構成、內容的跳躍，有利于激發學生的學習興趣和解決實際問題的成就感，并結合計算機在數學中的實踐，使學生體會科技的重要性與前沿性.教師在講授的過程中，將以往高數通用教材所有的教學內容都進行了重構，即過濾、重組.目的是讓學生理解所學的基本知識，也體現了教育教學改革思想的重要性和客觀性.在教學改革過程中，對學院各個專業進行了各自的分層次的教學方式，隨著教改的不斷推進，總結出了一些新的方式與方法.1.教學內容的優化性、合理性和創新性；2.利用豐富資源的教學形式，讓更多的學生動起來； 3.提綱式、預習法、師生互動三者相結合的授課模式；4.計算機實訓操作.通過幾年的課改實踐,發現我們的設計思路適合于當下高職高專學生的學習,通過分層分專業的教育方式,使學生們更容易理解.