SIR/IR模型的新型冠狀病毒肺炎疫情研究
——基于湖北省2020年1—5月數據

鄒浩越，李世霖，劉韓坤

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

2019年，一類意想不到的COVID-19病毒給中國乃至世界經濟造成了嚴重損失，COVID-19病毒具有非常強的空氣傳染能力，其通過與人體黏膜細胞上的血管緊張素轉化酶Ⅱ（angiotensin converting enzyme-Ⅱ，ACE-Ⅱ）特異性結合，從而引發呼吸系統病變[1]。新型冠狀病毒肺炎的潛伏期一般為14 d左右，病毒傳染能力非常強，因其傳染性較強而使得防疫非常困難。但是中國政府通過宏觀調控，運用政策手段限制住了病毒的傳播范圍，使得我國的疫情形勢轉好。

為了探求如何有效進行防控防疫，本文擬基于SIR/IR模型進行分析[2-3]，通過Matlab對現有數據進行分析和評價，評估政府干預對公共安全的影響，為此后類似疫情的防疫和救治工作提供理論支持和實踐參考。

1 模型的建立

1.1 模型前提

SIR模型，是由W.O.Kermack等[4]于1927年建立的，用于研究傳染病動力學傳播的經典倉室模型。倉室模型的基本思想，是將自然狀態下的人群分為若干倉室，再對倉室建立模型和進行分析。倉室模型中最具代表性的模型是SIR模型。

大多數感染性疾病都是免疫的——即患者治愈后，在被感染的系統中立即被移除，稱為移除者。而患者在治愈后具有非常強的免疫力（默認不會再次患病），可以認為康復后的患者既非健康者也非不患病者，退出了傳染病體系。

SIR模型是常見的一種描述傳染病傳播的數學模型，其基本假設是將人群（總人數N不變）分為以下3類[5]：

1）易感者（susceptible）。文中以S表示，指未感染，因自身免疫力低下或者缺乏免疫力，而與患病的人接觸后易受感染的人。S占N的比例，即S/N以S(t)表示。

2）感染者（infectious）。文中以I表示，指已經感染上傳染病的人，他們可以通過接觸傳染等傳播方式將病毒傳染給易感人群。I占N的比例，即I/N以I(t)表示。

3）移除人群（recovered）。文中以R表示，指從系統中移除的人，包括在疾病中康復或死亡的人。這些人不再參與模型的后續過程。RI(t)占N的比例，即R/N以R(t)表示。

1.2 模型特征

本研究基于倉室SIR模型模擬COVID-19的傳播情況。以β表示日接觸率（平均每日每名感染者感染易感染者數量），用以反映疾病傳播的強度；以γ表示日恢復率（平均每日移除感染體系的感染者數量），取決于系統感染發展時間的平均值。模型建立在以下假設基礎之上。

1）不考慮所取得樣本區域的人數總量改變，假設本區域人口總數為常數且為定值。故本模型設定研究期間湖北省的人口數總量為定值。

2）此種病必須為傳染病，且假設病人一旦與易感者接觸后就必然發展成為具有一定的傳染力的感染者，系統初始時的樣本空間人群都沒有這種疾病的抗體。假設單位時間t內，一個病人能傳染的易感者數目與系統環境內的易感者總數S(t)成正比，且比例系數為β。故在單位時間t內被所有病人傳染的總人數為β·S(t)·I(t)[6]。

3）疾病可以被治愈或導致死亡，從而產生R(t)人群。在t時刻，單位時間內從染病者中移除的人數與病人數量成正比，比例系數為γ。故單位時間內移除者的數量為γ·I(t)。

SIR模型中3種人群之間存在如圖1所示的轉換關系。

圖1 SIR狀態遷移圖Fig.1 SIR state transition diagram

為了簡化，用3組人群的第一個字母S、I、R分別表示3組人群的總人數。N表示人口總數[7]，系統中的3類人群可用以下形式的常微分方程組體現出數量隨時間的動態發展變化規則：

2 實驗結果分析和圖像處理

2.1 數據處理

由于自2020年1月23日10時起湖北省關閉了省內的大部分出城通道，因此可將此階段的湖北省視為一個暫時封閉的整體。此外，由于湖北省的疫情數據在5月1日之后沒有大的變化，因此課題組選擇將1月22日—4月30日（1月22日就有檢疫數據）的數據作為所要處理的數據，部分具體數據見表1，數據來源于騰訊新聞新型冠狀病毒肺炎實時更新[8]。

表1 新型冠狀病毒肺炎1月22日—4月30日部份疫情數據Table 1 Some COVID-19 epidemic data from January 22 to April 30

2.2 湖北境內患病人數分析

圖2和圖3分別為運用Matlab對表1中數據擬合湖北省境內患病累計確診、治愈或死亡人數，以及每日新增人數的情況，起計日期為1月22日。

圖2 累計確診、治愈或死亡人數擬合曲線Fig.2 Cumulative number of diagnoses, cures and deaths

結合圖3和表1中數據可以得知，在1月27日之前，每日新增確診人數都是以十位或百位數量增加，然而自1月29日至2月18日，每日新增確診人數的量級從百位迅速提升到了千位。其中，最為突出的是2月12日，當天新增確診人數高達14 840，查閱央視新聞報道以及湖北省衛健委發布的公告可知，2月12日，湖北省COVID-19疫情防控局除了之前的試劑檢查以外，還增加了“臨床診斷”，于是出現了一輪新增病例數量的增加。自2月19日到3月10日，每日新增病例的數量從千位量級回到了百位、十位，且新增病例的數量逐步下降。從3月11日—3月17日，每日新增病例數基本穩定在個位數。3月18日—4月30日基本沒有新增新型冠狀病毒肺炎病例，表明疫情已經基本得到了有效控制。

圖3 每日新增疫情情況擬合曲線Fig.3 Daily new epidemic tendency

2.3 傳染病辨識結果分析

在經典模型當中，利用Matlab使用線性最小二乘法對待定參數進行估計，由圖2可以得出，一般情況下，正常病毒性肺炎的恢復周期為14 d左右，故將此次病毒性肺炎恢復周期估計為14 d，而由移除率的定義可以得出恢復系數γ≈1/14，通過Matlab進行擬合可得傳染率β=0.291 32。同時可以采用如下公式估算出新型冠狀病毒肺炎的基本傳染數。

R0為基本傳染數，是指在沒有外力介入，所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染某種傳染病的人會傳染給其他多少個人的平均數[9]。通過計算得出COVID-19的初始基本傳染系數為4.078 48。

基本傳染數的一個重要指標是衡量疾病傳染性。R0的一個重要臨界點是R0=1，R0的數字越大，代表流行病越難以控制。若R0<1則傳染病將會隨著時間的推移而逐漸消失；若R0>1則傳染病會以指數形式傳播，最終演變成流行病。非典（嚴重性呼吸綜合癥，SARS-Cov）的基本傳染系數約為0.8～3.0，埃博拉病毒的基本傳染系數約為1.5～2.5。由此可看出新型冠狀病毒的感染力較強[10]。

3 模型的分析及討論

3.1 用SIR模型擬合湖北省患病人數

通過式（1）進行模型擬合，即可得出由SIR模型預測的武漢市患病人數，如圖4所示，其中監測天數起計日期為1月22日。

圖4 監測期內SIR模型的數值變化曲線Fig.4 SIR model numerical change curves

由圖4可知，隨著時間增長，易感人數比S(t)從1逐漸降低至0；感染人數比I(t)則是先增長，S達到峰值后逐步下降至0；而移除人數比R(t)是從0緩慢增長至1。但SIR模型的感染來源為感染人群(I)感染易感人群(S)，而實際情況下新冠病毒的感染人群增加的主要原因為隔離人群在隔離期確診，并且我們國家新冠防控的R0是變化的，隨著時間推移逐漸縮小（防疫越來越嚴格），而SIR模型的R0是一個定值，因此SIR模型與實際情況間會出現一定的誤差。

由于SIR模型不能很好地體現出由基本傳染系數的變化而使模型對未來預測發生改變，所以課題組選擇舍去易感者S(t)再進行模型擬合，即可得出IR模型，該模型的常微分方程如下：

3.2 用IR模型擬合湖北省患病人數

基本傳染系數R0，為每個患病人員每天會接觸并感染的正常人個數，即為病毒的基本傳染系數，R0可以從側面顯示防疫管控程度的好壞，即R0越大，表明隔離和管控措施越差；R0越小，則表明對疫情防控起到了出色的效果。通過R0變量能清楚地認識到疫情隔離防控的好壞對疫情未來發展趨勢的影響，不同R0下IR模型擬合結果如圖5所示，其中監測天數起始日期為1月22日。

由圖5可以看出，隨著R0數值的減少，患病人數比I(t)達到的最大值減小，當R0=2.29時患病人數比I(t)甚至不超過25%，隨著疫情管控增強（R0減少），感染人群從驟增到達高點至最后減少到0所用的時間在減少，說明采取嚴厲的管制和防控隔離措施對控制新型冠狀病毒肺炎患病人數的增加和縮短疫情結束時間有著顯著的效果[11]。

圖5 不同R0下湖北省患病人數比例隨監測天數變化的IR曲線Fig.5 IR curves of the proportion of patients in Hubei Province with different R0 with the number of days

圖6為除中國以外的部分國家感染人數變化趨勢圖，時間為2020年3月至12月。

圖6 美國等國家的新型冠狀病毒肺炎感染人數趨勢圖Fig.6 Trends in the number of COVID-19 in the United States and other countries

由圖6可以看出，美國的新型冠狀病毒肺炎變化趨勢十分嚴峻，歸其根本是因為在疫情初期沒有盡可能的在政策上加強管制和防控隔離，同時民眾大多不能正確地認識到疫情的嚴重性，將其戲稱為“大號流感”，這造成了病毒在人群中大肆傳播，給本國經濟、群眾就業造成了巨大壓力。同時，中國與美國兩種截然不同的疫情發展趨勢，從側面體現出在疫情初期做好隔離管控的重要性。

4 結語

SIR模型是一種非常有效的傳染病分析模型。為了簡化傳染病的傳染規律，得到更為精確的解，課題組將人口結構劃分為易感人群（S）、感染人群（I）和移除人群（R）3類，從而得到更適合實際情況的傳染病傳播規律。本文利用該模型的優勢擬合新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北省的發展規律。從擬合曲線可以看出，如果不加干預，該次疫情將造成較大傷亡。而實際情況與擬合情況間較大差異的原因在于，我國政府在疫情發生后，采取了嚴格的疫情管控措施，致使疫情能夠在短時間內得到有效控制。

雖然SIR模型能非常直觀地展示傳染病的過程，但是應注意到，該模型對人群的分類不夠細致，未能清晰考慮出隔離這一重要因素。而實際情況下對疑似病人采取隔離措施是阻止疫情傳播最有效的方法，同時模型沒有引入反應機制，在對模型進行擬合的情況中，單就依據已有數據猜測未來較長一段時間的數據，必定會使得準確度下降，同時SIR模型沒有考慮到移除人群再次感染的情況。此外，微分方程組求解較為困難，且模型對初值比較敏感，這對模型的穩定性有極大影響[12]。

由于模型仍然是一個粗略的模型，主要是未能考慮到COVID-19病毒存在潛伏期這種情況。一般情況下，3～7 d為COVID-19病毒的平均潛伏期，最長的甚至達到24 d。而假若忽略了潛伏期，那么會造成模型擬合與事實情況出現一定的偏差。SEIR模型則囊括了這一點，將潛伏者（exposed指有接觸過感染者但未發病，可能與存在潛伏期的傳染病）變量引入模型當中，此時模型的擬合將更為精確。課題組將在后續研究中使用SEIR模型進行研究，以得到更為擬合的模型。