低雷諾數下圓柱順流向和橫流向渦激振動響應分析

韋昱呈，魯 麗

（西南交通大學力學與工程學院，成都 610031）

引 言

在工程中廣泛存在由流體誘發的振動問題，如機翼的顫振、蒸汽發生器傳熱管的流致振動、海洋立管的渦激振動等。目前學術界內被認可的流致振動機理有：周期性漩渦脫落、流體彈性不穩定、聲共振以及湍流抖振［1］。在反應堆結構中，圓柱體結構為發生流致振動的主要部件，例如在橫流作用下的蒸汽發生器傳熱棒、燃料棒等。當流體介質以一定速度流經圓柱結構時，會在圓柱尾部兩側交替產生周期性渦脫落，從而使圓柱受到周期性變化的升力，誘發圓柱結構的振動；而圓柱結構的振動又會反作用于流體，改變流體的流動狀態，從而改變尾渦模態。這種流體與結構間由于周期性漩渦脫落產生的相互作用被稱為渦激振動［2］（Vortex-Induced Vibration，VIV）。

對于二維彈性支撐圓柱的實驗研究較多。Feng［3］最早在風洞試驗中觀察到圓柱結構的渦激振動現象。Williamson等［4-5］在一系列經典水洞實驗中發現，當質量阻尼參數（m*ζ）較大時，圓柱渦激振動響應存在兩個分支，即初始分支（initialbranch）和下端分支（lowerbranch）；當質量阻尼參數較小時，響應存在3 個分支，即初始分支、上端分支（upperbranch）以及下端分支；各響應分支間存在跳躍現象。呂振等［6］采用肋板蒙皮結構降低圓柱質量比并進行風洞試驗，得到了圓柱渦激振動的兩個響應分支。目前對圓柱渦激振動的數值模擬較主流的方法是將圓管等三維細長柔性結構簡化為一系列質點模型，利用靜力學等效方法獲得各質點的彈簧支撐參數，則每個質點可視為二維的質量-彈簧-阻尼結構，然后通過建立每個質點的二維渦激振動模型計算其渦激振動響應。該方法近似認為各個質點的渦激振動響應是橫流作用下三維細長柔性圓管的渦激振動響應［7-9］。

由于圓柱在順流方向的振動幅值遠小于其在橫流方向的振幅，因此在以往大多數研究中，都以圓柱在橫流方向上的振動為主，忽略了順流方向對橫流方向振動的影響［10-14］。Jauvtis 等［15］認為，當圓柱的質量比m*<6時，必須考慮順流向振動對圓柱渦激振動響應的影響。Martins 等［16］采用Williamson 的實驗參數對單自由度及兩自由度圓柱進行數值模擬，得出兩自由度圓柱最大橫向振幅為1.5D（單自由度為1.1D，其中D 為圓柱直徑）。黃智勇等［17］分別建立單自由度與兩自由度圓柱渦激振動數值模型，結果表明，當m*<3.5時，考慮了順流方向振動的渦激振動模型比單自由度渦激振動模型在橫流方向產生了更大的振幅。

基于實驗模型和數值模型，較多學者對高雷諾數下單圓柱的單自由度與兩自由度渦激振動展開研究，并取得了豐富的成果，而對低雷諾數下單圓柱的單自由度、兩自由度渦激振動對比研究較少?；诖?，本文采用CFD 商業軟件Fluent 求解器以及動網格技術，嵌套自編UDF 程序實現雙向流固耦合，分別建立單自由度及兩自由度二維彈性支撐剛性圓柱的渦激振動模型，對雷諾數Re=150時的圓柱渦激振動響應進行數值計算分析，并討論順流方向的振動對圓柱渦激振動響應的影響。

1 數值模型的建立

通過求解二維非定常納維-斯托克斯方程（N-S 方程）來獲取單圓柱渦激振動的流場流動狀態，不可壓縮流體的連續性方程可表示為：

不可壓縮粘性流體非定常流動的N-S 方程有如下形式：

其中，ρ 為不可壓縮流體密度，ui為在i 方向上的瞬時速度分量，p 為壓力，ν=μ/ρ 為運動粘度系數，uj為動力粘度系數，t、xi分別為時間、笛卡爾坐標系。

使用CFD 商業軟件Fluent 求解器求解流體控制方程，獲得流場流動狀態，在低雷諾數（Re=150）下進行數值模擬，采用Laminar 層流模型，采用的邊界條件為：流場左端為速度入口（Velocity-Inlet），右端為壓力出口（Pressure-Outlet），上下采用對稱邊界（Symmetry），圓柱表面采用無滑移壁面條件（No-SlipWall）。選取的計算流域大小為20D×40D，尾渦軌跡區域長度為30D，圓柱前端以及上下邊界距離圓柱均為10D，流體域模型如圖1所示。

圖1 單圓柱二維渦激振動流場模型

為確保網格質量，流體域網格全部采用結構化網格進行劃分。距離圓柱較遠區域的網格劃分采用指數形式分布，以減少整體網格數量，保證計算效率；在近壁面區域以及圓柱尾流區域對網格進行加密，靠近圓柱表面附近為邊界層網格（Y+<1），以確保計算精度要求，整個計算域的網格數量為11 548。流體域網格模型如圖2所示。

圖2 彈性支撐圓柱流場計算網格模型

二維彈性支撐剛性圓柱結構如圖3所示。

圖3 二維彈性支撐剛性圓柱結構

根據牛頓第二定律，二維彈性支撐剛性圓柱的運動控制方程可以表示為：

其中，m 為圓柱的質量，c為結構阻尼系數，k為結構剛度系數，FD，FL分別為圓柱受到的阻力以及升力。式（3）還可以表示為：

其中，ω0= k m 為圓柱的固有圓頻率系統阻尼比。

作用在圓柱上的阻力及升力可通過流場計算得到，阻力、升力與阻力系數CD、升力系數CL之間符合以下關系：

其中，U∞為流場來流速度，L 為圓柱的長度，對于二維平面，取圓柱長度為1 m；D為圓柱直徑。

使用Runge-Kutta 法對式（4）進行離散求解，采用C語言將離散后的結構運動方程寫入用戶自定義函數UDF（User-Defined Function）中。具體的雙向流固耦合算法實現步驟為：在一個時間步長內，先采用Fluent 求解器對流場進行求解，根據邊界條件獲取流場和二維圓柱表面的壓力、速度等信息，利用DEFINE宏提取作用在圓柱表面的阻力及升力；然后代入圓柱的結構運動方程中，通過求解二維圓柱的運動方程，得到當前時間步下圓柱運動的位移和速度；再利用動網格技術，使用當前時間步下圓柱的位移和速度對網格進行更新，然后進入下一個時間步的求解。具體耦合算法流程如圖4所示。

圖4 雙向流固耦合計算流程

2 響應計算及分析

2.1 固定圓柱繞流驗證

為確保流場模型計算的準確性，分別在雷諾數Re=100，150，200 情況下進行固定圓柱繞流計算，并將各雷諾數下計算得到的升力系數最大幅值CmaxL同文獻［18-19］進行對比，見表1。

表1 不同雷諾數下CmaxL 對比

斯特勞哈爾數St數（Strouhal number）表達式為：

通過對升力系數時程響應數據進行頻譜分析，得到尾流渦脫頻率fs，再通過式（6）計算不同雷諾數對應的斯托勞哈爾數，同文獻［18-19］進行對比，見表2。從表1與表2中可看出，本文使用的CFD 求解模型與前人的計算結果吻合良好，確保了流場計算模型的有效性。

表2 不同雷諾數下St數對比

2.2 單自由度的響應計算

選取的圓柱渦激振動計算參數為：質量比m*=5，阻尼比ζ =0.0056，圓柱直徑D=0.0554 m，來流速度U∞=0.5 m/s，雷諾數Re=150。無量綱約化速度為：

由式（7）可見，可通過改變圓柱固有頻率fn的大小來實現Ur的變化，Ur的取值范圍為2~10。

圖5 所示為不同約化速度下橫向無量綱位移y/D、升力系數以及阻力系數的響應時程曲線。從圖5 中位移比與升力系數之間的關系可以看出，當約化速度較小時，渦激振動位移與升力系數的相位基本相同；隨著約化速度的增加，位移與升力系數之間出現反相位。這種圓柱渦激振動位移與升力系數從同相位變為反相位的現象稱為“相位開關”。另外，從圖5 中升力系數與阻力系數之間的關系可以看出，升力系數的振動周期是阻力系數的兩倍，這是由于在圓柱尾部兩側形成周期性渦脫落時，每發生兩次渦脫落會使順流方向的阻力產生一個周期變化，而每發生四次渦脫落才會使橫流方向的升力產生一個周期變化。

圖5 單自由度橫向位移、升力系數、阻力系數時程曲線

圖6 所示為單自由度渦激振動響應計算結果。圖6（a）所示為圓柱渦激振動的橫向無量綱振幅Ay/D 隨約化速度Ur的變化曲線，從圖中可以看出，隨著Ur的變化，圓柱渦激振動橫向振幅呈現出3 個不同區域，即初始分支（2≤Ur≤4）、下端分支（4.5≤Ur≤8）以及非同步區域（8.5≤Ur≤10），且下端分支的振幅遠大于其余兩個區域，表明此時響應進入“鎖定”（Lock-In）區域。同時還可以觀察到，在下端分支上橫向振幅隨著Ur的增大而減小，該變化規律同文獻［20］中的變化規律一致。

圖6 單自由度渦激振動響應計算結果

圖6 （b）給出了不同約化速度Ur所對應的升、阻力系數均方根值，從圖中可以看出，在初始分支上隨著Ur的增加迅速增加到0.9 附近；進入同步區域后，迅速減小至0.07 附近并趨于穩定；退出鎖定區域后，跳躍至0.2 附近并隨著Ur的增加而緩慢增加。略有不同，在初始分支前端（Ur=2~3.5），穩定保持在一個較小的數值附近；在初始分支末端（Ur=4），突然增加，當Ur=4.5 時，即響應剛進入下端分支時，增加至0.5附近，隨后在鎖定區域內隨著Ur的增加逐漸減??；進入非同步區域后，趨于平穩。

2.3 兩自由度的響應計算

在響應求解程序中同時考慮順流方向和橫流方向的自由度，實現兩自由度圓柱渦激振動的響應計算。

單自由度與兩自由度圓柱渦激振動響應計算結果對比如圖7 所示。由圖7（a）可以看出，兩自由度渦激振動情況下橫向振幅同樣存在3 個區域，這個現象與單自由度一致，但是兩自由度情況下的下端分支振幅大于單自由度，這表明考慮順流向的振動后，橫向振幅有所增加。由圖7（b）可看出兩自由度情況下升力系數及阻力系數的變化規律與單自由度一致，升力系數在進入下端分支前隨Ur的增加而增加，進入下端分支后隨Ur的增加而減小直至趨于穩定，進入非同步區域后跳躍至一個較大的值后隨Ur的增加而緩慢增加；阻力系數在剛進入下端分支時增加至最大值，而后隨Ur的增加而減小，最終趨于穩定。圖7（c）所示為各個Ur對應的橫向振動頻率比fy/fn，從圖中可以看出，單自由度和兩自由度渦激振動響應的下端分支對應的頻率比在1 附近，表明此時振動頻率接近固有頻率，發生共振，響應進入鎖定區域；其余兩個區域的頻率比則保持在St=0.183 附近。圖7（d）給出了不同約化速度下橫向位移響應與升力系數間的相位角θ分布圖，從圖中可以看出，當響應處于初始分支時（2≤Ur≤4），橫向位移與升力同相位；進入下端分支后，相位角在Ur=5 與Ur=5.5 之間發生跳躍，隨著Ur的增加，相位角逐漸增加至165°；直至進入非同步區域（Ur=8.5~10）后，橫向響應與升力系數完全反相位，即相位角為180°。

圖7 單自由度與兩自由度圓柱渦激振動響應計算結果

圖8 所示為不同Ur下兩自由度圓柱渦激振動的運動軌跡。圖8（a）、圖8（c）、圖8（d）的約化速度分別位于初始分支、下端分支和非同步區域，從圖中可以看出，圓柱在3 個不同響應區域內的運動軌跡呈現出“8”字形，這表明渦激振動具有一定的自限性。由圖8（b）可看出，當Ur=4 時，圓柱的運動軌跡較紊亂。圖9 所示為Ur=4 時單自由度和兩自由度渦激振動各參數的響應時程曲線，圖中可見當Ur=4 時，單自由度與兩自由度的響應均呈現出“拍”現象。這表明當響應在即將離開初始分支進入下端分支時，圓柱的振動頻率與尾流渦脫頻率發生分離，圓柱在兩個不同頻率的相互作用下出現了拍振現象。

圖8 兩自由度渦激振動運動軌跡

圖9 Ur=4時響應的“拍”現象

3 結論

利用CFD 商業軟件Fluent 求解器，在定雷諾數（Re=150）下對單圓柱結構渦激振動進行數值模擬，并結合動網格技術以及UDF程序實現雙向流固耦合，通過直接改變結構運動控制方程中的圓柱固有頻率fn來模擬圓柱在不同約化速度下的渦激振動響應，得出結論如下：

（1）在較大的約化速度范圍（Ur=2~10）對圓柱進行單自由度和兩自由度流固耦合數值模擬，獲得圓柱在不同約化速度下的渦激振動特性，并捕捉到響應的“初始分支”及“下端分支”，觀察到“鎖定”、“相位開關”和“拍”等現象，鎖定區域對應的約化速度范圍為Ur=4.5~8.0。

（2）圓柱結構在考慮了順流方向上的振動后，會使橫流方向的振幅有所增加，且在鎖定區域內順流方向的振幅也會增大，因此不能忽略其對橫流方向振動造成的影響。

（3）圓柱渦激振動響應僅在即將離開初始分支進入下端分支時出現“拍”現象，其余各處圓柱渦激振動運動軌跡都呈穩定的“8”字形，表明圓柱渦激振動具有一定的自限性。