立足基礎 穩中求新 凸顯素養 導向教學
——2021年新高考Ⅰ卷第22題多解探究

山東 張 彬

2021年全國高等學校統一招生考試已硝煙散盡，但是關于2021年數學新高考Ⅰ卷的討論卻沒有停息，作為全卷壓軸的導數題更是引人關注，不同的老師有不同的看法.本文以此題為研究對象，首先對問題的解題思路與方法進行分析，然后對問題進行深入探究，指出其命題根源．

1.試題

(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調性；

2.解法分析

問題(1)：由題意可知f′(x)=-lnx，

故當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

故當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

對于問題(1)我們不再贅述，著重分析問題(2)．

2.1.1 分析一：

證法一(對稱化構造)：

證明：由blna-alnb=a-b,

不妨設x1

由(1)知0

②若1

構造g(x)=f(x)-f(2-x)，1

則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)

=-ln(2x-x2)>0，

故g(x)在(1,2)上單調遞增，所以g(x)>g(1)=0，

故f(x2)>f(2-x2)，

故f(x1)=f(x2)>f(2-x2)，

又0

而函數f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上單調遞增，

故x1>2-x2，即x1+x2>2，

注：從前面的解題過程可以看到，我們采用構造函數的方式證明了x1>2-x2，從而得到x1+x2>2的結論.事實上，我們也可以采用構造函數的方式先證明x2>2-x1，從而得到x1+x2>2的結論.

2.1.2 分析二：

從代數層面來看，問題的實質可以認為是在等量條件f(x1)=f(x2)約束下，尋求二元函數G(x1,x2)=x1+x2的最值問題.能否通過減元的方式，將二元函數轉化為一元函數來研究，進而尋求其最值呢？答案是肯定的！

證法二(比值代換)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

可得1-lnx1=t(1-lnt-lnx1)，

要證明x1+x2>2，

只需證ln(x1+x2)>ln2，

即證ln(x1+tx1)>ln2，

即證ln(1+t)+lnx1>ln2，

整理得(t-1)(1-ln2)+(t-1)ln(1+t)-tlnt>0．

構造函數g(t)=(t-1)(1-ln2)+(t-1)ln(1+t)-tlnt(t>1)．

故g′(t)在(1,+∞)上單調遞增，且g′(1)=0，

故g′(t)>g′(1)=0．

故g(t)在(1,+∞)上單調遞增，且g(1)=0，

故g(t)>g(1)=0．

2.1.3 分析三：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

欲證明x1+x2>2，

證法三(構造函數)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

不妨設x1

欲證明x1+x2>2，

構造函數g(x)=x2-2xlnx，x∈(0,+∞)，

則g′(x)=2x-2-2lnx=2[(x-1)-lnx]≥0，

(利用lnx≤x-1)

故g(x)在(0,+∞)上單調遞增，又x1

故g(x2)>g(x1)，

2.2.1 分析一：

即證x2

證法一(對稱化構造)：

則f(x1)=f(x2)，不妨設x1

則0

構造g(x)=f(x)-f(e-x)，0

則g′(x)=f′(x)+f′(e-x)=-ln(ex-x2)．

當x∈(0,x0)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

當x∈(x0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減．

又f(x)在(1,+∞)上單調遞減，故f(1)>f(e-1)，

故g(1)=f(1)-f(e-1)>0．

故g(x)>0，即f(x)>f(e-x)，(0

故f(x2)=f(x1)>f(e-x1)，

因為0

函數f(x)在(1,+∞)上單調遞減，

故x2

2.2.2分析二：

證法二(比值代換)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

可得(1-lnx1)=t(1-lnt-lnx1)，

要證明x1+x2

只需證ln(x1+x2)<1,

即證ln(x1+tx1)<1，

即證ln(1+t)+lnx1<1，

整理得(t-1)ln(1+t)-tlnt<0．

構造函數g(t)=(t-1)ln(1+t)-tlnt(t>1)，

(利用ln(1+x)≤x)

故g(t)在(1,+∞)上單調遞減，且g(1)=0，

故g(t)

2.2.3分析三：

微積分中有一種重要思想——以直代曲.分析此函數的圖象：如圖，當x2距離點(e,0)處較近時x1+x2較大，此時我們可以利用點(e,0)處的切線g(x)=e-x來代替點(e,0)處的曲線，對x2對應的函數值進行放縮.

證法三(切線放縮)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設x1

函數f(x)=x(1-lnx)在(e,0)處的切線方程為g(x)=e-x．

不難證明當x∈(0,e)時，g(x)>f(x)．

證明如下：設h(x)=g(x)-f(x)=xlnx-2x+e，x∈(0,e)，

則h′(x)=lnx-1<0，

故h(x)單調遞減，h(x)>h(e)=0，

故g(x)>f(x)．

故f(x1)=f(x2)

即x1-x1lnx1=x2-x2lnx2

故x1-x1lnx1

故x1+x2-x1lnx1

因為x1lnx1<0，

2.2.4 分析四：

在處理函數中的不等關系時，我們還常常用到一些函數不等式，如ex≥x+1，lnx≤x-1(x>0)，x>sinx(x>0)等等，借助于這些不等式研究其他函數中的不等關系，常常事半功倍.

證法四(常用不等式放縮)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

不妨設x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

(利用lnx≤x-1)

故x1

3.問題根源

如圖，二次函數圖象是比較典型的軸對稱圖象，當x1和x2對應的函數值相等時，顯然有x1+x2=2x0(x0是二次函數的一個極值點)．

但是二次函數僅是我們的研究對象中的一種特殊函數，其圖象是軸對稱圖形.大部分函數不是這個情況.比如本題中涉及的函數，觀察其圖象可以發現，在極值點x0的左側，函數單調遞增，增長速度較快；在極值點x0的右側，函數單調遞減，減小速度較慢；此時必然造成極值點x0處于x1，x2的中點的左側，這種情況，我們稱為極值點左偏.在這種情況下，顯然x1+x2>2x0，對于我們研究的函數f(x)=x(1-lnx)來講，極值點x0=1，所以有x1+x2>2.

同樣，當x2距離極值點x0=1較近時，x1距離極值點x0=1也較近，此時x1+x2的值與2比較接近；而當x2距離點(e,0)較近時，x1距離點(0,0)較近，此時x1+x2的值與e比較接近.且x2由x0向點(e,0)運動的速度顯然要比x1向點(0,0)運動的速度要快，這就不難理解為什么有x1+x2

當然，我們分析的是函數圖象開口向下的情況，此種情況下函數中極值點右偏的情況與左偏類似，不再贅述.函數圖象開口向上的情況下，也存在極值點偏移的情況，也不再一一分析.

4.小結

基于以上分析，筆者認為2021年數學新高考Ⅰ卷第22題題干部分沒有冗繁的文字描述，十分簡潔，能讓考生把注意力很快集中到數學問題的本質上，體現了數學教育應有的務實作風.

試題的第一問，考查考生利用導數判斷函數單調性的方法，立足基礎，起點低、入口寬，面向全體考生，注重通性通法和對數學思想的考查，淡化了特殊方法、技巧解題，這對高中數學的教學有積極的導向作用.