“心有靈犀一點通”
——淺析高中數學解題中常用的四大數學思想

◎于 祥 (揚州大學附屬中學，江蘇 揚州 225000)

筆者認為，高中數學中很多解題思想和方法只要稍稍變形，就能和常用的四大數學思想產生密切聯系.在實際教學過程中，數學教師需要結合四大數學思想的定義、特點和作用，把數學解題思想和方法變形成為符合數學思想的相關內容，從而優化教學內容，降低教學難度.下面，筆者將以分類討論、數形結合、函數與方程以及化歸與轉化數學思想方法為例進行分析，文中涉及的教學實例請參照人教版高中數學教材.

一、四大數學思想對高中數學解題教學的作用

(一)降低學生的解題難度

對于高中生來說，有一些數學習題并不是自己努力想、努力做就能夠做出來的，只有依靠數學思想才能解決，所以四大數學思想的應用實則是大幅度降低了學生的解題難度，使之在解題過程中能保證大致的思路是正確的，不會出現一些根本性的錯誤.

(二)提高學生的解題能力

高中數學練習題不同于初中，難度非常大，而且有特定的解題思路和方法，四大數學思想是基于高中數學題目所總結出來的解題利器，如果學生能充分理解并應用好這些數學思想，在解題時就能得心應手，久而久之就能大幅度提升自己的解題能力.

二、高中數學解題教學中四大數學思想的應用基礎

(一)轉變教學要求

新課改要求學生要實現邏輯思維、邏輯分析能力上的有效突破，故現代高中數學教育除了要讓學生學習硬知識外，還需要學習探究數學問題、總結數學規律的方法，而后者將比前者更加重要.所謂“一通百通”，解題方法和規律總結能力的提升將使學生從容面對不同類型的問題，繼而有效提高學習成績和應試水平.因此，為實現高中數學教育“要成績”“要能力”的雙重目標，教師在應用四大數學思想之前必須要主動轉變教學要求，將數學思想的學習擺在首位，不要只注重學生的解題結果，而是注重其解題思路和方法.

(二)把“要我學”轉變為“我要學”

所謂“要我學”其實是一種“被動學”，學生只能根據教師設定的教學計劃去理解、分析、探究知識，知其然而不知其所以然，雖然能在短時間內積累大量知識，但其思維能力卻沒有任何長進和突破.反觀“我要學”則完全不同，它是一種“主動學”，學生根據教師設定的學習目標自主選擇學習內容，根據自身的學習水平把握學習進度，同時還能夠和他人交流以獲得新知識和經驗，雖然在短時間內無法積累大量知識，但卻容易形成良好的學習思維和習慣，學習心態也會發生積極轉變.

三、高中數學解題教學中四大數學思想的實踐應用

(一)分類討論思想

1.何為分類討論思想

分類討論思想簡而言之就是先分類再討論，這種方式可幫助學生理清思路，降低分析難度.以集合為例，按照集體元素的個數可分為有限集、無限集、空集三種，而按照集合之間的關系可分為子集、交并集、補集.利用分類討論思想，學生就能更加全面地認識集合的特性.

2.分類討論的一般步驟

研究對象指的是問題的核心，需要討論研究的主體是什么，可不可以細分，每一部分有何特點等等.先將研究主體進行分類，然后集中討論每一類中的問題.在實際教學中，教師可以引導學生按照先分類再討論的方式進行分析，從易到難逐層深入，就能讓學生掌握分類討論的核心.

3.分類討論的實際案例

在教學“隨機事件的概率”時，有這樣一道題：“一個袋子中有標號為1，2，3的三個大小相同的球，隨機抽取三次，按抽取順序組成123的概率是多少？”在計算概率的過程中，教師引導學生先分類后討論.根據題目要求，實則是求1，2，3三個數組合成不同數的個數，其中三個數的組合就是整體研究對象，那么就可以分為個位、十位、百位三個研究部分.分類進行討論就是對每一個研究部分進行分析，比如百位數是1，那么十位數和個位數就不能是1，而2，3兩個數誰占十位、誰占個位則需要繼續細分討論.歸納整體結果就是在分類討論的基礎上把結果匯總出來，得出正確的答案.

(二)數形結合思想

1.何為數形結合思想

“數形結合”作為新時代數學教學的創新方式，分為“數”和“形”兩部分，通過數形結合分析問題，可以將一些抽象性的、枯燥的數學文字轉化為生動、直觀的圖形，最大限度地降低了學生學習數學的難度，也極大地提高了學生對數學的理解能力.數形結合思想的核心是“以形化數，以數代形”，數學中“數”和“形”本就是密不可分的關系，數學中的圖表、圖形等都可以看成“形”，而公式、定理等都可以看成“數”，以計算空間幾何體的表面積和體積為例，空間幾何體就是“形”，而空間幾何體的表面積和體積則為數，數形結合，能讓學生更加直觀地想象空間幾何體的長、寬、高等屬性，也能通過公式更容易解得空間幾何體的表面積和體積.

2.數形結合的兩種方式

“以數助形”即以數代形，比如計算正方形的面積，我們用眼是看不出面積的，必須要借助公式進行計算.“以形助數”即以形代數，就是以圖形直觀展示抽象的數學邏輯關系.在高中階段，最典型的就是用數軸、平面直角坐標系表示某個函數方程.

3.數形結合的實際案例

在學習“一元二次不等式(組)”時，教師為學生設置以下問題：“一元二次不等式(x-3)(x+1)<0是否有解？如果有，這個不等式有多少個正整數解？”從題目難度上分析，題目相對較簡單，但是這里主要考查學生對“不等式解集的數軸表示”的理解，經過計算得到結果為-1

(三)函數與方程思想

1.何為函數與方程思想

函數與方程思想作為四大數學思想中最重要也是最普遍的一類教學思想，幾乎在每堂課中都能夠用到.函數與方程思想是簡化數學算法、反映數理邏輯的最好方式，因為在高中數學解題教學中的應用最為廣泛，所以幾乎能和所有的高中數學知識相結合.數學題目中有著非常多的未知數求解題，結果即為未知數x，通過未知數x構造合乎邏輯的數學方程，進而通過數學運算推導，這就是函數與方程思想的內核，所以以函數與方程思想求解未知數是數學教師常用的方法.

2.函數與方程思想的應用范圍

函數與方程思想主要是讓學生形成以“未知推導已知，已知求解未知”的數學解題思維，所以凡是涉及數理計算、函數求解等題型時都可以用到函數與方程思想.縱觀高中數學知識，函數與方程思想最常用在三角函數、二次函數、冪函數的求解中，教師引導學生根據題目設未知數x,y,z，然后根據已知條件將未知數代入，以形成完整的求解方程.例如在解答三角形題目時，要計算出某個三角形的三邊關系，則要設三邊為x,y,z，將之帶入sin，cos和tan三類三角函數中，就能通過已知條件(例如三角函數值和三角形的一條邊)推導求得x,y,z，進而計算三邊關系.

3.函數與方程思想的實際案例

(四)化歸與轉化思想——化繁為簡，化難為易

1.何為化歸與轉化思想

化歸與轉化思想直白地說就是在解決數學問題時，如果很難直接求解的話，就需要把這個問題轉化成已知問題進行求解.化歸與轉化思想說明了數學知識萬變不離其宗，透過現象看本質，就能將未知問題轉化成已知問題進行求解.因此在數學教學中，化歸與轉化思想常被用來分析和簡化復雜的問題.例如學完了一元一次方程、因式分解等知識后，在學習一元二次方程的時候我們其實就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的.再到高中特殊的一元高次方程求解時，又是將其化歸為一元一次和一元二次方程來求解，更加直白地說，就是由1+1=2，我們可以推出1+2=3，通過化歸與轉化思想可將其轉化為1+1+1=3這種最直接、最簡單、最好理解的方式.

2.化歸與轉化思想的實際案例

在解答復雜的函數問題時，我們可以通過化歸與轉化思想由已知函數推導出新的函數方程，之后對新的函數方程進行分析解答，就能快速地得出答案.比如在解答題目：“f(x)=ax2+ax+a-1，當f(x)<0的解集為R時，求a的取值范圍.”這個題目的解答過程需要用到化歸與轉化思想，然后基于函數圖像的基本性質確定a的取值范圍.具體解答過程如下：

解：當a=0時，函數f(x)=-1<0，此時符合題意，即對x屬于R恒成立，故此時f(x)<0的解集為R.而當a≠0時，由f(x)<0的解集為R恒成立，可推導a<0且Δ<0，即a<0且a2-4a(a-1)<0，即a<0且-3a2+4a<0，即a<0且3a2-4a>0，解得a<0.綜上，知a的范圍是a≤0.

在這個題目中，我們將復雜的函數問題轉化成簡單的“a<0且Δ<0”問題，直接列出不等式進行求解，這樣就通過消元方式排除了“x”的干擾，以此求解a的取值范圍就變得非常容易.

結束語

數學中的分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想以及化歸與轉化思想都能讓高中數學解題教學變得更有效率.只要教師能設計科學的應用策略和方法，把握好數學思想與數學知識的融合點，就能發揮其教學作用，成為提升課堂教學效率和教學質量的好幫手.綜上，高中數學和初中、小學數學完全不同，高中數學講究培養學生的數學思維，而非簡單的理解公式、定理定義.故應用四大數學思想可在很大程度上優化學生的數學思維，在面對問題時懂得化繁為簡、逐層深入，既能夠面面俱到地解決問題，又能夠節省時間和精力，應試教育背景下，高中生應當以提高學習成績為重，數學思想可幫助學生快速掌握解題方法和技巧，也是一種非常重要的學習工具，值得推廣學習.當然，上述分析只是筆者的淺見，不足之處還請各位讀者朋友批評指正.