以幾何直觀內化運算規律

陳雅 華麗芳

摘要：教學《乘法分配律》一課，利用幾何直觀，帶領學生不斷辨析乘法分配律的本質意義，抽絲剝繭，理解并內化運算規律。教學中，有匹配問題情境的直觀呈現，讓學生在“形”中提升對“數”的認識;有凸顯數學本質的動態呈現，讓學生對“合著算”和“分開算”算式的結構特征與內在聯系印刻入心;有發展模型意識的抽象呈現，讓學生經歷富有層次的表征過程后，順理成章地用語言、文字和符號歸納總結乘法分配律。

關鍵詞：幾何直觀;乘法分配律;問題情境;數學本質;模型意識

“乘法分配律”是蘇教版小學數學四年級下冊的內容，教學目標為：（1）在解決實際問題的過程中通過觀察、類比、猜想、舉例、驗證、歸納等數學活動發現、概括、理解乘法分配律;（2）在具身體驗中感悟探索規律的一般過程，培養模型思想，發展抽象思維，積累建模經驗;（3）感悟數形結合的數學思想，體驗乘法分配律的價值，提高學習數學的興趣，體驗學習數學的成就感。其中，教學重點是乘法分配律和數形結合思想，教學難點是探索規律的一般過程。《乘法分配律》一課教學，可以利用幾何直觀，引導學生主動參與，不斷辨析乘法分配律的本質意義，抽絲剝繭，理解并內化運算規律。具體教學過程與評析如下：

一、教學過程

（一）在解決實際問題中初步感知規律

1.購買運動服問題。

師今天我們來學習乘法分配律。（出示下頁圖1）我們先來解決一個問題：學校有10名同學參加趣味運動會，需要訂購統一的運動服，一共多少元？你從中知道了哪些信息？

生一件上衣60元，一條褲子40元，買10套，求一共多少元。

師請同學們在本子上列出綜合算式并計算。

（學生計算。）

生（60+40）×10=1000（元）。我是先算出一套運動服多少元，再乘10套。

師（出示圖2）我們可以把一個三角形看作一件上衣，一個正方形看成一條褲子。他是先把一件上衣和一條褲子合著算的。

生60×10+40×10=1000（元）。我是先分別求出10件上衣的價格和10條褲子的價格，再相加。

師（出示圖3）也就是先分開算，再加起來。

師仔細觀察這兩個算式，其解題思路不同，運算順序也不同，但我們發現，結果卻是——一樣的。[板書：（60+40）×10=60×10+40×10]我們可以畫上等號，把它們連接起來。

2.啦啦隊人數問題。

師再來看第二個問題。（出示圖4）啦啦隊分成了紅、藍兩隊，從圖中你知道了哪些信息？

生紅隊一行有4人，藍隊一行有5人，都各有3行。

師（出示圖5）用這樣的點子圖表示，理解嗎？一共有多少個隊員，可以怎么列式？

生（4+5）×3。

生4×3+5×3。

師這兩個算式分別在算什么？

生第一個算式是先算一行有多少個隊員，再乘3行。

生第二個算式是把紅隊的人數和藍隊的人數分開算。

師（出示圖6）這兩個算式相等嗎？為什么？

生相等。我算出結果都是27。

生（4+5）×3可以看成9個3;4×3+5×3表示4個3與5個3的和，也是9個3。

師[板書：（4+5）×3=4×3+5×3]計算也好，乘法的意義也好，都能夠說明這兩個算式是相等的。（出示圖7）如果再增加三行，現在可以列成哪兩個算式，它們相等嗎？

生相等。都解決同一個問題，也都表示9個6。

[教師板書：（4+5）×6=4×6+5×6。]

3.發現規律特征。

師（指板書）我們得到了這樣3個等式。請同學們仔細觀察，比一比，你有什么發現？

生每組兩個算式計算結果都相同。

生每組兩個算式中的三個數都相同。

生每組算式都是乘了一個相同的數。

生左邊都是先算兩個數的和再相乘，右邊都是兩個數分別與一個數相乘再相加。

生左邊都是合著算的，右邊都是分開算的。

（教師板書：合著算，分開算。）

[評析：課始，教師帶領學生在解決實際問題中，初步感知乘法分配律在生活中的原型。同時，利用數形結合來對算式進行闡釋，使學生理解既可以合著算，又可以分開算，在多維角度中對得到的三組等式進行意義解讀。然后，教師放手讓學生通過觀察、比較，逐步發現三組等式的共性特征。在全班交流中，教師引導學生提煉出原型的特征，加深對原型的本質認識。]

（二）在仿寫建模中穩步表征規律

師通過橫著和豎著觀察和比較，我們發現了這些等式的特點。那是不是具有這些特點的兩個算式都相等呢？

生我覺得都相等。

生我覺得不一定相等。

師到底誰的猜想是對的呢？我們需要進行驗證，可以怎么驗證？

生舉更多的例子。

師拿出學習單，想一想、算一算，各自列出具有這些特點的一組算式。

（學生交流展示。）

生（3+8）×9=3×9+8×9。

生（12+30）×78=12×78+30×78。

師我們來看這兩位同學的舉例，符合我們發現的這些特點嗎？等式成立嗎？怎么證明成立的？有寫到等式不成立的嗎？

生沒有。

師[板書：（7+0）×8=7×8+0×8]老師也寫了一個。你們瞧，等式成立嗎？

生等式成立。

師如果時間允許的話，我們還能再舉更多的算式，舉得完嗎？

生舉不完。

師那你能用一個等式表示出這個規律嗎？

生（a+b）×c=a×c+b×c。

師用字母式將發現的規律表達了出來，很好！

[評析：在發現三組原型本質特征的基礎上，教師引導學生猜想：是否具有這些特征的兩個算式都相等？學生在嘗試舉例中，發現結果都相等。教師適時補充含0的一組算式，充分暴露學生理解的盲區，幫助學生形成更完整的認知。學生由之前學習運算律的經驗，自然而然想到可以用字母式來表示乘法分配律。]

（三）在動態驗證中內化規律

師其實啊，我們發現的這個規律早就潛伏在以前的學習中了！（出示下頁圖8、圖9）一起看看。

師（出示圖10）拼成的大長方形面積可以怎么求？

（學生分別介紹合著算和分開算兩種方法，教師同步展示課件，最終畫面如圖11所示。）

師老師給這個長方形施個魔法，讓它動起來。（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現圖12-圖14）使第一個數動起來，符合嗎？

生符合。

師（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現圖15-圖17）第二個數變動，現在呢？（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現圖18-圖20）使寬變化，現在這兩個算式相等嗎？（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現下頁圖21-圖23）使這三個數同時變化，算式相等嗎？

生相等，求的都是大長方形的面積。

師在這里，第一個數可以是什么？第二個、第三個數呢？（出示圖24）如果這三個數變成a、b、c，兩個算式還相等嗎？

生相等。

師（出示圖25）這就是乘法分配率。

師（小結）不管這三個數怎么變，等式都成立。在求拼成后大長方形的面積時，這兩種方法間的關系也符合我們發現的規律：（a+b）×c=a×c+b×c。

[評析：在學生用字母表征出乘法分配律之后，教師沒有急著揭示概念，而是帶領學生一起回憶，喚醒學生的舊知，與本節課學習的新知串聯。這既是對之前碎片化學習的聚合，也是對新知的一種補充與驗證。運用“幾何畫板”軟件，在長方形面積的動態變化中，引導學生充分理解和思考，在幾何直觀中逐步抽象出乘法分配律。]

（四）在練習鞏固中應用規律

師（出示練習，如下）請同學們完成如下練習。

1.填一填。

（1）（42+35）×2=42×□+35×□;

（2）15×26+15×14 = □○（□○□）;

（3）（30+x）×y=□○□○□○□。

2.判一判：下面的等式成立嗎？

（1）（28+72）×7=28×7+72×7;

（2）40×25+4×25=40×（25+4）;

（3）74×（99+1）=74×99+1。

（學生完成后展示交流答案。）

師等號兩邊的算式不相等時，怎么改能使兩邊相等？如果讓你計算，你會選等式的哪一邊？為什么？

……

[評析：這里設計的練習，既尊重教材又超出教材，即對靜態的習題進行動態的操作，提高練習的趣味性。第二題除了基于乘法分配律判斷和改正等式，還引導學生思考規律的價值，為以后學習簡便計算做鋪墊。]

（五）在總結回顧中掌握探索規律的方法

師讓我們一起來回顧一下今天的學習過程。我們是怎么一步一步概括出乘法分配律的？

生我們在解決實際問題中得到了三個等式，再通過觀察、比較、猜想、驗證，最終概括出乘法分配律。

師看來，大家都收獲滿滿。（出示下頁圖26）瞧，運算律小火車也收獲了新成員呢。今天，我們通過數形結合學習了乘法分配率。那如果再增加一個小長方形，大長方形面積是多少呢？合著算和分開算又會得到兩個什么樣的算式呢？它們之間又有什么關系呢？同學們可以運用今天研究乘法分配律的方法繼續探究。

[評析：弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力。”課尾，教師及時指導學生回顧反思，幫助他們梳理學習過程，提煉規律發現的一般過程;并且帶領學生整理已經學習的運算律，豐富知識網絡，幫助學生形成整體思維。最后，教師拋出一個問題，鼓勵學生利用今天的所學進行更深入的研究，培養學生的應用意識，幫助學生鞏固學到的探索規律的方法。]

二、教學總評

（一）匹配問題情境的直觀呈現

本節課，雖然需要對算式進行觀察，但教師沒有生硬地提供脫離實際意義的式子，而是創設了豐富的現實情境。無論購買運動服還是隊形的排列，都是學生非常熟悉的生活情境，能夠助力他們理解算式表示的實際意義，從而更好地認識和比較“合著算”和“分開算”。每一個問題情境，都有匹配的幾何直觀呈現，讓學生在“形”中提升對“數”的認識。

（二）凸顯數學本質的動態呈現

深度學習與淺層學習不同，是一種基于理解的學習，重在經歷學習的過程。絕大部分學生通過計算，知道了“合著算”和“分開算”結果相等，兩個算式可以用等號連接。而很少有學生會想到運用乘法的意義——幾個幾，來解釋為什么相等。這種現象，也反映出之前的學習更關注結果而不是過程。于是，教師從情境圖抽象到點子圖，幫助學生在數一數的過程中感悟“合著算”和“分開算”背后的意義，豐富學生的多元表征經驗。同時，利用“幾何畫板”軟件，研究求大長方形面積的兩種不同算法的關系。在動態呈現中，學生對乘法分配律的本質特征有了充分的直觀感受，對“合著算”和“分開算”算式的結構特征與內在聯系印刻入心。

（三）發展模型意識的層次呈現

學習從模仿開始。學生在解決“購買服裝”“隊形排列”問題的過程中，充分感知了乘法分配律的結構特征。緊接著，學生通過仔細觀察、比較，逐步發現了這些算式的特點。教師在學生回答時相機框一框、畫一畫、圈一圈，使乘法分配律的表象躍然于黑板上，同時也清晰地投射在學生的頭腦中。在這之后的仿寫建模中，學生舉出了很多例子來驗證，教師還舉例“（7+0）×8=7×8+0×8”這類等式，探討其是否符合乘法分配律，直逼學生的認知盲區。學生經歷富有層次的表征過程后，用語言、文字和符號歸納總結乘法分配律也就順理成章，從而在內化運算規律的同時還有效發展了模型意識。

參考文獻：

[1] 王茜，周衛東.“乘法分配律”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2021（11）.