含雙驅(qū)動五桿回路的弱耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

朱小蓉 李世杰 周宇東 沈惠平

(常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 常州 213164)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于剛度大、承載能力強(qiáng)、精度高、自重負(fù)荷比小以及結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)勢，可應(yīng)用于裝配、虛擬軸機(jī)床、飛行模擬器和醫(yī)用機(jī)器人等領(lǐng)域，但并聯(lián)機(jī)構(gòu)也存在工作空間小、耦合性強(qiáng)、軌跡規(guī)劃和控制復(fù)雜等缺點(diǎn)。隨著對并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型研究的深入和工程實(shí)際應(yīng)用的需要，具有高性能的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計越來越受到重視。近年來，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈結(jié)構(gòu)中引入閉合回路，或者以閉合回路為基礎(chǔ)進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計，已成為提升并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的有效手段之一[1-11]。

目前，在支鏈中引入閉合回路的研究主要包括：①引入單自由度平行四邊形回路，增加機(jī)構(gòu)的剛度和承載力。如Delta機(jī)構(gòu)[1]、H4[2]、I4[3]、Par4[4]、X4[5]等并聯(lián)機(jī)構(gòu)，每條支鏈中都含有一個平行四邊形鉸鏈；劉辛軍[6]提出一種含3個平行四邊形回路的6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，研究表明機(jī)構(gòu)的剛度和靈巧度有明顯提高。②引入多自由度的閉合回路形成冗余驅(qū)動，提升機(jī)構(gòu)的剛度性能和承載性能。文獻(xiàn)[7-10]提出了將2自由度的平面五桿閉環(huán)結(jié)構(gòu)引入支鏈構(gòu)成冗余機(jī)構(gòu)，該方法與直接引入冗余支鏈作用于動平臺相比，不僅具有更好的結(jié)構(gòu)緊湊性和力學(xué)性能，而且增加了線速度和角速度的靈巧性[10]。③利用閉合回路的變尺度特性、奇異特性構(gòu)成可重構(gòu)機(jī)構(gòu)。YE等[11]根據(jù)閉合回路驅(qū)動單元特性綜合出一類可適時切換不同操作模式的可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

在理論研究方面，沈惠平等[12]提出了一種基于混合單開鏈的弱耦合并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的設(shè)計方法；陳宇航等[13]基于廣義螺旋推導(dǎo)出含子閉環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)的通用計算公式，并對所提出的含PRRR子閉環(huán)的6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了驗(yàn)證；楊靜遠(yuǎn)等[14]對含球面四桿閉環(huán)的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合；賀利樂等[15]研究了基于5R和RPRPR閉環(huán)結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合，得出9種空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有含閉合回路的并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，平行四邊形4R是最常見的閉合回路。機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的研究，大多數(shù)基于支鏈數(shù)等于機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目的設(shè)定，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單支鏈(記為SOC)的設(shè)計，再通過運(yùn)動副等效替換法設(shè)計含閉環(huán)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜支鏈(記為HSOC)，使得現(xiàn)有的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，特別是含閉合回路的4～6自由度機(jī)構(gòu)，支鏈多、容易干涉，工作空間小，特別是轉(zhuǎn)動能力弱；同時，由于支鏈間耦合性強(qiáng)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解難、受力復(fù)雜、可控性差，制約著機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用。

實(shí)際上，多自由度閉合回路的自由度數(shù)目大于等于2，當(dāng)作為多驅(qū)動單元構(gòu)成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈時，可以減少組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈數(shù)目，使得動平臺上的運(yùn)動副數(shù)目減少，降低支鏈與平臺間的干涉，使得機(jī)構(gòu)工作空間增加；另一方面，多自由度閉合回路自身的耦合度較低(如平面五桿回路耦合度為0)，且隨著機(jī)構(gòu)支鏈數(shù)目的減少，支鏈之間耦合程度也會降低,有利于改善機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)性能[16-17]。

綜上，含多驅(qū)動回路單元的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的應(yīng)用前景，需要對這類機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計、運(yùn)動學(xué)及其動力學(xué)問題進(jìn)行系統(tǒng)、深入的研究。但現(xiàn)有大部分學(xué)者的研究對象是針對個別支鏈含回路的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，目前為止支鏈含回路的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)量有限，特別是4～6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型；而針對支鏈含多驅(qū)動回路的并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合與分析一般方法的研究則更少。

本文根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristic, POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計理論與方法(簡稱POC方法)[18-19]，以含多驅(qū)動回路的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合為例，提出其構(gòu)型綜合的一般方法；基于所提出的綜合方法，綜合出含多驅(qū)動回路的3T1R、3T2R和3T3R新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析新機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

1 基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法

基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法詳見文獻(xiàn)[18]，為節(jié)約篇幅，這里僅給出部分內(nèi)容。

1.1 串聯(lián)機(jī)構(gòu)POC方程

串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的POC方程為

(1)

式中Ms——串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的POC

MJi——第i個運(yùn)動副的POC

k——子SOC數(shù)目

m——串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動副數(shù)

Msub-socj——第j個閉合回路的POC

1.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)POC方程

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動平臺、定平臺和兩者之間的n條支鏈(SOC)組成，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的POC方程為各支鏈末端構(gòu)件POC之交集，即

(2)

式中Mpa——并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的POC

Msj——串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的POC

由式(2)可知，動平臺POC集是其組成支鏈POC的子集，即

Msj?Mpa(j=1,2,…,n)

(3)

1.3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度

并聯(lián)機(jī)構(gòu)全周自由度計算式為

(4)

(5)

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個運(yùn)動副的自由度

ν——機(jī)構(gòu)獨(dú)立回路數(shù)

Msi——第i條支鏈末端構(gòu)件的POC集

1.4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度κ

由基于序單開鏈(Single open chain, SOC)的機(jī)構(gòu)組成原理[18]可知，任一機(jī)構(gòu)可分解為約束度為正、零、負(fù)的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(6)

式中mj——第j個SOC的運(yùn)動副數(shù)

Ij——第j個SOC的驅(qū)動副數(shù)

進(jìn)一步，一組有序的ν個SOC可組成一個零自由度的獨(dú)立回路數(shù)為ν的基本運(yùn)動鏈(Basic kinematics chain, BKC)，對一個BKC而言，須滿足

(7)

因此，BKC耦合度為

(8)

2 多驅(qū)動閉合回路及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征

廣義地講，能產(chǎn)生期望POC的回路結(jié)構(gòu)(并聯(lián)或串并聯(lián)，包括某些自由度F為1～5的并聯(lián)機(jī)構(gòu)本身)，再串聯(lián)若干運(yùn)動副，皆可作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈。為使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，本文僅考慮單回路的雙驅(qū)動閉合回路。另，考慮到六桿及以上閉合回路機(jī)構(gòu)的桿件較多，若將其作為驅(qū)動單元會使機(jī)構(gòu)整體剛度降低、運(yùn)動學(xué)求解困難。因此，本文以五桿回路機(jī)構(gòu)作為驅(qū)動單元進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合。同時，驅(qū)動元件布局在定平臺或靠近定平臺，且移動副為主驅(qū)動關(guān)節(jié)。

圖1給出了7種雙驅(qū)動五桿回路。根據(jù)回路末端輸出自由度的屬性可分為2類：

根據(jù)式(6)可得回路約束度為

因此，該回路機(jī)構(gòu)耦合度為

κ(3S2P)=Δ(3S2P)=0

同樣的方法，可計算得到其余6種平面五桿回路機(jī)構(gòu)的耦合度為

因此，本文所提7種雙驅(qū)動五桿回路機(jī)構(gòu)的耦合度均為0，是運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析可獨(dú)立求解的最小單元。

3 含雙驅(qū)動五桿回路支鏈綜合

含多驅(qū)動回路的支鏈，是在多驅(qū)動回路的輸出運(yùn)動副或輸出構(gòu)件上串聯(lián)一開鏈結(jié)構(gòu)(由一個或多個構(gòu)件與運(yùn)動副串接而成)，記為HSOC，結(jié)構(gòu)如圖2所示。因此，含多驅(qū)動回路的支鏈的綜合，首先選擇回路結(jié)構(gòu)，使其輸出運(yùn)動副或輸出構(gòu)件產(chǎn)生一部分運(yùn)動輸出元素(少于或等于支鏈期望POC)，然后再構(gòu)造剩余的開鏈結(jié)構(gòu)。

以3T2R支鏈為例說明含五桿回路支鏈的設(shè)計步驟。

步驟1：列出需設(shè)計支鏈的POC集，即

(9)

步驟2：構(gòu)造支鏈的回路部分。分別選取圖1中兩類回路機(jī)構(gòu)，可產(chǎn)生Mb中的一部分移動量及轉(zhuǎn)動量，分別記為

步驟3：構(gòu)造剩余的開鏈結(jié)構(gòu)。根據(jù)式(9)中的Mb，在步驟2構(gòu)造的回路結(jié)構(gòu)的輸出構(gòu)件上，構(gòu)造由3個轉(zhuǎn)動副(如圖3a中R6、R7、R8)，或2個轉(zhuǎn)動副(如圖3b的R6、R7)組成的開鏈結(jié)構(gòu)，使之能補(bǔ)齊Mb中尚未實(shí)現(xiàn)的其余移動輸出及轉(zhuǎn)動輸出，從而完成支鏈整個結(jié)構(gòu)的構(gòu)造。當(dāng)然，圖3a中的平面五桿機(jī)構(gòu)可以由圖1b～1f所示的5種平面五桿回路替換。

采用同樣的方法，可構(gòu)造出含雙驅(qū)動回路的3T3R支鏈，如圖4所示。同樣，圖4a中的平面五桿回路可以由圖1b～1f的5種回路替換。表1列出了圖3和圖4所示復(fù)雜支鏈(HSOC)的拓?fù)浣M成，同時給出了常見的不含回路的簡單支鏈(SOC)，以便后續(xù)型綜合時直接引用。

表1 支鏈結(jié)構(gòu)Tab.1 Structure of chains

步驟4：支鏈擴(kuò)展。在開鏈POC集不變的條件下，借助運(yùn)動副合并生成多自由度的運(yùn)動副，以及改變運(yùn)動副軸線之間的幾何關(guān)系等，可擴(kuò)展支鏈的結(jié)構(gòu)類型。例如，圖3a支鏈中正交的R6、R7轉(zhuǎn)動副可用U副替換；圖4a支鏈中R6、S7位置對調(diào)，或者采用兩個U副替換，可分別生成圖4c、4d所示支鏈。

4 含雙驅(qū)動回路并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計

4.1 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計

依據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法[18]，本節(jié)給出含雙驅(qū)動回路的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合過程。

設(shè)計要求為：設(shè)計4自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且至少有1條支鏈含雙驅(qū)動回路。

步驟3：支鏈的結(jié)構(gòu)綜合。表1給出了含回路和不含回路的典型支鏈，為便于區(qū)分，分別用HSOC和SOC表示。

步驟4：確定HSOC和SOC支鏈組合方案。表2給出了機(jī)構(gòu)自由度F、支鏈總數(shù)目n以及含回路支鏈數(shù)目nHSOC與不含回路支鏈數(shù)目nSOC之間的配置關(guān)系。

表2 機(jī)構(gòu)F、n、nHSOC、nSOC之間的關(guān)系

根據(jù)表2配置方案，3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈數(shù)目n可取2或3。當(dāng)n=2時，nHSOC=2且nSOC=0，組成機(jī)構(gòu)的兩支鏈均為復(fù)雜支鏈；當(dāng)n=3時，nHSOC=1且nSOC=2，組成機(jī)構(gòu)的支鏈既有復(fù)雜支鏈，也有簡單支鏈。

對表1列出的6種HSOC及5種SOC進(jìn)行組合，可以生成滿足預(yù)定POC集與自由度要求的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。考慮結(jié)構(gòu)及對稱性，本文給出3種3支鏈和2種2支鏈的組合方案，機(jī)構(gòu)支鏈組成如表3所示。

步驟5：支鏈裝配條件的確定。根據(jù)式(2)，為實(shí)現(xiàn)動平臺輸出為3T1R，各條支鏈POC集交運(yùn)算后需約束掉其余兩個方向的轉(zhuǎn)動元素。以表3中序號1的支鏈組合方案為例，確定支鏈在兩平臺裝配的幾何條件。

(1) 已知機(jī)構(gòu)由1條HSOC支鏈和2條SOC支鏈構(gòu)成

1-HSOC：{-(P(3R2P ),P(3R2P))⊥R17‖R18-}

2-SOC：{-Pi1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-} (i=2,3)

表3 3T1R機(jī)構(gòu)的支鏈組合方案Tab.3 Combination of 3T1R parallel mechanisms

(2)在動平臺上任意選取點(diǎn)O′為基點(diǎn)。

(3)確定支鏈的POC集。

(4)建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集。將預(yù)定的機(jī)構(gòu)動平臺POC集和支鏈POC集，代入式(2)，得到

式中，?表示上式左端是所有支鏈POC集“交”運(yùn)算的預(yù)定目標(biāo)。

當(dāng)R16‖R23且R18‖R25時，動平臺只存在繞R18軸線方向的轉(zhuǎn)動和三維移動。按此裝配幾何條件得到的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖5a所示。

類似地，對表3的其他幾種支鏈組合方案，仿照以上步驟，可得到其余3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡圖分別如圖5b～5d所示。

步驟6：選定機(jī)構(gòu)驅(qū)動副。

對于自由度為F的機(jī)構(gòu)，在判定其驅(qū)動副時，可將預(yù)定的F個運(yùn)動副鎖死，此時得到的新機(jī)構(gòu)的自由度若為0，則該F個運(yùn)動副可同時作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動副，否則，該F個運(yùn)動副不能同時作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動副[18]。

以圖5a為例，判定該機(jī)構(gòu)定平臺上的4個P副是否可為驅(qū)動副。

將定平臺4個P副(P11、P15、P21、P31)鎖死，得到新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其第1條支鏈自由度為3，拓?fù)浣M成為HSOC{-(R16⊥R17‖R18)-}；第2、3條支鏈為{-Ri2‖Ri3-Ri4‖Ri5-}(i=2,3)，自由度為4。

新機(jī)構(gòu)3條支鏈的POC集分別為

確定第1個獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

由第1、2支鏈構(gòu)成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為

且子并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的POC集為

計算第2個獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

機(jī)構(gòu)自由度為

由于新機(jī)構(gòu)自由度為0，則定平臺上4個P副可同時作為驅(qū)動副。

類似地，可用同樣方法判定圖5所示其余4種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動副。結(jié)果表明，圖5b、5d、5e所示機(jī)構(gòu)的移動副均可作為主驅(qū)動；圖5c基座上R21、R31以及移動副P12和P14可作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動副。

4.2 3T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計

3T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺期望的自由度F=5和POC集Mp=[t3r2]T。由式(3)可知，其支鏈的運(yùn)動輸出可取[t3r2]T和[t3r3]T。

根據(jù)表2中5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的HSOC和SOC配置方案，含雙驅(qū)動回路的3T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)可分為兩大類：①支鏈數(shù)目為4，其中nHSOC=1 且nSOC=3。②支鏈數(shù)目為3，其中nHSOC=2 且nSOC=1。表4為2種4支鏈和4種3支鏈的組合方案，結(jié)構(gòu)簡圖如圖6所示。

表4 3T2R機(jī)構(gòu)的支鏈組合方案Tab.4 Combination of 3T2R parallel mechanisms

4.3 3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計

3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺期望的自由度F=6且POC集Mp=[t3r3]T，機(jī)構(gòu)所有支鏈的運(yùn)動輸出均為[t3r3]T。

根據(jù)表2列出的6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的配置方案，含雙驅(qū)動回路的3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3類：①支鏈數(shù)目n=5，其中nHSOC=1 且nSOC=4。② 支鏈數(shù)目n=4，nHSOC=2 且nSOC=2。③ 支鏈數(shù)目n=3，nHSOC=3 且nSOC=0。本文只考慮支鏈數(shù)目為4和3的兩類構(gòu)型，表5為2種4支鏈和2種3支鏈組合方案，圖7為其結(jié)構(gòu)簡圖。

5 機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征分析

根據(jù)文獻(xiàn)[18]提出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征計算方法，對圖5～7中的5種3T1R、6種3T2R和4種3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征分析，得到過約束數(shù)Nov、耦合度κ等，結(jié)果如表6～8所示。

表5 3T3R機(jī)構(gòu)的支鏈組合方案Tab.5 Combination of 3T3R parallel mechanisms

由表6～8可知，綜合出的新機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，具有適度的非對稱性；15種機(jī)型中，耦合度為2的機(jī)構(gòu)僅3種(圖5c、6a、6b機(jī)構(gòu))，其余機(jī)構(gòu)的耦合度均為0或1。由文獻(xiàn)[20-21]可知，典型的6支鏈6自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度為3，機(jī)構(gòu)輸入-輸出運(yùn)動耦合性強(qiáng)、運(yùn)動學(xué)正解求解復(fù)雜；文獻(xiàn)[22-25]通過結(jié)構(gòu)降耦得到了多種低耦合度的6自由度機(jī)構(gòu)，但大多含有二重球副或三重球副，加工制造困難。而本文綜合的4支鏈和3支鏈6-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度均為1，驅(qū)動回路部分的耦合度為0，且不含被動移動副和復(fù)合球副，加工制造容易實(shí)現(xiàn)；進(jìn)一步的運(yùn)動學(xué)分析表明，機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動學(xué)正逆解的解析解，易于實(shí)時控制。

表6 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征Tab.6 Topology characteristics of 3T1R PMs

表7 3T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征Tab.7 Topology characteristics of 3T2R PMs

表8 3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征Tab.8 Topology characteristics of 3T3R PMs

6 結(jié)論

(1)分析了7種五桿回路的拓?fù)浣M成、等效輸出及其耦合度，并提出了多種含雙驅(qū)動五桿回路的復(fù)雜支鏈。

(2)根據(jù)基于POC方程的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法，綜合出含雙驅(qū)動五桿回路的5種3T1R、6種3T2R和4種3T3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型，機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，驅(qū)動安裝在基座上，帶負(fù)載能力強(qiáng)；動平臺上運(yùn)動副數(shù)目較少，支鏈間的干涉降低，工作空間增加；大多數(shù)機(jī)構(gòu)具有較好的對稱性，有利于載荷均勻分布。

(3)進(jìn)一步對綜合出的15種機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征分析，結(jié)果表明大多數(shù)新機(jī)型具有過約束，且具有較低的耦合度，有利于改善機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)、靜剛度及動力學(xué)性能，具有較好的應(yīng)用前景。