貼近實際情境 促進素養提升
——中職數學《拋物線的定義及標準方程》的教學設計之我見

◎李如江 周 兵 (江蘇省濱海中等專業學校，江蘇 鹽城 224000)

數學抽象素養要求學生能在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，并能用恰當的數學語言進行表達.特別是對于斜上拋物體的運動軌跡這個例子，顧名思義，拋物線這個名字也正由此而來，這些情境中的拋物線是開口向下的.為此，筆者認為先推導開口向下的拋物線標準方程應該更合情合理.

下面筆者就以本節課的教學設計介紹一下自己的做法.

一、教學設計

環節一：情境引入

播放投籃視頻和彩虹、橋拱、二次函數的圖像等.

師：上面抽象出的曲線是什么曲線？

生：拋物線.

環節二：探究建構定義

問題1 拋物線的定義是什么？

師：請同學們做一個折紙游戲.

請拿出課前準備好的一張白紙，紙上有七條平行線和一條直線l垂直，垂足分別為點A，B，C，D，E，G，H.在第四條平行線上取一點F(除D點外).分別將點A，B，C，D，E，G，H與點F重合.描出折痕與對應的平行線的7個交點.最后用光滑的曲線連接這7個交點，并觀察交點運動趨勢.學生根據老師提供的信息完成折紙游戲，并在用光滑曲線將7個交點連接起來后，很容易發現軌跡是拋物線.觀察拋物線上七個點的運動趨勢，提出問題：

問題(1)：直線l和點F的位置改變了嗎？

問題(2)：線段AP與線段PF的大小關系？

問題(3)：點F和直線l的位置關系？

圖1

設計意圖：按照教師的示范，學生動手操作，創設有趣的教學情境，充分調動學生的積極性，從實踐操作中感受拋物線的幾何特征，提煉拋物線的定義.

利用GeoGebra軟件演示動點的運動軌跡，直觀感知拋物線的形成過程(如圖).

問題(4)：軟件演示拋物線軌跡時，動點始終滿足什么條件？

問題(5)：請你說出在你的生活經驗中與拋物線有關的例子.

設計意圖：直觀想象是借助幾何直觀感知事物形態與變化的思維方式，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段.通過形象具體地演示動點的運動軌跡，讓學生直觀感知拋物線的生成過程，結合有層次的提問幫助學生迅速得到拋物線的幾何特征，建構拋物線的定義，從而突破難點，提升學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養.

環節三：推導標準方程

問題2 如何推導拋物線的標準方程？

問題(1)：同學們在學習橢圓時，是怎樣推導橢圓標準方程的？

師：求曲線方程的一般步驟是什么？

生：建系、設點、找動點滿足的限制條件等式、代入、化簡，歸納為五個字：建、設、現(限)、代、化.

設計意圖：前面已經學習了橢圓定義、標準方程和幾何性質，對動點軌跡方程的研究過程和研究方法有了一定的基礎，對于拋物線的探究學習有借鑒、遷移的作用.

問題(2)：打算怎樣建立坐標系？為什么？

教材和傳統的教學對這個知識點的突破是這樣設計的，首先推導開口向右的拋物線的標準方程，要求學生思考建系的方法，學生思考出的建系方案一般有三種，如下圖：

圖2

圖3

再分別推導出相應的方程：

y2=2px-p2(p>0)、y2=2px(p>0)、y2=2px+p2(p>0)

通過比較得出第二種方程最簡單，從而得到建系的方法，求得標準方程.這樣即使想出來了，再去求標準方程，對于基礎一般的中職學生能概括出來三種建系的方法，推導出三個方程也不是易事，在有限的課堂教學時間內推導出來難度更大，況且從邏輯上講，建立坐標系的方法有無數多種，這僅僅是舉幾個例子，并沒有完全列舉出來，不能說明這種建系的方法是最簡單、最合適的.

鑒于以上的思考，筆者在教學中先探究開口向下的拋物線的標準方程，借助信息技術突破選擇坐標系這個難點.

師：觀察開口向下的二次函數y=ax2+bx+c(a<0)的圖像(用GeoGebra軟件演示)，回答問題.

問題(3)：拖動滑動條使得b=0時，圖像有什么特征？

生：圖像關于y軸對稱，此時方程為y=ax2+c.

問題(4)：拖動滑動條使得b=0且c=0時，圖像又有什么特征？

生：圖像過原點且關于y軸對稱，此時方程為y=ax2.

問題(5)：上面三種情況下的拋物線形狀有變化嗎？哪種情況下對應的方程最簡單？此時拋物線在坐標系中有怎樣特殊的位置？

生1：形狀沒有變化，說明拋物線的形狀是由二次項系數決定的.

生2：第三種最為簡單，此時拋物線頂點在坐標原點，y軸是對稱軸，說明一次項系數、常數項主要影響了拋物線在坐標系中的位置； 反之，拋物線在坐標系中的位置也主要影響方程的一次項系數和常數項，也就是決定了方程的繁簡程度.

圖5

圖6

圖7

師：標準方程要求建立坐標系的原則是使得方程形式最為簡單，如何選擇坐標系才能使得拋物線的方程更簡單？從曲線與方程的角度來求動點軌跡方程，因為定點F到定直線l的距離為定值，這是已知唯一條件，不妨設為p(p>0).

圖8

生：以拋物線的對稱軸為坐標軸，以拋物線的頂點為坐標原點建系求出的方程最為簡單.

設計意圖：邏輯推理是指從一些事實出發，獲得數學結論構建數學體系的重要手段.建立合適的坐標系是推導曲線方程的關鍵，通過復習橢圓標準方程的推導過程，讓學生回憶推導標準方程的步驟.舉例說明二次函數的圖像其實就是開口向下的拋物線，加強了知識的橫向聯系.通過GeoGebra軟件的演示，讓學生直觀感知拋物線的圖像以y軸為對稱軸且過點(0，0)時對應的方程最簡單，所以得出建立坐標系的方法.這樣標準方程的產生就自然而然、合情合理了，讓學生體驗了數學分析與探究的過程，突破了求拋物線標準方程的一大難點.同時鍛煉了學生的理性思維、滲透了數形結合的思想方法，又提升了學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

問題3 還有其他建系的方法嗎？

問題(1)：拋物線的標準方程還有哪些形式？

問題(2)：其他形式的拋物線的焦點和準線方程是什么？

經過討論探究，很快得到另外三種標準方程的建系方法，可以選擇開口向右的那一種讓學生去推導，得出y2=2px(p>0).類比得到其他兩種方程x2=2py(p>0)、y2=-2px(p>0).追問學生：

問題(3)：這四種方程哪一種最簡單？有何區別和聯系？

問題(4)：我們以后求拋物線的標準方程要注意什么？

問題(5)：我們推導的第一種標準方程是y關于x的二次函數，其他三種標準方程也都可以表示y關于x的函數嗎？

設計意圖：通過小組合作學習方式，探究其他三種形式拋物線的標準方程、焦點、準線方程.學生通過比較發現四種方程簡單程度是一樣的，叫作標準方程.接下來教師為學生的小組合作學習提供示范，不但培養了學生數學運算和邏輯推理數學素養，同時還對學生滲透了分類討論、數形結合的思想.以小組合作探究其他三種形式拋物線的標準方程的過程，不僅活躍了課堂氣氛，提升學生參與的積極性，提高了課堂效率，還培養了學生的團隊精神、合作與競爭的意識.

環節四：知識方法遷移

例1 已知拋物線的標準方程是x2=8y，求它的焦點坐標和準線方程.

變式 已知拋物線的標準方程是y2=4x，求它的焦點坐標和準線方程.

例2 已知拋物線的焦點為(-3，0)，求它的標準方程.

變式 已知拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上，求拋物線的標準方程.

設計意圖：學生通過多角度表征拋物線的標準方程，并會將圖形、文字、符號三種語言相互轉化、融會貫通，是掌握本節數學知識點的關鍵.通過解決問題，更加充分地理解拋物線的定義，達到掌握拋物線的標準方程的目的.

環節五：課堂小結延伸

問題4 本節課我們學習了拋物線的哪些知識？有哪些數學思想方法值得我們去領悟？

問題5 回顧橢圓的學習過程，研究標準方程后還要研究拋物線的哪些知識？

設計意圖：數學學習不僅要獲得數學知識，提升技能，還要通過學習過程，掌握學習的方法，融會貫通，提高分析問題、解決問題的能力.

二、教學反思

1．情境的產生是提升數學抽象核心素養的來源.史寧中教授說數學是把現實生活中的一些東西抽象到數學內部來，然后再借助模型把數學的結果應用到外部世界.數學抽象素養要求學生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念，而本節課的拋球運動形成的軌跡非常貼近生活，無疑是容易讓學生接受和理解的.

2．課程標準要求通過數學課程的學習，能通過熟悉的情境抽象出數學概念，在具體的實踐活動中完成抽象概念的建構.而本文所做的折紙游戲就是讓學生在動手的實踐中感知拋物線的幾何特征，從而抽象出拋物線的定義.本文中選擇先推導開口向下的拋物線的標準方程，就是通過二次函數的圖像這個熟悉的數學情境來建立適當的坐標系的方法.

3．信息技術是發展學生核心素養的強有力的工具.本課中利用GeoGebra軟件描點，可以看成接近無限個描點的過程.動畫演示了動點軌跡生成的過程，彌補了手工有限描點的缺陷.同時還通過拖動滑動條演示方程參數的變化對拋物線位置的影響，從而提升了學生直觀想象、邏輯推理等核心素養.