渦旋電磁波雷達成像分辨力研究

王建秋 劉 康 王 煜 王宏強

(國防科技大學電子科學學院 長沙 410073)

1 引言

雷達成像技術[1-3]不受氣候條件限制，在軍事和民用領域中得到了充分發展和應用。以合成孔徑雷達[4-6]為代表的雷達成像技術，結合帶寬信號與合成孔徑處理實現目標高分辨圖像。然而，距離-多普勒原理要求雷達工作在側視或者斜視模式，難以實現前視目標成像，存在固有的視野盲區。為延拓雷達成像視場范圍，以單脈沖成像技術[7]、陣列成像技術[8]、波束掃描-解卷積成像技術[9]為代表的前視成像方案得到廣泛關注，盡管分辨性能多數受限于實孔徑或超分辨算法，但相關研究極大促進了雷達前視成像技術的發展。

回波相位差異性是雷達成像的關鍵。傳統成像雷達通過雷達-目標間相對運動、波束掃描、陣列等方式在目標處形成差異性激勵相位，并結合回波特性提出成像方法，實現目標成像。然而，當對電磁波波前進行特殊調制，即電磁波不再以等相位波前形式與目標相互激勵，而是以特定差異性調制的波前與目標相互作用，同樣可以使得目標信息被差異性度量。因此，通過合理設計波前調制方式，有望使得回波調制上更為豐富的目標信息，實現前視成像。

近年來，波前調制雷達成像技術逐步發展，形成以微波關聯成像[10]為代表的隨機波前調制技術和以渦旋電磁波雷達成像[11]為代表的確定波前調制技術。前者通過構造時空不相關的探測信號形成隨機輻射場，而后者基于軌道角動量[12-15](Orbital Angular Momentum,OAM)，對電磁波相位波前進行調控，形成輻射場相位分布呈螺旋狀的渦旋電磁波。在渦旋電磁波照射下，目標方位角與OAM模式數間構成了傅里葉變換意義下的對偶變量，不依賴于雷達-目標間相對運動、波束掃描、陣列等傳統方式，形成了新的、獨立的方位相位項，有望實現前視目標超分辨成像。文獻[16]建立了渦旋電磁波雷達二維成像模型，提出了基于二維傅里葉變換的成像方法，實現了多發-多收和多發-單收模式下前視目標二維成像。針對不同模態波束指向不一致問題，文獻[17]提出了基于同心圓環陣列的渦旋電磁波雷達成像方法，通過設計不同圓環陣列半徑實現主瓣指向一致，大大提升了成像質量。面向更高分辨、更低OAM模態成像需求，文獻[18]和文獻[19]研究了基于多信號分類算法、基于旋轉不變技術的信號參數估計算法的超分辨成像，文獻[20]則建立了稀疏表征的渦旋電磁波雷達成像模型，研究了稀疏貝葉斯學習、增強稀疏貝葉斯學習、變分貝葉斯推理等重構方法，仿真和實測結果驗證了有效性。此外，文獻[21]還研究了雙模態復用成像方法，在相同OAM模態范圍照射下，該成像模式下能節省50%的照射積累時間，大大提高成像效率。

隨著渦旋電磁波雷達成像技術的發展，在渦旋電磁波產生與調控、輻射場優化與設計、渦旋電磁波雷達成像原理與模型、成像方法以及實驗驗證等方面取得一系列重要成果，驗證了渦旋電磁波雷達成像技術的可行性。面向實際應用，需進一步提升渦旋電磁波雷達前視成像分辨性能。一方面，當前各類成像超分辨算法的提出，相對集中地展現了超分辨成像方法在提升分辨性能方面的潛力。另一方面，從成像體制角度，系統分析分辨力影響因素，進行雷達參數設計，有望提升渦旋電磁波雷達方位基本分辨力。本文將重點對方位成像基本分辨力展開研究，為面向分辨性能提升的渦旋電磁波雷達參數設計與優化提供參考。

2 渦旋電磁波雷達成像原理

基于圓形陣列天線(Uniform Circular Antenna,UCA)產生攜帶不同OAM模態的渦旋電磁波，如圖1(a)所示，N天線陣元均勻分布于半徑為a的圓周上，相鄰兩陣元之間調制相位差為Δφ=2πl/N,l為OAM模式數。每個陣元發射帶寬為B、調頻率為K的線性調頻信號，附有確定相位調制量?n=2π(n-1)/N,n=1,2,...,N。單個接收天線位于坐標原點，則空間任意位置P(r,θ,φ)處目標散射回波為[16,22]

其中，t為快時間變量，T為脈沖持續周期，fc為信號中心頻率，k為波數。M為目標散射點個數，τm為目標時延，Jl(·)為l階第1類Bessel函數。

與傳統電磁波等相位波前激勵相比，不同模態渦旋波照射，使得回波中蘊含的目標信息不盡相同，主要體現在附加項Jl(kasinθ)·ejlφm中。發射帶寬信號頻率與目標斜距間對偶關系為距離向分辨提供了有效支撐，而OAM模式數與目標方位間對偶關系則為方位向提供了分辨基礎，因此通過發射攜帶不同軌道角動量模態、具有一定帶寬的渦旋電磁波，可實現雷達目標前視二維成像，成像處理流程如圖1(b)所示。

圖1 渦旋電磁波雷達成像示意圖Fig.1 Diagram of the vortex electromagnetic radar imaging

3 渦旋電磁波雷達成像分辨力分析

基于渦旋電磁波雷達成像原理，理論上遍歷大OAM模態范圍照射，能實現更佳的分辨效果。然而，由于渦旋電磁波獨特的物理屬性，其不可避免地存波束中空，也存在隨OAM模式數變化的幅度項Jl(kasinθ)，顯然，第1類貝塞爾函數窗的幅度加權將直接影響目標方位分辨性能。因此，本節將從考慮貝塞爾幅度項與否兩個角度入手，分別分析渦旋電磁波雷達方位成像分辨力。

3.1 忽略貝塞爾幅度項的渦旋電磁波雷達方位分辨性能分析

本文所述雷達工作在多發-單收方式。約定軌道角動量變量l對應OAM時域，其進行傅里葉變換得到的頻域變量fl對應OAM頻域。在同等配置情況下，實孔徑成像雷達的方位空間分辨率ρrel由天線孔徑D=2a、工作波長λ以及雷達-目標間距離RT決定[18,22]。

對于渦旋電磁波雷達，根據式(1)所推導的回波模型，不考慮貝塞爾幅度項、僅考慮包含目標方位角信息的相位項exp(jlφ)時，雷達極坐標系下的目標方位角φ與OAM模式數l之間構成傅里葉變換意義下的對偶變量，且OAM變量l與 快時間變量t之間不存在耦合關系，可直接在OAM域中進行傅里葉變換實現目標方位成像，對應擴展函數表示為

其中，lmax=-lmin為最大OAM模式數。目標方位角分辨率ρφ可由擴展函數第一零點位置表征。此外，根據空間幾何關系，定義渦旋電磁波雷達空間方位分辨率為ρvor，超實孔徑雷達分辨率為γ，則有

由于UCA產生的非0模態渦旋波束寬度不為λ/D，故定義渦旋電磁波雷達波長孔徑比(Ratio of Wavelength to Aperture,RWA)為?=λ/D。得知，空間分辨率與目標距離、成像俯仰角以及OAM模態范圍有關；超實孔徑雷達分辨性能則與波長孔徑比、OAM模態范圍、成像俯仰角有關。圖2(a)、圖2(c)、圖2(e)分別仿真了空間分辨率隨成像距離、成像俯仰角以及OAM模態范圍的變化曲線，可見，成像距離越近、成像仰角越小、OAM模態范圍越大，空間方位分辨率越高。圖2(b)、圖2(d)、圖2(f)則給出了超實孔徑雷達分辨率關于波長孔徑比、成像俯仰角以及OAM模態范圍變化的曲線，可見，波長孔徑比越大、OAM模態范圍越大、成像俯仰角越小，超實孔徑雷達分辨性能越好。從物理機制角度看，一方面，忽略貝塞爾幅度項影響時，渦旋電磁波雷達不受波束能量中空、不同OAM模態波束指向不一致影響，波束內目標能被不同OAM模態渦旋電磁波的差異性輻射場有效度量；另一方面，盡管實際中不同OAM模態回波的信噪比性能表現不一致，若雷達系統具有足夠高的靈敏度，仍然能提取出目標相位差異性信息。渦旋電磁波具有理論無限正交本征態，且隨著遍歷照射的OAM模態范圍越大，成像俯仰角越小，與目標相互激勵的輻射場螺旋相位變化越劇烈，更多軌道角動量模態將調制上目標方位角信息，相當于在由無限正交OAM本征態張成的一個無窮維Hilbert觀測空間中，不斷延拓目標方位角信息在軌道角動量這一觀測域中的被觀測長度，理論上分辨性能可無限提升。

圖2 理想情況渦旋電磁波雷達方位空間分辨率以及超實孔徑雷達分辨率曲線Fig.2 Ideally spatial-resolution and the super resolution as a function of different influence factors

3.2 考慮貝塞爾幅度項的渦旋電磁波雷達方位分辨性能分析

忽略貝塞爾幅度項的影響，通過參數設計，渦旋電磁波雷達成像能實現良好的空間分辨率以及超實孔徑雷達分辨效果。然而，實際回波受到貝塞爾幅度項Jl(kasinθ)調制，其特殊數學性質表現出的幅度加權形式，將對方位分辨性能產生影響。

3.2.1 貝塞爾幅度項相位補償

貝塞爾幅度項Jl(kasinθ)=Jl(π sinθ/?)，是關于OAM模式數的函數。如圖3(a)所示，一方面，貝塞爾幅度項絕對值會隨著OAM模式數的變化而變化，表現為OAM時域回波的幅度加權窗；另一方面，貝塞爾幅度項符號也會隨著OAM模式數的變化而發生改變。當貝塞爾項呈現負值時，將會在OAM時域引入一個相位干擾項exp(jπ)，導致點目標方位擴展函數如圖3(b)中藍色曲線所示，不具有類sinc函數包絡形狀，無法實現方位聚焦成像。圖中仿真參數設置為：圓環陣列半徑a=0.2149 m、中心頻率fc=10 GHz、成像俯仰角θT=30°、OAM模態范圍l∈[-20,20]。文獻[22]針對這一問題中提出了相位補償方法：

圖3 貝塞爾相位補償及對應的點擴展函數圖Fig.3 Bessel term compensation and the corresponding point spread function of azimuth

通過在OAM時域乘以相位補償因子式(5)，補償后點目標方位擴展函數為

經相位補償，結果如圖3(a)，圖3(b)中紅色實線所示，可以發現，貝塞爾幅度項關于OAM時域包絡整體呈現正值，類sinc函數包絡表明能實現目標聚焦成像。

3.2.2 貝塞爾幅度項影響有效OAM模態范圍

考察渦旋電磁波雷達方位向成像過程，在OAM時域回波中表現為幅度加權窗函數wl(θ,?)=|Jl(π sinθ/?)|與相位項ejlφT的乘積形式，根據傅里葉變換性質，轉換到OAM頻域中，則可以表示為F[wl(θ,?)]與F[exp(jlφT)]的卷積形式：

其中，F[·]為傅里葉變換符號，?為卷積符號。F[exp(jlφT)]=δ(fl-φT/2π)為關于目標方位的沖激函數，F[wl(θ,?)]則為方位成像包絡。

由3.1節分析可知，不考慮貝塞爾幅度項，等效于對OAM時域回波幅度進行了矩形窗rect(l,Δl)加權，發射端遍歷的OAM模態范圍越大，等效的OAM時域矩形窗越寬，對應得到的方位分辨性能越好。然而，在貝塞爾幅度加權窗wl(θ,?)影響下，高階模態回波能量不斷減弱，使得發射端遍歷不同OAM模態得到的回波成分對成像分辨力貢獻不同，進而導致方位分辨性能不再由實際發射OAM模態范圍 Δl決定，而是由實際有效OAM模態范圍Δleffective決定。

由于貝塞爾幅度窗wl(θ,?)是關于成像俯仰角θ和波長孔徑比?的函數，故不同的參數設計與選取，將使wl(θ,?)表現出不同的加權窗形式，進而影響有效OAM模態范圍Δleffective以及分辨性能。圖4(a)給出了小成像俯仰角場景/小波長孔徑比情況下貝塞爾幅度項-OAM模式數的變化曲線，成像方位剖面如圖4(b)所示，可以發現，當OAM照射模態由lmax=2增加到lmax=4時，剖面圖明顯變“窄”，而當OAM模態由lmax=4增加到lmax=5，甚至lmax=40時，得到方位剖面幾乎重合，意味著固定天線波長孔徑比、成像俯仰角參數時，增加OAM模態范圍照射并不能持續提升方位分辨性能，只有增大有效OAM模態照射才能提升方位分辨性能。這一點可以從圖4(a)中得到驗證，綠色點劃線為實際有效OAM模態窗，當OAM模態超出有效窗范圍，OAM回波幅值急劇衰減，逐漸趨向于零。

圖4(c)和圖4(d)進一步仿真了大成像俯仰角下貝塞爾項-OAM模式數曲線和方位剖面圖，與圖4(a)和圖4(b)相比，有效OAM模式數范圍更寬，方位剖面更“窄”。本質原因是在相同UCA波長、孔徑參數下，隨著OAM模式數的增大，渦旋電磁波束指向角越大，導致小成像俯仰角處目標僅能被少數OAM模態照射，而大俯仰角處目標能被更多OAM模態照射。圖4(e)和圖4(f)則分析了大波長孔徑比條件下的貝塞爾項-OAM模式數曲線和方位剖面圖，與圖4(a)和圖4(b)相比，有效OAM模式數范圍更窄，方位剖面更“寬”。原因在于相同成像俯仰角下，波長孔徑比越大的UCA產生相同OAM模態渦旋電磁波指向越大，導致目標僅能被少數OAM模態照射，有效OAM模態減少，分辨率降低。

圖4 不同參數下貝塞爾幅度窗及方位剖面圖Fig.4 Bessel windows and azimuth profiles with different parameters

波長孔徑比越小、成像俯仰角越大，有效OAM模態范圍越大，實現的方位角分辨性能越佳。然而，渦旋電磁波雷達方位空間分辨率是由方位角分辨和成像幾何關系共同決定的，因此，需要結合有效OAM模態范圍和成像幾何關系，分析空間分辨性能及超實孔徑雷達分辨性能。

3.2.3 有效OAM模態范圍計算與分辨性能分析

上節提出渦旋電磁波雷達方位分辨性能由有效照射OAM模態范圍決定。本節首先給出有效OAM模態范圍的計算方法，然后基于有效OAM模態理論分析渦旋電磁波雷達方位空間分辨性能以及超實孔徑雷達分辨性能。

貝塞爾幅度窗wl(θ,?)是關于OAM模式數、成像俯仰角以及波長孔徑比的函數，沒有數學解析式，難以直接得到方位擴展函數。因此，本文提出了一種基于數值計算的有效OAM模態范圍確定方法，計算流程如圖5所示，首先，根據發射信號中心頻率、UCA孔徑以及成像俯仰角等參數，借助數值計算軟件仿真得到該輸入參數下的方位剖面圖，以(Impulse Response Width,IRW)指標衡量方位角分辨率，計算對應剖面圖IRW值；然后，通過遍歷不同OAM模態范圍照射，得到方位IRW值-不同OAM模態范圍的曲線；最后，根據上節中理論分析易知，隨著OAM模式數的增大，方位分辨性能不斷提升，當最大發射OAM模式數增加到lthreshold時，此后再繼續增加發射OAM模式數，方位分辨性能不再提升，而該臨界值lthreshold則對應有效OAM模態范圍Δleffective=2lthreshold。

圖5 有效OAM模態范圍計算流程Fig.5 The flowchart of the effective OAM modes scope calculation

因此，在貝塞爾幅度項影響下，方位分辨性能不再由發射端遍歷的OAM模態范圍決定，而是由實際有效OAM模態范圍決定，修正后方位分辨率、空間分辨率以及超實孔徑雷達分辨率可以表示為

其中，κ,δ為固定常數系數。

圖6(a)展示的是成像俯仰為 7°、不同波長孔徑比下的方位IRW-最大發射OAM模態曲線，根據有效OAM模態范圍計算方法，得到不同波長孔徑參數下的有效OAM模態范圍Δleffective分別為20,28和92。結果與理論分析一致：隨著波長孔徑比增大，有效OAM模態范圍不斷縮小。圖6(b)則表明隨著波長孔徑比增大，方位空間分辨率不斷下降；固定波長孔徑比，改變成像俯仰角，得到方位IRW-最大發射OAM模態曲線如圖6(c)所示，空間分辨率-最大發射OAM模態曲線如圖6(d)所示，可以發現，隨著成像俯仰角的增大，方位角分辨率得到提升，但空間分辨率卻不斷下降，其原因在于大俯仰角對空間分辨率的惡化程度強于方位角分辨率對空間分辨率的提升程度。

圖6 方位分辨率及空間分辨率曲線Fig.6 Curves of azimuth resolution and spatial resolution

超實孔徑雷達分辨率隨波長孔徑比和成像俯仰角的變化曲線如圖7(a)和圖7(c)所示，圖7(b)和圖7(d)則進一步仿真了超實孔徑雷達分辨率/最大有效OAM模式數關于波長孔徑比和成像俯仰角的曲線。比較圖7(a)和圖7(b)可以看出，隨著波長孔徑比的增大，方位超實孔徑雷達分辨性能不斷提升，對應的有效OAM模態范圍呈下降趨勢。比較圖7(c)和圖7(d)可以發現，隨著成像俯仰角的增大，方位超實孔徑雷達分辨性能呈下降趨勢，而有效OAM模態范圍呈現擴大趨勢，意味著方位角分辨率對超實孔徑雷達分辨性能的提升效果弱于成像俯仰幾何關系對超實孔徑雷達分辨性能的影響。

圖7 方位超實孔徑雷達分辨率曲線Fig.7 Curves of azimuth super real aperture radar resolution

此外，由于貝塞爾幅度項為三元函數，且沒有解析表達式，難以直接推導其OAM頻域變換結果，得到有效OAM模態范圍。因此，本文從數據擬合角度，得到有效OAM模態范圍與超實孔徑雷達分辨率的一組近似表達式。仿真參數設置為：波長孔徑比?∈[0.018,0.36]，成像俯仰角θ∈[1°,40°]，遍歷不同OAM模態范圍lmax∈[1,100]。基于本文所提方法，得到有效OAM模態范圍隨波長孔徑比、成像俯仰角的變化結果，如圖8(a)中計算結果曲面所示。通過數據分析發現，計算得到的有效OAM模態范圍Δleffective與成像俯仰角θ、波長孔徑比倒數?-1都近似成正比，式(9)為有效OAM模態范圍函數的近似表達式，擬合結果如圖8(a)中粉色曲面所示。圖8(b)則給出了有效OAM模態范圍計算結果與擬合結果間誤差曲面，可以發現整體擬合效果較好，僅在?∈[0.017,0.03]很小區域內的擬合誤差偏大。

同樣地，基于本文所提方法，得到超實孔徑雷達分辨率隨波長孔徑比、成像俯仰角的變化結果，如圖8(c)中計算結果曲面所示。進一步結合式(8)、式(9)，擬合得到超實孔徑雷達分辨率表達式為

圖8 有效OAM模態范圍與超實孔徑雷達分辨率函數擬合Fig.8 Effective OAM modes scope and super real aperture radar resolution function fitting

綜上，隨著波長孔徑比的增加，渦旋電磁波雷達方位角分辨性能不斷下降，空間分辨性能不斷下降，而超實孔徑雷達分辨性能不斷提升；隨著成像俯仰角的增加，方位角分辨性能不斷提升，空間分辨性能不斷下降，超實孔徑雷達分辨性能也不斷下降；而隨著OAM模式數的增大，方位角分辨、空間分辨和超分性能都表現為先不斷提升，當達到有效OAM模態范圍后，性能趨于穩定。因此，改變波長孔徑比、成像俯仰角參數不能同時提升方位角分辨率、空間分辨率和超實孔徑雷達分辨率。需在不改變波長孔徑比、成像俯仰角前提下，提升有效OAM模態范圍，如采用AR超分辨譜估計、稀疏超分辨重構等方法實現有效OAM模態范圍延拓，實現3個性能同時提升。

4 結論

本文分別從考慮與不考慮貝塞爾項的渦旋電磁波雷達成像模型出發，基于點目標擴展函數，對方位成像分辨力展開研究。不考慮貝塞爾幅度項時，理論上，增大OAM模態照射范圍，方位分辨性能可無限提升。考慮貝塞爾幅度項影響，首先，分析了方位成像過程，揭示了方位分辨性能受貝塞爾幅度窗影響，由有效OAM模態范圍決定的現象：有效OAM模態范圍越大，方位分辨性能越好。其次，提出了一種有效OAM模態范圍計算方法，得到修正后的方位角分辨率、空間分辨率以及超實孔徑雷達分辨率表達式。最后，通過仿真實驗對方位分辨性能影響因素展開分析，揭示了其變化規律：隨著波長孔徑比的增加，方位角分辨率不斷下降，方位空間分辨率不斷下降，而超實孔徑雷達分辨率不斷提升；隨著成像俯仰角的增加，渦旋電磁波雷達方位角分辨率不斷提升，方位空間分辨率不斷下降，而超實孔徑雷達分辨率不斷下降。面向實際應用，未來研究工作應重點關注渦旋電磁波雷達成像體制設計與超分辨成像方法，在不改變波長孔徑比、成像俯仰角參數前提下，研究貝塞爾幅度項補償方法，增大有效OAM模態范圍，實現渦旋電磁波雷達方位角分辨率、方位空間分辨率以及超實孔徑雷達分辨率的大幅、同時提升。此外，更為精準的有效OAM模態范圍及超實孔徑雷達成像分辨率函數關系擬合，將為渦旋電磁波雷達系統設計與優化提供重要支撐。