關于一道函數與不等式問題的多解探究

王麗玲

[摘? 要] 導數是研究函數與不等式問題的重要工具，也是高中數學的重點知識，在高考中備受命題人青睞. 通常函數與不等式、導數問題解析過程需要轉化問題，構造函數，利用導數知識來分析函數性質，問題的解法雖較為多樣，但導數始終是解此類題的關鍵知識. 文章圍繞一道函數與不等式問題，開展解法探究，多解思考，并立足教學，提出相應的建議.

[關鍵詞] 函數;導數;不等式;構造;分類討論

[?]問題探究

問題再現：（2021年八省聯考數學卷第22題）已知函數f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當x>-時，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

問題解析：上述是一道函數與不等式壓軸題，考查函數與不等式、導數的相關知識，問題所涉兩問均可歸為不等式成立問題，可利用導數來研究函數的性質. 常規思路是基于不等式構造函數，利用函數對應的導函數來研究其性質，逐步探究函數的值域，從而證明不等式或轉化不等式問題.

（1）x的取值范圍影響f（x），需要分別討論x在

-，-

，

-，0

和[0，+∞）三個區間內的情形，具體如下.

①當x∈

-，-

時，f（x）=ex-sin

x+

>0;

②當x∈

-，0

時，f′（x）=ex-cosx+sinx，f′（0）=0，f″（x）=ex+sinx+cosx=ex+sin

x+

>0，則函數f′（x）在

-，0

上單調遞增，則有f′（x）

-，0

上單調遞減，則f（x）>f（0）=0;

③當x=0時，由函數的解析式可得f（0）=1-0-1=0，當x∈[0，+∞）時，構造函數H（x）=-sinx+x（x≥0），則H′（x）=-cosx+1≥0，故函數H（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，從而有H（x）≥H（0）=0，即-sinx≥ -x，則函數f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1. 令y=ex-x-1，對其求導可得y′=ex-1，當x≥0時，y′≥0，故y=ex-x-1在區間[0，+∞）上單調遞增，所以函數的最小值y=e0-0-1=0，推理可得ex-x-1≥0，故函數f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0.

綜上可知，當x>-時，f（x）≥0.

（2）該問探究g（x）≥2+ax時a的取值，其中a為參數，可歸為含參不等式恒成立問題，參數a的取值將影響到不等式的成立，常見的方法是分離參數法.

①當x=0時，g（0）=2，顯然不等式g（x）≥2+ax時，有a∈R.

②當x>0時，g（x）≥2+ax等價于a≤，記F（x）=，對應導函數F′（x）=. 構造函數φ（x）=（x-1）ex+x（cosx-sinx）-sinx-cosx+2，對應導函數為φ′（x）=x（ex-sinx-cosx）. 由（1）問可知，x>0，ex-sinx-cosx>0，所以x>0時，φ′（x）>0，故函數φ（x）在區間上單調遞增，可推得φ（x）>φ（0）=0，則有F′（x）>0，所以函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增. x>0時，F（x）>F（x）=2，所以a≤2.

③當-π0，所以-πφ（0）=0，則有F′（x）>0，所以函數F（x）單調遞增. -π

④當x≤-π時，令h（x）=g（x）-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2，驗證可知a=2時，有ex+sinx+cosx-2x-2≥0-+π-2>0，符合條件.

綜上可知，a=2.

問題評析：上述考題屬于函數與不等式相結合的導數分析問題，兩問分別求證特定區間下不等式恒成立，不等式恒成立時參數的取值，問題解析需要利用導數的相關知識來研究不等式，上述解析時采用了如下解題技巧.

技巧1：構造新函數，利用導函數來研究函數的性質，求出最值，推導參數的取值范圍;

技巧2：分離參數或變量，將不等式問題中的變量置于不等號的一側，基于另一側構造函數，從而將不等式問題轉化為研究函數的值域;

技巧3：分類討論變量，對于其中的參數或變量采用分類討論的策略，將復合函數變為區間上的單調函數，降低解析難度.

[?]解法拓展

上述考題的第（2）問是核心之問，其解析難度也較大，上述解析時采用了分離參數的方法，實際上該問的解析方法眾多，還可以采用函數最值、切線不等式兩種方法來構建思路，下面具體探究解析過程.

拓展解法——函數最值

函數最值法，其核心是將不等式問題轉化為函數最值，故需要基于不等式構造新函數，然后解析函數在定義域上的取值. 該問題中需要對參數進行分段討論，論證函數的最值是否符合題意.

若g（x）≥2+ax，則g（x）-2-ax≥0，即ex+sinx+cosx-2-ax≥0，故可對不等式兩邊同乘e-x（e-x>0），整理可得e-x（sinx+cosx-ax-2）+1≥0，x∈R. 構造函數F（x）=e-x（sinx+cosx-ax-2）+1，x∈R，即探究F（x）≥0時a的取值即可. 求導函數F′（x）=e-x（-2sinx+ax+2-a），記φ（x）= -2sinx+ax+2-a，φ′（x）=-2cosx+a.

①當a>2，則φ′（x）>0，φ（x）單調遞增，因為φ（0）=2-a<0，φ（π）>0，所以存在x∈（0，π）使得φ（x）=0. 當x∈（0，x），φ（x）<0，即F′（x）<0，所以F（x）在（0，x）上單調遞減，F（x）

②當-20，φ′（0）=a-2<0，所以存在x∈（-π，0）使得φ′（x）=0. 當x∈（x，0），φ′（x）<0，故φ（x）在（x，0）上單調遞減，故有φ（x）>φ（0）=2-a>0，則當x∈（x，0）時，F′（x）>0，可知F（x）在（x，0）上單調遞增，所以x∈（x，0）時，F（x）

③當a≤-2，易知φ′（x）≤0，則φ（x）單調遞減，則當x<0時，φ（x）>φ（0）=2-a>0，可推知當x<0時，F′（x）>0，知F（x）在區間上單調遞增. 所以當x<0時，F（x）

④當a=2，可得φ′（x）=2-2cosx≥0，則φ（x）單調遞增. 因為φ（0）=0，所以x∈（-∞，0）時，φ（x）<0，即F′（x）<0，故F（x）在區間上單調遞減;x∈（0，+∞）時，φ（x）>0，即F′（x）>0，故F（x）在區間上單調遞增. 故可知F（x）≥F（0）=0滿足題意.

綜上可知，若g（x）≥2+ax，可知a=2.

評析：上述探究不等式參數問題時采用了函數最值法，解析過程有兩大細節需要關注：一是處理不等式時，對不等式的兩邊同除以ex，避免了ex對所構造函數的導函數正負值的干擾;二是解析過程充分把握特殊點的函數值，觀察到F（0）=0這一特殊情形.

[?]教學反思

函數與導數問題的綜合性極強，上述問題涉及了函數、導數、不等式等知識定理，以及構造、分類討論、化歸轉化等思想方法，重點考查了學生的知識綜合、邏輯推理能力. 深入探究不僅可以指導學生掌握函數與導數問題的解法策略，還可以拓展學生思維，提升學生素養，下面深入反思，提出幾點建議.

1. 盤點難點，牢實基礎

導數的知識定理是函數與不等式、導數問題解析的核心，而在探究學習時需要針對性地盤點導數應用的關鍵知識點，深刻理解導數知識. 如利用導數的幾何意義求切線方程，理解導數與切線方程的關系;利用導函數判斷函數單調性，關注其中“必要不充分”的實際意義;利用導數解析函數某點處的極值點，把握存在極值點的條件. 解題教學中要立足教材內容，不能脫離課本來探究解題方法，要將教材的定理定義、概念公式作為學習的重點，學“精”求“細”，幫助學生牢實基礎，熟練地應用知識定理解析綜合性問題.

2. 多解探究，方法總結

往往函數與導數、不等式問題的解法不唯一，上述以一道函數與不等式問題為例，呈現了四種解題方法，涉及了分離參變量、函數最值法、切線不等式、極值定義等，從不同的視角進行問題解析，按照不同方法構建了相應的解題思路. 開展多解探究可幫助學生深刻理解問題，把握問題的本質，同時可有效拓展學生的思維. 而在實際教學中不僅需要立足考題開展多解探究，還應注重問題總結、方法訓練，引導學生關注問題特征，圍繞考題進行解法分析，關注核心概念、思路構建、技巧解析，讓學生回歸解法本身，從根本上掌握解題方法.

3. 拓展思考，素養提升

開展解法探究，應注重解后分析、拓展思考，即依托考題探究來拓展解法，激活學生的創新思維. 函數與導數、不等式問題常作為壓軸題出現，在探究時要注重剖析數學的思維過程，講評中揭示思路的構建過程，挖掘其中的思路線索，讓學生的思維得到充分的歷練. 尤其是對于創新性極強的高考題，要引導學生分步探究，破除思維困局，給學生留足思考空間，讓學生思考新解法，探究新思路，通過不斷的解題探究讓學生“學”有所“思”，“思”有新“得”. 同時探究過程注重數學思想，方法技能的傳達，使學生的綜合素養同步提升.