2021年全國乙卷理科第19題的解法探究及思考

新疆 符強如

發展學生數學思維素養，促使知識向核心素養轉化，成為中學數學一線教師教學發展方向.數學概念的教學是教學核心之一，深度的數學概念教學有助于發展學生深度思維，筆者通過對2021年全國高考乙卷理科數列題調查后發現，看似簡單的一個題目學生反映出的情況卻不容樂觀，深究問題所在：學生對于數學概念理解處于淺層次.下面通過對這道數列問題進行多角度思考解析，提出概念教學的見解，以期有拋磚引玉之效.

一、題目呈現

(1)證明：數列{bn}是等差數列；

(2)求{an}的通項公式.

【背景】這道題是2021年高考全國乙卷理科第19題，從問題表述來看，此題取材平實, 表現樸實, 題干清晰，傳承了全國卷高考命題簡約、穩健的風格.從內容上來看，考查等差數列的概念、性質與通項.考查了學生的邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養，要求學生具備突破常規的思維能力，與學生溝通探討中發現，這道題的得分不容樂觀，筆者對此題第一問進行了深入研究, 細致品析, 初嘗平淡, 深酌而顯深厚蘊藉, 余味綿長.

二、多個視角探究

思路一：“消元”角度，消去Sn

解法1：當n=1時，b1=S1，

評析：學生需要充分利用bn=S1·S2·…·Sn這一條件,調查發現，學生在常規等差、等比數列的題型中思維難以突破.但對bn=S1·S2·…·Sn條件的理解非常豐富.

比如：(1)直接應用：

(2)變形bn=bn-1·Sn(n≥2)形式.

思路二：開門見山應用等差數列定義式bn-bn-1=d(常數)

所以數列{bn}是等差數列．

評析：對于解法2是學生經過新知識學習和一定量習題訓練后最容易想到的思路.但是發現寫出bn-bn-1后與平時訓練出現的結果不一樣，不少學生就停留在這一步.我們其實往前走一步只需要找到Sn與Sn-1的關系即可，這啟示教師在平時教學中應注重學生對非常規題型的處理策略的培養，其問題的本質就是學生對概念理解不到位.那么非常規題型出現學生就會有豐富的處理方案,下面展示不同解法.

所以數列{bn}是等差數列．

思路三：通過等差中項2bn-1=bn+bn-2(n≥3)求證

所以2Sn-1=Sn-1·Sn+1,

2bn-1=bn+bn-2(n≥3).

2bn-2bn-1=2bn-1-2bn-2(n≥3)，

即bn+bn-2=2bn-1(n≥3).

評析：思路三也是在探究思路二過程中演變而來的，就是對主干條件變形過程中通過等差中項2bn=bn-1+bn+1(n≥2)來證明，學生直接從等差中項去證明是比較困難的，但是數列的概念反應的特征就是數列，學生就可以通過數學歸納法去求解，也可以先求出Sn，再求bn.

思路四：先求出Sn，再求bn

bn=Sn·bn-1,

三、教學啟示

我們一線教學老師發現：當前許多課堂被應試教學主導，數學教學嚴重異化為解題的模仿與訓練，大部分時間培養的只是學生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學生的數學思維及核心素養．已嚴重異化為解題模仿與訓練的數學課堂，不能真正激發學生的學習興趣，學生對數學概念產生的必要性和合理性的感悟嚴重缺乏，很難直接產生學習新概念的情感需求和思維需求，這種急功近利的做法只能讓學生獲得碎片、零散的知識記憶和僵化的思維，數學概念的學習停留在機械表層,難以讓學生構筑厚實的學習基礎，形成必要的探究發現能力，學生的數學思維素養得不到有效地培養．

在平常的數學教學中，概念教學是培育學生數學抽象素養的主要路徑.數學抽象是人腦舍去某一類事物所有具體屬性得到其相同數學屬性的一種思維過程，通常可用數學符號或術語對抽象所得的共同數學屬性進行概括和表達．數學抽象主要包括從數量與圖形，以及數量關系和圖形關系中抽象出數學概念及概念間的關系，以及從事物具體背景抽象出一般規律和結構等過程.在這個過程中，數學認識由感性上升到理性．數學概念教學首先需要研究“為什么學習此概念”，激活學習新概念的情感需求和認知需求；其次需要研究“學習數學概念的哪些內容”，挖掘數學概念的本質及生成過程等.所以在概念教學中，學生數學抽象素養的形成，是基于其對諸多知識和概念相關聯知識的整體理解與認識，需要教師適當騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明.獲得數學概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗和領悟.因而，在數學概念教學中，應盡量多地讓學生親歷概念的抽象與概括思維過程，在不斷地體驗與領悟中將經驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養.最重要的是要遵循知識的發生發展過程和學生頭腦中與新知識有實質性聯系的適當觀念，以學生認知結構中與新概念有自然的、內在聯系的已有知識作為新概念的生長點，使新舊概念之間產生非人為和實質性聯系.

數學概念的學習需要數學建模素養，其從數學視角看問題、用數學方法處理問題的意識與能力，是學以致用精神的體現；也是在研究一個現實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數學模型，再根據模型求解結果統一處理同類現實問題的思維過程．其以描述客觀事物的數形特征和內在聯系，所建立的模型和眾多的數學概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應用于現實世界．

在概念的應用教學中，教師引導學生整體理解數學知識結構及其思想方法，讓學生了解問題的現實意義，以及問題蘊含的數形特征，啟發學生用數學符號語言將現實問題轉化為數學問題，通過聯想將問題選取適當的且已學知識模型.這需要教師多引導學生從數學角度觀察、發現并提出有意義的問題，這其中往往會與已學的數學概念、知識和思想方法有廣泛聯系，能讓學生更深刻地理解概念內涵、意義及作用.