三角形二維周期結構光柵的衍射場

劉有菊 楊慶辭 何正英

（保山學院，云南 保山 678000）

目前，對光的衍射研究多數在于單孔的衍射，而對二維多孔的衍射研究較少。然而光譜儀、近眼顯示（NED）系統等都涉及到多元多維結構光柵的衍射。三角形二維周期結構光柵是由N1列N2行全同三角形小孔按一定周期排列而成，是一種復雜的光學光柵。

1 三角形二維周期結構光柵的衍射實驗

如圖1所示，三角形二維周期結構光柵是由邊長為a、b、c的全同三角形組成，其三角形沿x軸方向的空間周期為d1，共有N1列；沿y軸方向的空間周期為d2，共有N2行；這塊光柵共有N1×N2個排列有序的全同三角孔構成，光柵的有效寬度為D1=N1d1，有效長度為D2=N2d2。

圖1 三角形二維周期結構光柵

三角形二維周期結構光柵衍射的實驗裝置主要由三角形二維周期結構光柵、薄透鏡、接收屏等組成，如圖2所示。

圖2 三角形二維周期結構光柵的實驗裝置

三角形二維周期結構光柵可以采用高精度激光打孔機按設計好的尺寸在薄的不透明材料上生成，然后在光柵后面放置一薄的凸透鏡，在薄透鏡的焦平面上放接收屏，使衍射屏、透鏡、接收屏中心在同一水平直線上，并放置在同一光學導軌上，用一束平行光照射衍射光柵，在接收屏上就能得到三角形二維周期結構光柵的衍射圖樣，如圖3所示。

圖3 三角形二維周期結構光柵的衍射圖樣

2 三角形二維周期結構光柵的衍射場

設三角形二維周期結構光柵和薄的凸透鏡所在位置（x0,y0,0），接收屏所在的位置為（x,y,z），如圖2所示，則三角形二維周期結構光柵屏函數為：

則薄透鏡的變換函數為[1-2]：

其中f為薄透鏡的焦距，則三角形二維周期結構光柵和透鏡組合在一起的變換函數為：

在傍軸條件下，根據基爾霍夫衍射積分式得：

對上式的積分很復雜。這里只研究像面上（z=f）的衍射問題,為了推導簡單一些，采用直角三角形全同單元，設直角的邊長為a、b。在近軸的條件下，根據基爾霍夫衍射積分式得波前函數為：

再根據相移-位移定理得第一排，三角形單元沿x軸方向作周期性排列而形成一維光柵衍射場在像面上的波前函數為：

然后把每一排看成一個大單元，大單元沿y軸方向作周期性排列而成為二維光柵，根據位移-相移定理得二維周期結構光柵衍射場在像面上的波前函數為：

平行光通過三角形二維周期結構光柵在像面上（z=f）衍射波的振幅（取正值）為：

平行光通過三角形二維周期結構光柵在像面上（z=f）衍射波的光強為：

根據（9）、（10）式，利用計算機數據模擬得出平行光通過三角形二維周期結構光柵的衍射波在像面振幅分布和光強分布圖樣[3]。如圖4-圖7所示，相關參數取值為：A1=1個單位個單位，λ=632.8nm，a=b=1×10-4m，d1=d2=5×10-4，f=10m，N1×N2=100個全同三角形。

圖4 三角形二維周期結構光柵在像面上相對振幅等高線分布圖

圖5 三角形二維周期結構光柵在像面上相對振幅分布圖

圖6 三角形二維周期結構光柵在像面上相對光強等高線分布圖

圖7 三角形二維周期結構光柵在像面上相對光強分布圖

3 結論

從圖5和圖7可以看出，平行光通過三角形二維周期結構光柵衍的射圖樣有一系列極強衍射峰，并且在極強衍射峰四周又出現次級衍射峰。

此研究方法和結論可為人們研究物質結構和材料生長的性質特征等提供一種新的研究方法。