提高數學解題能力 助力學生全面提升

殷久旋 方芳

[摘? 要] 數學在高考中的學科地位是不言而喻的，數學解題能力作為數學學習的關鍵一環，在數學學習中發揮著舉足輕重的作用. 文章指出，若想提高學生的數學解題能力，必須重視審題，充分挖掘和發揮例題、習題的典型引領作用，通過對解題方法和解題技巧的積累與探究，從而達到融會貫通的效果.

[關鍵詞] 解題能力;解題方法;解題技巧

數學解題能力不是與生俱來的，也不是一蹴而就的，而是在學習中不斷積累和完善的，因此，數學解題能力的培養和提升應滲透于數學的教學過程中. 那么如何提升高中生的解題能力呢？筆者做了一些教學探究，以期一起學習.

[?]認真審題

審題直接影響解題的方向性和正確性，其是解題的基礎和前提，因此，要提高學生的解題能力必須從審題能力的培養入手，只有正確地理解題意，才能根據已有認知進行準確求解. 從小學階段就開始強調審題的重要性，然到了高中仍有部分學生因審題不清而造成失分. 那么如何做到正確審題呢？筆者認為，數學審題應做到以下幾點：①讀懂題目所要表達的真正用意;②讀出題中的隱藏條件;③重視關鍵詞，挖掘問題本質. 但要讀懂題中的隱藏條件和挖掘問題本質，需要學生對概念的內涵及外延有著深刻的認識，可以靈活地運用公式和定理，只有扎實的基礎知識儲備，才能通過細致分析發現隱藏其中的秘密. 例如，（3a-1）y2-5y+2=0是關于y的一元二次方程，很顯然其中二次項3a-1≠0即為隱含條件，若審題時忽略該條件，很可能會出現求解錯誤. 當然，對于本題的隱藏條件大部分學生可以輕松發現，主要是因為學生對一元二次方程的相關知識掌握得較好，由此可見，若要發現隱藏條件，學生一定要重視基礎知識的積累.

在審題的過程中也要注重解題思路的引導，若審題時不注重解題思路的引導，很容易造成過度審題，使得挖掘出的知識點過于凌亂，使得解題時發生思維障礙，影響解題效率. 因此，在審題過程中，教師可引導學生根據問題分析法，形成解題思路. 例如，若求函數的最小值，其解題思路可以從以下幾方面分析：函數單調性分析;圖像法;結合函數屬性等，帶著解題思路去審題，也大大提升解題效率. 同時，在教學過程中，教師要從學生學情出發，引導學生多角度思考和分析問題，注重通性通法的積累，從而培養學生良好的學習習慣.

[?]充分發揮例題、習題的典型引領作用

學生解題思路及解題能力的培養大多源于例題、習題，因此，若要提升學生的解題能力，就要充分發揮例題、習題的典型性功能，讓學生通過掌握典型例題、習題的解題方法而逐漸形成自身的解題能力. 因此，在教學中，教師在講解例題、習題時一定要講得細，講得透，通過合理的變式讓學生充分掌握問題的本質. 同時，要引導學生注重量的積累，只有積累足夠多典型題目解題方法，才能提升解題的靈活性，從而實現觸類旁通的效果.

例1：某數學興趣小組要測量該市電視塔AE的高度H（單位：m），如圖1. 垂直放置的標桿BC高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該興趣小組測得一組α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請根據測量數據算出H的值;

（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精度. 若電視塔的實際高度為125 m，試問d為多少時，α-β最大？

本題是一道高考真題，其與教材中的試題極為相似：

例2：如圖2，有一壁畫，最高點A處離地面4 m，最低點B處離地面2 m，若從離地高1.5 m的C處觀賞，則離墻多遠時，視角θ最大？

將例1與例2相對比容易發現，例1中的∠DEB=α-β相當于例2中的θ，若學生對教材中的試題了如指掌，那么例1中第（2）問的求解也就變得水到渠成了.大多數高考題目都與教材中的試題緊密相連，因此，若想提升數學成績就要挖掘教材中試題的潛在功能，通過不斷積累、拓展、聯想，深入了解其所蘊含的數學思想、數學方法或數學結論，以此促進思維能力和解題能力的提升.

[?]重視解題方法和解題技巧的積累

數學學習不是熟背概念、公式、定理就可以取得好成績的，也不是臨考強化突擊就可以達到立竿見影的效果的，數學解題能力的培養是長期積累的結果，因此，提升數學解題能力需要注意日常的練習和長期的堅持，只有持之以恒才能厚積薄發. 那么，對于日常的練習既要重視基礎知識的積累又要有所提高. 對于基礎知識，尤其基礎運算應引起足夠的重視，部分學生往往忽視基礎運算，認為運算只要考試時細心就可以，不需要練習，以致因運算能力弱影響解題效率，有時會因為計算錯誤而失分，得不償失;對于提高，要重視一些特例的積累和探究，從特例中總結出解題的一般規律及通性通法，從而可以實現會解一題而會解一類題的目的. 另外，教師在教學中要注重解題技巧的探究和深化，從而提高學生解題的效率. 因此，教學中，教師要精心選題，確定解題能力培養目標，通過有層次的安排設計，從而讓學生扎實前行，穩固提升.

例3：已知復數z的模為2，求z-i的最大值.

解法1：代數法

設z=x+yi（x，y∈R），則x2+y2=4，z-i==. 因為y≤2，所以，當y=-2時，z-i的最大值為3.

解法2：三角法

設z=2（cosβ+isinβ），則z-i==. 當sinβ=-1時，z-i的最大值為3.

解法3：幾何法（如圖3）

因為z=2，所以復數z所對應的點Z是圓x2+y2=4上的點，z-i則表示點Z與點A（0，1）兩點間的距離. 當z=-2i時，z-i的最大值為3.

解法4：模的性質

因為z-i≤z+-i=2+1=3，當z=-2i時，z-i=3，所以z-i的最大值為3.

同一個問題，教師引導學生從不同的角度去解題，從而讓學生感悟數學各知識點間的聯系. 在高中復習階段，要多引導學生從不同角度去思考和解決問題，從而不僅可以豐富解題方法，也可以完善認知結構，通過知識點間的聯系形成完整的知識脈絡，提升知識的遷移能力. 同時，多種解題方法的應用也體現了個體差異，因個體思維方式不同，其對關鍵知識點理解的方向也會有所不同，通過一題多解，不僅豐富了學生的知識儲備，也讓學生通過借鑒和反思提升自身的解題能力.

[?]注重知識點間的轉化和遷移

數學題目是復雜多變的，面對復雜的綜合題目時，需要學生可以根據所學知識進行合理建構，熟練地掌握解題方法和解題技巧，從而通過解題方法和解題技巧的變換，提升解題能力.

例4：如圖4，已知A′B′C′-ABC是正三棱柱，點D是AC中點.

（1）證明：AB′與平面DBC′平行;

（2）假設AB′⊥BC′，求二面角D-BC′-C的大小.

解：（1）連接B′C交BC′于點O，連接OD. 因為A′B′C′-ABC是正三棱柱，所以四邊形B′BCC′是矩形，所以O是B′C的中點. 又因為在△AB′C中，D是AC中點，所以AB′∥OD，所以AB′∥平面DBC′.

（2）作DH⊥BC于H，連結OH，所以DH⊥平面BC′C. 因為AB′∥OD，AB′⊥BC′，所以BC′⊥OD，所以BC′⊥OH，即∠DOH為所求的二面角的平面角. 設AC=1，作OE⊥BC于E，則DH=sin60°=，BH=，EH=. 在Rt△BOH中，OH2=BH·EH=，所以OH=，即OH=DH，△DOH為等腰直角三角形，所以∠DOH=45°，即二面角D-BC′-C的大小為45°.

在求解過程中，若二面角的平面角定義掌握不熟，很容易將∠DOC誤認為是所求的角，從而造成錯誤. 本題求解過程中利用了二面角的平面角定義、三垂線定理和解三角形的相關知識，由此可見，在解決綜合問題時，既要有豐富的知識儲備又要靈活地掌握解題技巧. 面對千變萬化的數學問題，若采用生搬硬套固定的解題方法顯然是行不通的，因此，在日常的教學和學習中，要重視解題方法和解題技巧的積累與探究，這樣在綜合應用時才會根據所學知識，大膽地設想并靈活地實施解題方案.

總之，學生數學解題能力的培養并非一朝一夕的事情，需要教師細心的引導和學生長期的堅持，只有師生共同努力才能實現質的飛躍. 因此，在教學中，給學生足夠的時間和空間提出自己的想法，從而暴露學生的解題思維，引導學生在解題過程中關注“解此題應該如何做”“為什么這么做”，從而發揮學生的主體作用. 同時，也應充分地發揮教師的引領作用，若學生在解題過程中遇到思維障礙，教師的引導和梳理，可幫助學生走出思維誤區;若遇到新想法、新思路，教師及時鼓勵可以大大提升學生的學習信心. 相信通過師生的共同努力和堅持，學生解題能力一定會有所提升.