考慮約束條件的串級(jí)連續(xù)攪拌反應(yīng)釜的自適應(yīng)命令濾波控制

于 波,辛麗平,劉家碩

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266525)

串級(jí)連續(xù)攪拌器反應(yīng)釜(CCSTRs)是由兩個(gè)連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR)串聯(lián)組成的復(fù)雜反應(yīng)器，廣泛應(yīng)用于制藥、生物、化工等過程工業(yè)。它通常在規(guī)定的溫度下，通過一系列的物理和化學(xué)反應(yīng)將反應(yīng)物轉(zhuǎn)化為產(chǎn)物，期間原料不斷地被加入反應(yīng)器、產(chǎn)物不斷地從反應(yīng)器中提取出來[1]。一般來說，當(dāng)CCSTRs在特定平衡點(diǎn)附近運(yùn)行時(shí)，都與一個(gè)過程的最佳產(chǎn)量或最佳生產(chǎn)率相關(guān)聯(lián)，以實(shí)現(xiàn)高轉(zhuǎn)化率和最大化經(jīng)濟(jì)效益。但由于CCSTRs的高度復(fù)雜性、開環(huán)不穩(wěn)定性，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行過程中存在外部干擾和噪聲時(shí)，系統(tǒng)會(huì)迅速偏離中間穩(wěn)態(tài)，從而導(dǎo)致CCSTRs的產(chǎn)物質(zhì)量和生產(chǎn)效率下降。因此，為CCSTRs系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種穩(wěn)定、高效、實(shí)用的控制器具有重要的研究意義，有助于提高生產(chǎn)效率和反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率，從而提升經(jīng)濟(jì)效益、減輕化學(xué)廢物對(duì)環(huán)境的影響。

從控制的角度看，CCSTRs系統(tǒng)具有高度非線性、時(shí)變性、強(qiáng)耦合性和不確定性[1]，所以為CCSTRs系統(tǒng)設(shè)計(jì)高性能的控制算法一直是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。因此，關(guān)于連續(xù)攪拌反應(yīng)釜控制算法的研究一直是控制界的熱點(diǎn)，其中關(guān)于單個(gè)反應(yīng)器的連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)(CSTR)的控制器研究已有很多報(bào)道：傳統(tǒng)的基于工作點(diǎn)線性化處理的控制器，該控制方法僅能夠在工作點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)取得良好的控制效果[1-2]；基于微分幾何、精確輸入/輸出線性化、滑模控制、Lyapunov再設(shè)計(jì)、模型預(yù)測(cè)控制的非線性控制器，這些非線性控制方法在不同的特定場(chǎng)景下均能取得良好的控制效果，呈現(xiàn)出收斂速度快、魯棒性強(qiáng)、抗干擾能力強(qiáng)、有限時(shí)間穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)[3]。而關(guān)于由兩個(gè)反應(yīng)器構(gòu)成的串級(jí)連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)(CCSTRs)的控制器研究卻報(bào)道很少：基于反步技術(shù)的H∞反饋控制器，其性能優(yōu)于比例積分(PI)控制器，可很好地控制CCSTRs的化學(xué)反應(yīng)過程[4]；基于反步技術(shù)的帶擾動(dòng)解耦觀測(cè)器的模糊控制器，給出了擾動(dòng)輸入對(duì)系統(tǒng)輸出的有界近似L2增益，在近似干擾和解耦的同時(shí)獲得良好的動(dòng)態(tài)性能[5]；基于反步法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，借助遞歸設(shè)計(jì)的方法消除了CCSTRs系統(tǒng)中的互聯(lián)項(xiàng)，獲得了更好的控制效果[6]；具有輸入死區(qū)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，能夠通過自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)補(bǔ)償死區(qū)的未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)具有死區(qū)輸入的CCSTRs產(chǎn)物濃度的調(diào)節(jié)[7]；基于Barrier Lyapunov函數(shù)(BLF)和反步法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，不僅能消除系統(tǒng)中互聯(lián)項(xiàng)的影響，還能將系統(tǒng)輸出約束到給定范圍[8]；基于新反步技術(shù)的模糊自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，能夠克服MIMO系統(tǒng)的不確定外部干擾和子系統(tǒng)間相互耦合等非線性問題，而且具有統(tǒng)一的自適應(yīng)律，這使控制器的可調(diào)參數(shù)減少，從而有利于控制器的工程實(shí)現(xiàn)[9]。

顯然，上述CCSTRs系統(tǒng)的控制器都是基于反步法提出的。盡管反步法(backstepping)使非線性控制器的設(shè)計(jì)過程變得更簡(jiǎn)單，但是，該方法并沒有解決經(jīng)典反步法中虛擬輸入迭代產(chǎn)生的“計(jì)算爆炸”問題。近年來，雖然提出了動(dòng)態(tài)面控制(DSC)[10]以解決backstepping固有的“計(jì)算爆炸”問題，并將其應(yīng)用到CCSTRs系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中[11]，但是一階濾波器產(chǎn)生的誤差信號(hào)并未被消除，這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致控制器的跟蹤性能下降。作為另一種解決方法——命令濾波控制[12]，同時(shí)引入濾波器和誤差補(bǔ)償信號(hào)，既能克服“計(jì)算爆炸”問題又可去除濾波誤差對(duì)控制性能的影響。此外，考慮到實(shí)際工業(yè)過程中存在飽和、死區(qū)、機(jī)械設(shè)備的限制、環(huán)保要求以及安全規(guī)范等不同形式的約束[13-14]，本文提出一種具有輸入輸出約束的CCSTRs的模糊自適應(yīng)命令濾波控制策略。利用模糊邏輯系統(tǒng)逼近CCSTRs系統(tǒng)中的非線性函數(shù)，在自適應(yīng)反步控制的基礎(chǔ)上結(jié)合命令濾波技術(shù)簡(jiǎn)化控制器的結(jié)構(gòu)，引入誤差補(bǔ)償信號(hào)避免濾波誤差的影響，利用BLF對(duì)輸出狀態(tài)變量進(jìn)行約束，并采用新穎的方法對(duì)輸入飽和信號(hào)進(jìn)行一定的處理，通過Lyapunov穩(wěn)定性分析保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和有界性，利用Simulink仿真驗(yàn)證該控制方案的有效性和魯棒性。與現(xiàn)有CCSTRs系統(tǒng)的控制策略相比，該控制器的主要優(yōu)勢(shì)如下：

1) 采用命令濾波技術(shù)簡(jiǎn)化了控制器的結(jié)構(gòu)，從而大大減少了控制器的在線計(jì)算量；引入誤差補(bǔ)償機(jī)制克服了濾波誤差對(duì)控制性能的影響，提高了控制精度。

2) 基于BLF和輸入飽和函數(shù)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的輸入、輸出的約束，從而使所提控制器更貼近實(shí)際工業(yè)過程。

3) 將自適應(yīng)律的數(shù)量縮減為1個(gè)，這不僅減輕了控制器的在線計(jì)算量，更利于工程實(shí)現(xiàn)。

1 串級(jí)連續(xù)攪拌反應(yīng)釜的數(shù)學(xué)模型

由兩個(gè)反應(yīng)器組成的串級(jí)連續(xù)反應(yīng)攪拌釜的動(dòng)力學(xué)模型[6]如式(1)所示：

(1)

式中：CA0，CA1，CA2分別為反應(yīng)物A注入反應(yīng)器Ⅰ的濃度、反應(yīng)器Ⅰ內(nèi)反應(yīng)物的濃度、反應(yīng)器Ⅱ內(nèi)反應(yīng)物A的濃度；Q0，Q1，Q2，QR分別為反應(yīng)物A注入反應(yīng)器Ⅰ的流量、流出反應(yīng)器Ⅰ的流量、流出反應(yīng)器Ⅱ的流量、自反應(yīng)器Ⅱ回流至反應(yīng)器Ⅰ的流量，其中，Q0=Q2=Q，Q1=Q+QR；V1，V2分別為反應(yīng)器Ⅰ和Ⅱ的體積；Vj1，Vj2分別為反應(yīng)器Ⅰ和Ⅱ配備的冷卻夾套的體積；T0，T1，T2為反應(yīng)物A注入反應(yīng)器前的初始溫度、在反應(yīng)器Ⅰ內(nèi)的溫度、在反應(yīng)器Ⅱ內(nèi)的溫度；Tj10，Tj1分別為冷凝水進(jìn)、出反應(yīng)器Ⅰ的冷卻夾套的溫度；Tj20，Tj2分別為冷凝水進(jìn)、出反應(yīng)器Ⅱ的冷卻夾套的溫度；α，E，R和λ分別為反應(yīng)過程中的反應(yīng)速率常數(shù)、活化能、通用氣體常數(shù)和發(fā)熱速率；ρr和cr分別為反應(yīng)器中液體的密度和熱容量；ρj和cj分別為夾套中冷卻水的密度和熱容量；U和A是傳熱系數(shù)和傳熱面積。主要控制目標(biāo)是通過操縱CA0，Tj10和Tj20來獲得適當(dāng)?shù)腃A2，T1和T2。

(2)

2 基于BLF的命令濾波控制設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 控制器設(shè)計(jì)

(3)

(4)

α11=-k11z11

(5)

(6)

式中：k11為設(shè)計(jì)參數(shù)，k11>0。

將式(5)和式(6)代入式(4)可得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)楊氏不等式可得

(12)

將式(10)—(12)代入式(9)可得

(13)

(14)

(15)

將式(15)中的非線性函數(shù)部分定義為

(16)

其中，X21=[x11,x21]T。

利用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性可將f21(X21)表示為

(17)

根據(jù)楊氏不等式可得

(18)

式中：l21為任意正數(shù)。

將式(16)—(18)代入式(15)可得

(19)

(20)

(21)

式中：k21為設(shè)計(jì)參數(shù)，k21>0。

將式(20)和式(21)代入式(19)可得

(22)

(23)

(24)

將式(24)中的非線性函數(shù)部分定義為

(25)

其中，X22=[x11,x12,x21,x22]T。

利用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性可將f22(X22)表達(dá)為

(26)

根據(jù)楊氏不等式可得

(27)

式中：l22為任意正數(shù)。

將式(25)—(27)代入式(24)可得

(28)

(29)

(30)

根據(jù)楊氏不等式可得

(31)

將式(29)—(31)代入式(28)可得

(32)

(33)

(34)

將式(34)中的非線性函數(shù)部分定義為

(35)

利用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性可將f31(X31)表達(dá)為

(36)

根據(jù)楊氏不等式可得

(37)

式中：l31為任意正數(shù)。

將式(35)—(37)代入式(34)可得

(38)

(39)

(40)

將式(39)和式(40)代入式(38)可得

(41)

(42)

(43)

將式(43)中的非線性函數(shù)部分定義為

(44)

其中，X32=[x11,x12,x21,x22,x31,x32]T。

利用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性可將f32(X32)表達(dá)為

(45)

根據(jù)楊氏不等式可得

(46)

式中：l32為任意正數(shù)。

將式(44)—(46)代入式(43)可得

(47)

(48)

(49)

根據(jù)楊氏不等式可得

(50)

將式(48)—(50)代入式(47)可得

(51)

2.2 穩(wěn)定性分析

(52)

(53)

式中：m為設(shè)計(jì)參數(shù)，m>0。

將式(52)和式(53)結(jié)合可得

(54)

根據(jù)楊氏不等式有

(55)

將式(55)代入式(54)可得：

(56)

為實(shí)現(xiàn)既定的控制目標(biāo)，選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)kij(i=1,2,3;j=1,2),m,r和lij(i=2,3;j=1,2)，使得式(56)滿足

(57)

由式(56)可得

(58)

定義關(guān)于補(bǔ)償信號(hào)ξij的Lyapunov函數(shù)：

(59)

(60)

其中，a0=min{2k11,2k12,2b21k21,2b22k22,2b31k31,2b32k32}；b0=μρ。

(61)

3 仿真結(jié)果及分析

表1 CCSTRs系統(tǒng)模型參數(shù)

基于BLF的模糊自適應(yīng)命令濾波控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)為：k11=1，k12=10，k21=1，k22=55.7，k31=10，k32=1.4002，m=10，r1=0.01，ω11=2000，ω21=2000，ω31=2000，ζ=0.99，l21=1，l22=1，l31=1，l32=1。其中，ω11，ω21，ω31，ζ為命令濾波器[15]的設(shè)計(jì)參數(shù)。

在相同的初始條件下，將文獻(xiàn)[8]中的控制方法與本文提出的控制策略作比較，仿真結(jié)果對(duì)比如圖1—3所示。從控制效果來看(圖1)，在模糊自適應(yīng)命令濾波控制下的輸出y1，y2，y3可以快速跟隨給定的參考信號(hào)，并且穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，但是在文獻(xiàn)[8]的控制方案中的整個(gè)控制過程卻存在一定的誤差；從輸入效果來看(圖2)，雖然兩種控制方案的輸入控制信號(hào)均有界合理，但受到輸入約束的限制，圖2(b)中的輸入信號(hào)在實(shí)際過程中更容易實(shí)現(xiàn)；圖3顯示的θ是基于BLF的自適應(yīng)命令濾波控制的自適應(yīng)律，很明顯，自適應(yīng)律θ的演變光滑且適當(dāng)。仿真結(jié)果表明，相比于現(xiàn)有的控制方案，本文所提出的控制方案在同時(shí)考慮到輸入飽和和輸出約束的前提下，能夠快速、準(zhǔn)確跟蹤參考信號(hào)，控制性更加優(yōu)越，更適合在實(shí)際工業(yè)過程中使用。

圖3 自適應(yīng)律

此外，從控制器的設(shè)計(jì)方面可以很明顯看出，在文獻(xiàn)[8]中所提的控制方案只考慮了輸出約束并且有5個(gè)自適應(yīng)律，但是，在本文中結(jié)合了命令濾波技術(shù)，同時(shí)考慮了輸入和輸出約束，并將自適應(yīng)參數(shù)的數(shù)量減少到只有1個(gè)，簡(jiǎn)化了控制器結(jié)構(gòu)。眾所周知，在工程中，當(dāng)越來越多的自適應(yīng)參數(shù)出現(xiàn)時(shí)，控制器的實(shí)施變得越來越困難，換句話說，本文設(shè)計(jì)的控制器更適合在實(shí)際工業(yè)過程中使用。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)具有輸入和輸出約束的CCSTRs系統(tǒng)，提出基于BLF模糊自適應(yīng)命令濾波控制。該控制方案所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量少，成功解決了濾波誤差的影響，并且還同時(shí)考慮到了實(shí)際過程中受到的約束問題。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有的控制策略相比，該控制方案控制精度更高，輸入信號(hào)有界合理且易于實(shí)現(xiàn)，更加符合實(shí)際生產(chǎn)要求。