用“份數法”化解分數和倍數學習難點

馬國慶

摘要：小學數學中，與分數或倍數有關的實際問題，尤其是融入加減變化后有多組分數或倍數關系的實際問題，一直是學生學習的難點。在小學沒有學過方程的方法時，解決這類問題可以采用“份數法”：將分數或倍數關系轉化為份數的比的關系，利用不變量搭橋，找準對應的份數，再利用變化量對應的份數，求出每份數，從而求出其他未知量。份數和每份數是學生更容易理解的基本量，更貼近學生習慣的“整數視角”。這個方法體現了基本量思想和方程思想，能培養學生的數學抽象能力和邏輯推理能力。

關鍵詞：分數關系;倍數關系;份數法;基本量思想;方程思想

小學數學中，與分數或倍數有關的實際問題，尤其是融入加減變化后有多組分數或倍數關系的實際問題，一直是學生學習的難點。究其原因，學生常常無法判斷單位“1”（在不同的分數或倍數關系中，單位“1”有變化），導致量率的對應出錯，計算的選擇不對——有時連線段圖都畫不清楚。

如果是在中學比較系統地學過方程的方法后，就可以利用方程的方法（尤其是列多元方程）很容易地解決這類問題（不用想，只需算）。但是，在小學沒有學過方程的方法時，如何解決這類問題，學生比較容易掌握（不容易出錯），并能夠體會到更一般的數學思想（不是純粹地玩技巧），為初中學習方程的方法做好鋪墊（有機實現小初銜接）？筆者認為，可以采用“份數法”。

所謂“份數法”，就是將分數或倍數關系轉化為份數的比的關系，利用不變量搭橋，找準對應的份數，再利用變化量對應的份數，求出每份數，從而求出其他未知量，解決問題。在分數關系中，當然有平均分和份數（分數可以看成份數的比）：幾分之幾就是平均分成幾份，取其中的幾份。在倍數關系中，其實也有平均分和份數（倍數也可以看成份數的比）：1倍量就是平均分后的一份，幾倍量就是平均分后的幾份。因此，分數和倍數關系可以轉化成份數的比的關系。但是，在不同的分數或倍數關系中（單位“1”有變化），可能有某個不變量所占的份數不同（因為每份數不同），這時，可以利用比的性質（分數的性質，或者說商不變的性質）將不變量所占的份數化為相同（每份數也就一致了）。由此，學生很容易發現這個每份數是解題關鍵：求出它，其他量無非是再乘一個份數。

這里，份數和每份數蘊含著“每份數×份數=總數”這個一般化程度很高的數量關系，是學生更容易理解的基本量（尤其是相對于分數蘊含的“對應數÷幾分之幾=總數”，更貼近學生習慣的“整數視角”）。在這個過程中，其實已經蘊含著“把未知量當已知量理清其他量與之的關系，再設法求出未知量進而求出其他的量”的思想。也就是說，體現了基本量思想（利用一個量表示其他量）和方程思想（把未知量當已知量），能培養學生的數學抽象能力和邏輯推理能力。

下面，試舉數例加以說明。

一、基本題：兩個量、兩組分數或倍數關系的問題

例1某商場原有臺式電腦、筆記本電腦共630臺，其中臺式電腦的數量占15。后來又運進一些臺式電腦，這時臺式電腦的數量占兩種電腦總臺數的310。問：又運進臺式電腦多少臺？

這是一道分數關系問題。其中，兩個分數關系中的不變量是筆記本電腦的臺數，這個量比較基本，較易求出。因此，本題不用“份數法”難度也不大：630×1-15=504，504÷1-310=720，720-630=90。只是，學生對分數是否需要用1減以及分數是乘還是除，很容易搞錯。由此不難看出學生解決這類問題的基本困難所在。

然而，使用“份數法”思路更清晰：前面的15說明臺式電腦占1份，筆記本電腦占4份，總共是5份;后面的310說明臺式電腦占3份，筆記本電腦占7份，總共是10份;前后筆記本電腦的臺數不變，因此，求出4和7的最小公倍數28，可將前后兩種電腦所占的份數以及總份數的比分別化為7∶28∶35、12∶28∶40，因此，每份數為630÷35=18，又運進臺式電腦的臺數為18×（12-7）=90。可以看出，這里的運算都只與整數有關;同時推理雖然略長，但很自然（指向清晰）。

例2甲書架上書的本數是乙書架上書的本數的47。兩個書架上各增加154本書后，甲書架上書的本數是乙書架上書的本數的56。求甲、乙兩個書架上原有書各多少本。

這是一道分數關系問題。其中，兩個分數關系中的不變量是甲、乙兩個書架上書的本數的差，這個量不太基本，很難求出。因此，本題最好使用“份數法”：前面的47說明甲書架上的書占4份，乙書架上的書占7份，總共是11份;后面的56說明甲書架上的書占5份，乙書架上的書占6份，總共是11份;前后甲、乙兩個書架上書的本數的差不變，因此，求出（7-4）和（6-5）的最小公倍數3，可將后面甲、乙兩個書架上的書所占的份數以及總份數的比化為15∶18∶33，因此，每份數為154÷（15-4）=14，甲、乙兩個書架上原有書的本數分別為14×4=56，14×7=98。

例3甲、乙兩所希望小學原來一共有若干本書。如果從甲拿10本給乙，則乙的本數是甲的兩倍;如果從乙拿10本給甲，則甲的本數是乙的三倍。那么，甲、乙兩所希望小學原來各有圖書多少本？

這是一道倍數關系問題。其中，兩個倍數關系中的不變量是甲、乙兩所希望小學所有書的本數的和，這個量不太基本，很難求出。因此，本題最好使用“份數法”：第一個過程中的兩倍說明甲的書占1份，乙的書占2份，總共是3份;第二個過程中的三倍說明甲的書占3份，乙的書占1份，總共是4份;兩個過程中甲、乙書的本數的和不變，因此，求出3和4的最小公倍數12，可將兩個過程中甲、乙書所占的份數以及總份數的比分別化為4∶8∶12、9∶3∶12，因此，每份數為（10+10）÷（9-4）=4，甲、乙兩所希望小學原來圖書的本數分別為4×4+10=26，4×8-10=22。

二、變式題：有關量增多、分數或倍數關系增多的問題

相對于基本題，變式題的解題過程可能有變化、更復雜，但是依然體現了基本量思想和方程思想。

例4學校買回四種圖書，科技書的本數是文藝書本數的34，連環畫的本數是剩余三種書本數的13，史地書的本數是剩余三種書本數的14，史地書比文藝書少80本。買回來的四種圖書一共多少本？

這道題出現了四個量及總數之間的三個分數關系和一個和差關系。分析易得，后兩個分數關系都涉及總數這一不變量，于是，由此入手：第二個分數13說明連環畫占1份，其余書占3份，四種圖書總共是4份;第三個分數14說明史地書占1份，其余書占4份，四種圖書總共是5份;兩種情況下四種圖書的總數不變，因此求出4和5的最小公倍數20，可將連環畫和其余書所占的份數以及總份數的比化為5∶15∶20，史地書和其余書所占的份數以及總份數的比化為4∶16∶20。于是，連環畫占5份，史地書占4份，科技書和文藝書一共占11份，四種圖書總共是20份;此外，第一個分數34說明科技書占3份，文藝書占4份，總共是7份;兩種情況下科技書和文藝書的總數不變，因此求出11和7的最小公倍數77，可將連環畫、史地書、科技書和文藝書所占的份數以及總份數的比化為35∶28∶33∶44∶140，因此，每份數為80÷（44-28）=5，買回來的四種圖書的本數和為5×140=700。

例5同學們去參觀動物園。籠子里關著雞和兔，兔頭比雞頭的3倍少6個，兔腳比雞腳的5倍少4個。那么，雞和兔各有多少只呢？

這道題是“雞兔同籠”問題的變式：由雞（頭或腳）和兔（頭或腳）之和的關系變成了雞（頭或腳）和兔（頭或腳）之間的倍數關系;而且不是整倍數，有零頭。其中有兩個隱藏的條件：雞腳是雞頭的2倍，兔腳是兔頭的4倍。小學生不能用方程的方法解決，可以用“份數法”理清思路：若雞頭為1份，則兔頭為3份少6個，雞腳為2份，兔腳既為10份少4個，也為12份少24個;既然兔腳數不變，那么2份就是24與4的差，因此，每份數為20÷2=10，雞和兔的只數分別為10，10×3-6=24。

這樣的思路分析過程以邏輯推理為主，但是其中顯然蘊含著列方程的思考（尋找等量關系）和解方程的計算（移項、系數化為1等）。可以說，這樣的解法不是方程方法，學生能夠理解，但是蘊含著方程思想（正向思維），為初中學習方程做了鋪墊。

美國心理學家、教育學家布魯納在《教育過程》中曾提出“螺旋式課程”的概念，強調以與兒童思維方式相符的形式將學科結構置于課程的中心地位，隨著年級的提升，不斷拓廣加深學科的基本結構，使之在課程中呈現螺旋式上升的態勢，使課程內容得到更加有效的組織。倍數、乘法、分數、除法等知識及其應用的學習幾乎貫穿小學數學學習的全過程，這些內容之間有著內在的聯系，而“份數”和“份數法”就是其中重要的線索。教師要通過這些內容的教學，讓學生對“份數”和“份數法”的理解實現“螺旋式上升”，并形成“份數”思維（知識結構），為初中列方程解應用題的學習做好鋪墊。

參考文獻：

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[2] 王凌.從整數視角到分數視角——“分數的初步認識（二）”的學生錯誤與教學對策＼[J＼].教育研究與評論（課堂觀察），2021（1）.