深度建構分數認知，循著邏輯學會思維
——以三上《分數的初步認識》一課的教學為例

李曉飛

數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維層面，由具體方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升，由教師指導下進行學習逐步轉變?yōu)閷W會學習。只有從數學知識的邏輯結構切入，以宏觀的知識體系觀照每個知識點的價值，依循知識點的內部邏輯結構，找準學生的經驗起點和延伸點，合理設計課堂教學，讓學生經歷操作（手腦）探究、總結反思等再認識思維活動，尋求、體會并主動締結知識的內在聯(lián)系，建立起個性鮮明的結構性認識，才能幫助學生完整地經歷由淺入深、由一般到具體的思維過程，真正學會學習。

從整體結構來看，蘇教版三上《分數的初步認識》一課是對數概念的擴展，是典型的“種子課”。教師教學時需要讓學生結合具體情境理解幾分之一，感知分數能表示部分和整體之間的關系，也能表示具體數量，體會平均分在分數中的特定價值，能比較幾分之一的大小，為后續(xù)相關內容的學習做好孕伏。教學應從經驗出發(fā)，依循知識結構組織教學內容，促使學生主動加工數學活動經驗，通過再創(chuàng)造生成深層認知，學會數學地思維。

一、生活→數學：超越技能進入思維層面

由學生熟悉的情境引入教學，基于學生在生活中對“量”的感知抽象出數的概念，這符合知識的邏輯結構和學生的認知順序。教材從“半個”切入分數教學。“半個”是二分之一個，表示具體數量；二分之一表示把一個整體平均分成兩份，其中的一份與這個整體之間的關系。

（一）通過語言轉換生活現(xiàn)象，激活數學思維

半個是一個的一半——量與率的轉換。語言是思維的物質外殼。通過語言轉換，促使學生從感性體驗走向深層認知。依據情境圖提供的信息，學生主動將每種食品均分給兩位小朋友（每人2瓶礦泉水、1個蘋果、半個蛋糕）。針對均分結果，教師提出問題：每人分得的礦泉水、蘋果都能用具體的數量表示，半個蛋糕是什么意思？通過課件演示將一個蛋糕分成大小不等的兩半，激發(fā)學生的認知沖突，明確半個是平均分得到的。然后演示均分過程，讓學生指出“半個”在哪里、有幾個“半個”。這一環(huán)節(jié)表面上是判斷“半個”量的大小，實質上是滲透“半個”與“一個”之間的關系。接著引導學生看圖思考：半個蛋糕就是這一個蛋糕的……有了前期鋪墊，學生很快就得出“半個就是一個的一半”。看似是生活經驗之間的轉換，實際上是“二分之一個是一個的二分之一”從量到率的數學轉換，激活了學生的數學思維。

（二）再創(chuàng)造兼容數學史，催生理性思維

尋求“二分之一”的本質特征時，教師借助蛋糕圖，讓學生體會“一個的一半”比“0”大且比“1”小，無法用整數表示，可以通過畫圖表征進行再創(chuàng)造，如將實物圖或平面幾何圖形（線段圖、長方形、正方形、圓形等）均分成兩份后涂出一份來表示。接著引導學生對比發(fā)現(xiàn)，“平均分、分2份、取1份”是這些表征的共性，亦即二分之一的內涵。超越表征技能，揭示“具有這些特征的一半用二分之一表示”成為必然，再融入數學史介紹二分之一的由來，以此固化學生新生長出的數學思維。

二、經驗→思維：超越具體提升思維品質

通過回顧反思、溝通聯(lián)系、歸納總結、優(yōu)化認知等思維分析活動，加工、改造數學活動經驗，學生更容易理解和掌握數學本質，體會普遍的思維模式或方法策略。

（一）改造經驗，構建知識思維雙結構

數學學習不是數學活動經驗的簡單累積，需要教師設置適切的問題，引導學生自覺、主動地對自己獲得的經驗進行加工改造，從而實現(xiàn)知識與思維的雙建構。

1.核心問題引領，回顧反思促理解。

分子“1”表示均分多份中的任意一份。任何類型的思維守則都在于掌握和恰當地運用一系列合適的提問，啟發(fā)和引領學生的思維。受直覺思維的影響，學生常會錯誤地認為“分子1”表示“1個蛋糕”。因此，借助多種表征的共性介紹“這樣的一半用二分之一表示”后，教師及時組織學生觀察思考：現(xiàn)在知道“這樣的一半”為什么用二分之一表示了嗎？依據直觀表征，學生明晰了“二分”就是平均分成兩份，“之一”就是兩份中的任意一份。問題引領彰顯個體思維，促使學生將感性經驗提煉成理性認識，深度構建出了分子的意義（表示選取的份數）。

對二分之一的理解從具體向一般性過渡。核心問題能驅動學生遵循知識邏輯結構加工數學活動經驗，使得新知與已有的知識、經驗建立同化或順應關系，提升學生的思維品質。針對“蛋糕的一半就是蛋糕的二分之一”，教師要求學生思考：蛋糕的二分之一是什么意思？在回顧反思中歸納總結：把一個蛋糕平均分成兩份，每份都是它的二分之一。引發(fā)學生再思考：這句話中的關鍵詞是什么？“每份”“它的”指的是什么？問題鏈推動學生深度思考，讓學生感受“平均分”在分數中的重要性，體會分子“1”與單位“1”（1個蛋糕）之間的聯(lián)系與區(qū)別。教師繼續(xù)引發(fā)學生思考：還能找到其他的二分之一嗎？能說說什么是二分之一嗎？推動學生對二分之一的理解從具體形象思維向一般性思維過渡，為其認識幾分之一做好經驗遷移準備。

2.結構化聯(lián)系，儲備后續(xù)學習經驗。

統(tǒng)一量與率的關系，為后續(xù)學習做好孕伏。教師要注意從整體上分析思考相關聯(lián)的各個教學內容，把握它們各自的邏輯關系及其相互間的內在聯(lián)系，精致化處理每個教學細節(jié)，相機為學生播下思維的“種子”。“分數的初步認識”涵蓋了量與率的關系，既為高段學習“分數的意義”積累感性經驗，也對“分數與除法的關系”的教學影響深遠。當學生理解了二分之一，能厘清分子“1”和單位“1”（1個物體/圖形）的區(qū)別后，教師可以借助具體情境組織學生思考：用二分之一表示（這樣的）“一半”，那“半個”該怎樣表示？通過交流明確：“半個”就是二分之一個；二分之一個是一個的二分之一。量與率的統(tǒng)一，為學生建構整體知識結構奠定了基礎，使得具體思維方法更具有普適性。

（二）超越技能方法，生長高階思維

要將具體認知上升到一般性的數學思維，教師應注意引發(fā)學生更為深刻的思考，促進他們超越表象認識數學本質，提升思維品質。

1.操作體驗，歸納總結見真知。

在數學操作中，教師應注意引導學生加深體驗，在體驗中歸納思考，尋求正確的邏輯結構，力求建構準確的認知，促進思維發(fā)展。學生通常會用對邊折或對角折的方法找到正方形紙的二分之一。教師可以引導學生比較兩種不同的折法，并思考：每份形狀不同，為何都用二分之一表示？進而發(fā)現(xiàn)“折法不同，每份形狀不同，卻都表示均分的兩份中的一份”，充分凸顯平均分在分數中的價值。

2.透視表象，優(yōu)化認知促生成。

在動手操作及直觀體驗的基礎上，引導學生對初步形成的技能、方法進行對比優(yōu)化，突破淺層認知，觸及數學本質，有助于促進學生的思維向高階發(fā)展。出現(xiàn)兩種折法后，教師可以啟發(fā)學生探究其他折法，在他們發(fā)現(xiàn)用不同的折法也可以得到兩個同樣大的梯形后，引導他們說明其中是否也有二分之一。接著，教師用課件演示幾種不規(guī)則的平均分，鼓勵學生找出并解釋二分之一的意義。有了采用非對折方法尋找二分之一的體驗，學生才能突破表象的桎梏，領悟“平均分”的深層含義：任一形狀，只要平均分成兩份，每一份都能用二分之一表示。

三、指導→自主：超越引領學會學習

數學教育不僅要培養(yǎng)和訓練學生的思維能力，還要促進學生逐步從教師指導下的學習轉變?yōu)樽杂X學會學習，并能通過數學學習學會思維。因此，教師要注意處理好教學中“引”與“放”的關系。

（一）引發(fā)生活經驗先行猜測

生活經驗告訴我們：平均分的份數越多，每一份就越小。教師教學時應注意鼓勵學生根據已有經驗先行“動腦”判斷，感受數學知識的邏輯結構后再動手操作驗證。比較幾分之一的大小，可以先讓學生說說“在這個蛋糕上還可以找到幾分之一，分別表示什么意義”，并根據學生的回答引發(fā)其思考：分數是個數，就會有大小之分。那么，蛋糕的幾分之一最大？學生根據分蛋糕的經驗得出“平均分的份數越多，每一份就越小”“二分之一最大”。接著，教師引導學生憑借經驗完成對幾分之一大小的預判。

（二）放手讓學生自主思考研究

“同樣大的圓片”是比較分數大小的前提。以生活體驗促進學生展開數學思維，建立完備的知識思維雙結構，需啟發(fā)學生“數學地思考”。教學時，教師可以引導學生先在各自同樣大的圓片上創(chuàng)造不同的幾分之一，驗證“平均分的份數越多，每一份就越小”，并用數學事實證明幾分之一中二分之一最大，加深學生對分數的理解。然后，引導學生通過交流組內各不相同的圓片，發(fā)現(xiàn)：大小不等的圓片上有相同的分數，同一個分數在不同的圓片上大小不等。隨后，啟發(fā)學生深度思考：分數的大小比較是否需要條件？進而得出“同樣大小的物體或圖形”是“平均分的份數越多，每一份就越小”的前提，也是本節(jié)課比較幾分之一大小的默認前提。

綜上可知，幫助學生遵循知識的邏輯結構建立優(yōu)質的認知結構，需要從整體上深度研讀教材，依據學生實際重構教學內容，設置核心問題啟發(fā)引領，用聯(lián)系的觀點締結相關知識的內部邏輯，才能讓學生超越具體的知識技能深入到思維層面，學會數學地思維，生成一般性的思維策略，真正成為學習的主人。