基于核心素養的教學設計與評價反思
——以“橢圓的幾何性質”為例

山東 尹燕花

一、問題的提出

基于核心素養的教學，要求教師在教學活動中，讓學生在掌握知識與技能的同時，理解知識的本質，感悟其中所蘊含的數學思想，掌握思想方法.學生數學思想方法的形成，需要在教師的啟發和引導下，通過學生獨立思考感悟，逐漸養成良好的思維品質.如何進行教學設計，才能把握數學的本質，滲透數學思想方法，提升學生的核心素養，是當下教師需要思考和面對的問題.本文以橢圓的幾何性質為例，闡述如何在解析幾何的教學設計中，體現基于核心素養的教學設計理念.

二、課前分析

橢圓的幾何性質，包括橢圓的范圍、對稱性、頂點(特殊點)、離心率.學生已經熟練掌握直線和圓的方程，橢圓的定義及其標準方程，有一定的觀察分析和推理論證的能力；但第一次接觸到通過方程研究圓錐曲線幾何性質的方法，缺乏研究此類問題的經驗，研究思路不清晰.學生第一次系統地運用代數與幾何相結合的方法研究曲線的性質.如何在教學中滲透數形結合、函數與方程等數學思想方法，并為研究雙曲線、拋物線的幾何性質、運用“以數解形”的方法解決幾何問題提供研究方向和方法指導，讓學生在感知圖形和觀察抽象的過程中提升直觀想象和數學抽象的素養，對形成研究圓錐曲線的核心思想方法具有舉足輕重的地位.

三、教學實錄

1.情境創設，引出課題

通過多媒體先后向學生展示并介紹國家大劇院和開普勒行星運行軌道.

師：國家大劇院是新“北京十六景”之一的地標性建筑，它的外觀呈半橢球形，設有歌劇院、音樂廳、戲劇場以及藝術展廳、餐廳、音像商店等配套設施，它的設計集美學、聲學、光學、力學等方面的優點于一體，2008年12月19日獲“魯班獎”，被評為世界十大奇特建筑之一，2009年10月28日入選新中國成立60周年“百項經典暨精品工程”.通過觀察國家大劇院在水面上的投影，會發現它就是我們之前研究的橢圓，那它多長、多寬、多扁呢？

開普勒發現行星的軌道呈橢圓形，研究它在發射衛星和導航制導等方面價值重大.那么橢圓形的軌道有什么樣的性質特點呢？

【設計意圖】借用兩個具體實例向學生展示橢圓幾何性質的應用，反映時代要求，體現科學價值，同時激發學生的愛國熱情和學習激情，提高學生對本節課知識的渴望程度，體現教育立德樹人的導向.

【課堂效果】以兩個具體事例作為情境，引出本節課橢圓幾何性質的課題，既激發學生的學習興趣，又使得學生的愛國熱情高漲，為本節課的高效學習奠定基礎.

2.復習回顧，探究新知

探究一 橢圓的范圍

2.1橢圓的范圍

問題1：你能由圖形觀察出橢圓的范圍嗎？

問題2：你能根據橢圓的方程推導出這個結論嗎？

【設計意圖】本節課是學生初次接觸圓錐曲線的幾何性質，在老師的引領下，師生一起研究第一條性質——范圍，讓學生體會由圖形觀察發現性質，再由方程經過嚴密推導得出性質的研究方法，體會數形結合，函數與方程等思想的內涵；同時也為描點法作圖提供了參考，發展學生數學抽象和直觀想象的核心素養.

【課堂效果】學生通過觀察橢圓的圖形準確得到了橢圓的范圍，又在老師的引導下，推導出了橢圓上點的橫、縱坐標的范圍.教師及時做出點評，總結出研究曲線幾何性質的兩種方法：①幾何法(幾何直觀)②代數法(方程推導)，為研究橢圓的其他幾何性質的研究方法做好鋪墊.

2.2橢圓的對稱性和頂點

【合作交流 探究新知】根據以上研究方法，小組合作探究對稱性和頂點.

師：請同學們類比研究橢圓范圍的方法，完成下面兩個問題：

問題3：橢圓具有怎樣的對稱性？仔細觀察方程的特點，證明對稱性.

問題4：研究曲線上的某些關鍵點，可以確定曲線的位置和變化趨勢.你覺得橢圓上會有哪些關鍵點？

【設計意圖】學生掌握了研究圓錐曲線幾何性質的方法，將關于對稱性和頂點的問題交給學生，讓學生以小組合作探究的形式發現問題，解決問題，培養學生探究的意識和合作交流的團隊精神.發展學生數學抽象和直觀想象的核心素養.

【課堂效果】①學生小組合作探究橢圓的對稱性和頂點問題，教師在巡視過程中參與其中，引導啟發學生通過代數法推導橢圓的性質，最后請小組代表展示各小組的研究成果.教師及時做出點評和表揚.

②在學生展示對稱性的過程中，教師利用幾何畫板向學生動態展示橢圓上任取點P(x,y)，點P關于x，y軸和坐標原點的對稱點P′(x,-y)，P″(-x,y)和P?(-x,-y)也在橢圓上，它們伴隨點P的運動而在橢圓上運動，結合“點動成線”讓學生理解所取點P為任意點的重要性，進一步加深理解橢圓的對稱性.

③得到關鍵點后進一步給出長軸和短軸的定義，補充說明對稱軸是焦點所在直線和焦點連線中垂線，這是橢圓的固有性質，不受坐標軸的影響.

問題5：同學們，認識了長軸和短軸，你能從圖中找到a，b，c對應的幾何性質嗎？

【設計意圖】了解了橢圓以上幾何性質，進一步提出問題，考查學生知識掌握程度的同時發展數學抽象和幾何直觀方面的素養.

問題6：同學們繼續思考，已知橢圓的四個頂點，能否快速找到焦點位置呢？

生：以短軸端點為圓心，以長半軸a為半徑作圓，與長軸的兩個交點即為橢圓的兩個焦點.

【設計意圖】對橢圓中焦點三角形做更深入的研究，開拓學生的知識面，提升學生思維能力.

【考一考】

①說出下列方程對應圖形的對稱性.

②快速畫出下列橢圓的簡圖.

【課堂效果】學生能快速地回答對稱性，并能利用性質準確地做出橢圓的簡圖，說明學生已經掌握了橢圓的范圍，對稱性和頂點，并能靈活使用.

2.3橢圓的離心率

師：觀察第②題中兩個橢圓的圖形，它們有什么不同呢？

師：橢圓的形狀受哪些因素影響呢？

大家拿出手中的道具(紙板、圖釘、繩子)，從橢圓的定義出發，多畫幾個橢圓，然后思考橢圓形狀受哪些因素影響？最后小組討論，形成你們組的最終結論，并向大家展示你們集體的智慧.

【探究一】學生活動：小組合作，利用橢圓的定義畫橢圓，從中尋找哪些因素決定橢圓的形狀.(小組合作討論，相互交流，小組展示)

學情預設：學生會得出兩種結論，①a，b影響橢圓的形狀，②a，c影響橢圓的形狀.

生：a，b的大小影響橢圓的形狀，a不變時，b越小，橢圓越扁，b越大，橢圓越圓.

師：回答的非常好，我們能直觀地感受到改變a，b可以改變橢圓的形狀.

【課堂效果】教師對學生加以肯定，這是從幾何直觀得到的結論.教師利用幾何畫板動態展示“橢圓長軸和短軸變化時形狀隨之變化”的過程，使學生能夠生動形象的感知.

從表1結果可知，浮選金精礦中主要有用元素為金、銀，可在后續浸金工藝中回收，鉛含量為3%，達到了綜合回收的要求。

師：在剛才動手畫橢圓的過程中，哪個小組得到了不同的結論呢？

生：我們做了幾個不同的橢圓，發現改變繩長可以畫出不同的橢圓，改變圖釘的位置也可以畫出不同的橢圓，所以我們認為a，c決定橢圓的形狀.

師：回答得非常完美.同學們的這些結論都非常正確，體現了同學們超強的幾何直觀和數學抽象素養，大家從不同的思考角度得到了不同的結論.下面同學們繼續思考a，c如何影響橢圓的形狀變化呢？

【探究二】a，c如何影響橢圓扁、圓程度的變化？學生繼續小組合作，相互交流.

【設計意圖】以活動為載體，學生在動手畫橢圓的過程中，積累感性經驗，通過實踐、思考，為進一步上升到理論認知做好準備，同時發展學生的直觀想象和數學抽象素養.

生2：c不變時，a越大橢圓越扁，a越小橢圓越圓.

生3：a和c越接近，橢圓越扁，a和c相差越大，橢圓越圓.

【課堂效果】教師用幾何畫板動態展示學生1和學生2的成果：通過變動焦點的位置，改變c的大小，驗證學生1的正確結論，通過變動長軸頂點的位置，改變a的大小，驗證學生2的正確結論.

師：同學們，我們分析了前兩種結論，它們只改變其中一個因素.那么，第三種結論中a和c都發生變化了，大家再探討一下，第三種結論是否準確？能否找到表示a和c差量的數據關系呢？

生1：a與c的差越大，橢圓越圓，差越小，橢圓越扁.

生2：a與c的比值越接近1，橢圓越扁，比值越大，橢圓越圓.

【課堂效果】比較兩個數大小，我們通常采用做差或做商的方法，兩位同學的思路都是值得肯定的.教師利用幾何畫板，在同一坐標系中輸入“c=3，a=4”和“c=7，a=8”作出兩個橢圓的圖形，學生可以形象地看到差值對橢圓形狀起不到決定性作用.教師再利用幾何畫板，向學生展示c與a比值不變的情況下，c與a變化得到一系列形狀相同、大小不同的“相似”橢圓，驗證了學生2的結果是正確的.

師：c與a的比值對應著教材中的離心率.同學們請看定義，思考它有怎樣的范圍.

師：請一位同學來總結一下這個比值對橢圓的扁圓程度有什么影響呢？

【設計意圖】通過之前的探究，學生可以基本掌握c與a對橢圓形狀的影響情況，再通過學生的總結，加深理解.

生：e越接近于0，則c越小(師：小到什么程度呢？)，趨近于0,橢圓越接近于圓；e越接近于1，橢圓越扁.

離心率大小焦點偏離程度扁圓程度e越大(e→1)越大越不圓(越扁)e越小(e→0)越小越圓e=0不偏離圓

【課堂效果】學生清晰地總結了離心率對橢圓扁圓程度的影響，教師肯定學生之后，利用幾何畫板向學生清晰展示焦點在偏離中心的過程中，離心率大小和橢圓扁圓程度的變化，教師引導學生體會“離心”兩字——偏離中心，它是刻畫橢圓軌道與理想圓環的偏離程度的量(從幾何圖形感知)，使離心率得到升華，突破了本節課的難點.

【練一練】下列兩個橢圓哪個更扁一些？

【課堂效果】學生能快速準確地完成，對離心率完全理解，難點得到突破.

【設計意圖】向學生介紹離心率在物理學中的發展過程，數學上的離心率與物理學中的偏心率是同一個量，拓寬學生的知識面，通過跨學科知識進一步加深對離心率的認識.

【構建體系 完善認知】

請根據本節課所學橢圓的幾何性質，完成下列表格.

標準方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)圖形范圍對稱性頂點坐標離心率

【設計意圖】激活學生已有的認知結構，在理解性質的基礎上，利用類比思想研究橢圓,讓學生感知不同坐標系下橢圓的性質，加深知識理解的同時培養學生歸納總結的能力，體會類比思想，發展學生邏輯推理素養.

3.典例剖析，深化理解

例1已知橢圓的方程為4x2+9y2=36.

(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標、離心率；

(2)根據橢圓的幾何性質，利用描點法畫出該橢圓的圖形.

參考數據：

x00.511.522.53y21.971.8917.31.491.110

【設計意圖】通過例題的練習和講解進一步強化橢圓幾何性質的應用，使學生從感性認識上升到理性認識，同時在做題過程中領會函數與方程的數學思想.

4.總結提升，形成體系

【設計意圖】引導學生從知識、數學思想與方法和數學核心素養三個方面總結、反思，深化知識的形成過程，形成本節課完整的知識體系，掌握研究橢圓的方法和思路，感受研究幾何對象的基本規律，使學生有意識地運用數與形的一致性思考，為后續其他圓錐曲線幾何性質的研究奠定基礎.

四、教學反思與評價

授課結束后，現場的專家、老師們對本節課給予了充分的肯定，主要從以下幾個方面加以評價：

1.適當的情境選擇，高站位的價值觀導向

本節課利用國家大劇院和行星運行軌道作為情境引入，既源于生活，又給學生確立了學以致用、德才兼備、全面發展，為實現中華民族偉大復興的中國夢而學習的方向，學生要掌握扎實的專業基礎知識和最前沿的科學文化知識，造福國家人民.開篇完美的體現了“立德樹人”的導向性.

2.敢于放手給學生，注重創新能力的培養

本節課是學生初次接觸圓錐曲線的幾何性質，教師帶領學生學習第一條性質后，放手給學生，時機恰當，不會讓學生無從下手，有利于培養學生發現問題、解決問題的能力.史寧中教授說“要培養一個人的創新能力，必須注重過程，啟發思考，總結經驗，教會反思.”本節課通過對離心率問題的探討，能夠抓住問題的本質，啟發新的思考.

3.課堂模式選擇合理，注重多媒體輔助教學

利用問題串將本節課的核心知識串起來，教師敢于把講臺還給學生，引導學生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動嘴討論，通過探究活動增強學生的數學體驗，不光要知道是什么，更要弄明白為什么.難點的突破和重點的突出變得水到渠成.利用橢圓定義推導過程中的紙板和繩，探究影響橢圓圓扁程度的因素；用幾何畫板動態演示橢圓幾何性質，使抽象復雜的問題更加簡潔生動，高效地提升了學生直觀想象的素養.

4.注重知識的拓展，跨學科知識的融匯

離心率的教學是本節課的一大亮點，在學生不斷質疑和爭論中形成了離心率的概念，又把離心率與物理學中的偏心率接軌.教學中要注重學生“學習過程的教育”.“過程的教育”是學生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程.這正是“一核四層四翼”中的綜合性的體現，實現了學科間的融合.

5.加強思維訓練，滲透學科素養

幫助學生理解才是最重要的.而理解需要學生進行獨立思考，學生只有獨立思考，才能真正的掌握知識，從而能夠真正的掌握技巧，甚至發明技巧，以不變應萬變.本節課突出體現了數形結合、分類討論及類比推理的思想和用代數法解決幾何問題的數學方法，在這個過程中加強了學生的數學抽象，直觀想象，邏輯推理等核心素養的培養.