磁流變彈性體基聲子晶體的彈性波可調拓撲傳輸研究

李潘玉 ， 游世輝 ,2， 李 維 ， 曾憲任 ,3， 張圣東 ,3

(1. 湘潭大學 土木工程與力學學院， 湖南 湘潭 411105； 2. 棗莊學院 機電工程學院， 山東 棗莊 277000；3. 九江學院 機械與材料工程學院， 江西 九江 332005)

量子霍爾效應[1-2]、量子自旋霍爾效應[3-4]和拓撲絕緣體[5-7]的發現為研究者們在凝聚態物理中探索新的拓撲狀態打開了新的大門，并刺激了人們尋找類似的拓撲系統。隨著超材料的興起，聲學超材料在聲波的精確控制[8]、聲學拓撲絕緣體[9]、聲學拓撲隔離器[10]、拓撲谷傳輸[11]等方面的探索引起了廣大學者的高度關注。這些拓撲邊界保護特性不受邊界缺陷和材料雜質的影響，形成拓撲邊界的一種方法是引入有源分量或外場等打破時間反演對稱性[12-14]，或者旋轉陀螺儀打破時間反演對稱性[15]；另外一種是類比量子自旋霍爾效應實現拓撲邊界態[16-17]，Lu等就利用量子谷霍爾效應通過打破空間對稱性來實現聲波的拓撲谷傳輸。2015年，Xiao等[18]利用能帶反轉和拓撲相變，首次在聲學系統中引入拓撲概念，構造了結構中心截面鏡像對稱的圓管狀聲子晶體，并通過改變結構參數來實現禁帶的拓撲性質的變化，發現了在兩種不同拓撲性能的聲子晶體組合的邊界處有界面態的存在；同年，Wang等[19-20]通過打破超材料板的空間反演對稱性，實現了對稱和反對稱蘭姆波二重簡并能帶打開—閉合—再打開的能帶反轉的拓撲相變過程；2016年，Lu等[21]首次在基于聲子晶體研究領域中引入電子系統中的谷態的概念，通過旋轉具有C3v對稱性的元胞來構建谷自旋，達到實現量子谷自旋霍爾效應類比；同年，陳延峰課題組構造了鋼柱—空氣聲子晶體，找到了Γ點處的偶然雙狄拉克點并通過調整鋼柱半徑實現了能帶反轉；2017年，Zhang等理論證明了在不加流速背景下通過聲子晶體構造聲學贗自旋偶極子和四極子，實現了聲波的拓撲傳輸；同年，Vila等[22]設計了二維彈性六角晶格,采用模擬和實驗的方法，通過不同節點上引入質量差，成功地打開了位于布里淵區中k點的狄拉克點，并觀測到了不同構型的元胞界面處的邊界態。

然而傳統的聲學超材料在結構設計完成后不具有帶隙可調的性質，因此無法滿足不同工作環境的要求，限制了其應用范圍。隨著對超材料的研究更加深入，帶隙可調的聲學超材料成為了研究者們熱衷研究方向。Goffaux等[23]通過旋轉二維聲子晶體中的正方形散射體的角度對帶隙的寬度進行調控；Wang等[24]通過調節以為方柱形波導的方柱幾何尺寸調節帶隙；Peng等通過改變晶格與散射體形狀來調節帶隙.；Zhou 等[25]提出了多包覆層局域共振單元結構,并討論了包覆層數量及厚度對帶隙的影響。以上方法的局限性在于聲學超材料制備完成后無法對帶隙實現主動調控，智能材料的引入實現了對聲學超材料參數的主動調控。Yeh[26]以電流變彈(electrorheological elastomer)材料作為基體，環氧樹脂作為散射體組成二維聲子晶體，通過研究發現外加電場對帶隙的寬度和位置產生影響；Yang等[27]設計了薄膜聲學超材料,用薄膜上電極與另一側網狀電極構成電容器,通過調節電容兩端電壓改變薄膜的共振頻率和相位從而實現聲波傳輸過程中帶隙的主動調節；磁流變彈性體(magnetorheological elastomer，MRE)是由柔軟彈性基體嵌入磁性顆粒制成的智能材料，具有實時響應、可逆性好和結構簡單等優點[28-29]。這種材料能承受大應變和表現出磁彈性效應，如磁致應力、變形和模量的變化。目前，磁流變彈性體已經應用于聲子晶體和超材料。Chen等[30]將MRE薄膜覆蓋于鋁制環上設計了一種磁—聲超材料，Xu 等[31]使用MRE 包覆層共振單元實現了三維局域共振聲學超材料的設計，兩者均可以通過改變外部磁場調節聲學超材料的頻率帶隙；劉少剛等[32]使用MRE設計了單、雙包覆層的聲學超材料元胞結構,也可通過磁場改變調節帶隙以及傳輸譜特性。Wu等[33]計算了二維環氧樹脂中嵌入磁流變彈性體材料聲子晶體的能帶結構；Xu等[34-36]研究了由磁流變彈性體和方鉛柱組成的二維聲子晶體中波的能帶結構，基于二維聲子晶體模型設計了周期排列的磁流變隔振支座，采用有限元法研究了彈性波傳輸特性和振動能量分布，結果表明通過外加磁場可以調控帶隙寬度和頻率位置；還研究了在不同變形和外加磁場作用下多孔磁流變彈性體聲子晶體的能帶結構。Bayat 等[37-38]通過在磁流變彈性體板上設置周期排列的圓柱孔或周期交替的正交橢圓柱孔，構成一種磁場可調的聲子晶體板，結果表明外加磁場對帶隙寬度和頻率位置有顯著的影響。

雖然研究者們在聲學拓撲絕緣體和聲子晶體帶隙的主動調控方面都做出了深入的研究并取得了大量的成果，但是在彈性波拓撲通道的非接觸式智能調控的研究卻比較少。本文在前人研究的基礎上，通過用磁流變彈性體作為基體材料，鐵質的三腳桿作為散射體，通過構造谷贗自旋態能帶反轉，在k點必然簡并狄拉克點的兩條能帶間實現了拓撲相變，通過利用拓撲相變導致的拓撲邊界態實現了彈性波的精確引導，并可以通過對外加磁場強度的調節完成對拓撲傳輸通道頻率范圍的非接觸式調控。

1 模型與方法

1.1 聲學超材料結構

1.1.1 材料參數

本文使用的硅橡膠密度ρs=800 kg/m3，拉梅常數λ=24.67 MPa，μ=0.772 MPa，磁流變彈性體材料計算采用經典的磁偶極子模型，橡膠和鐵粉顆粒密度分別為ρr=1.2×103kg/m3，ρFe=7.89×103kg/m3,泊松比取0.47[39]，外磁場作用下MRE材料剪切模量按照式(1)變化[40-41]。

(1)

表1 三腳桿散射體材料參數表Table 1 Material parameters of tripod scatterer

1.1.2 元胞結構

如圖1，定義晶格常數a=1 cm，圖1(a)中等邊三角形與菱形的邊長為l=p×a(參數p用來改變元胞的填充率,文中不說明的情況下默認p=0.25)，通過去除圖1(a)中的兩個三角形和兩個菱形得到圖1(b)中的聲學超材料元胞結構。散射體為三腳桿，在基體中以六角晶格排列，三腳桿寬度w=0.05 cm，桿長h=0.23×l。

(a)

1.2 有限元法和平面波展開法

有限元法基于集中質量法思想[42]，將連續介質中的質量集中到有限的點或者面上，將無限自由度轉化為有限自由度求解。能帶結構的計算收斂性不受聲子晶體中不同介質彈性常數差的影響，在計算大彈性常數差聲子晶體能帶結構擁有比平面波展開法等其他方法更高的計算精度和較好的收斂性。本文使用多物理場仿真軟件COMSOL Multiphysics對聲學超材料的能帶結構進行計算以及對拓撲邊界態的頻域傳輸現象進行仿真，圖2為聲子晶體元胞的離散集中質量示意圖，引入了547個集中質量，邊界上的格點是周期性分布的，以便于周期性邊界條件的引入。為了在COMSOL Multiphysics計算元胞能帶過程更方便的進行參數化掃描，定義參數k范圍為0～3，將0～1定義為覆蓋不可約布里淵區M-K邊緣的波數；1～2定義為覆蓋K-Γ邊緣的波數；2～3定義為Γ-M邊緣的波數。

平面波展開法利用晶體結構的周期性，將彈性系數和密度等參數按照傅里葉級數展開，結合Bloch定理，將彈性波波動方程在倒矢空間以平面波疊加形式展開，將波動方程轉化為求解本征值問題，從而得到能帶結構[43]。平面波展開法在計算固/固聲子晶體能帶結構已經非常成熟，具體求解可以參考文獻[44]，本文在2.4節中應用基于MATLAB平臺的平面波展開法來計算不同磁場強度下拓撲通道傳輸頻率驗證了有限元法計算結果的準確性。

圖2 離散集中質量思想示意圖(547個集中質量)Fig.2 Discrete concentration mass method diagram(547 concentrated masses)

2 計算結果與討論

本章2.1～2.3節首先通過對無外加磁場下元胞、超元胞色散關系以及其構成的拓撲邊界態的研究，證實了設計結構中彈性波拓撲傳輸通道的存在性，接著在2.4節中研究了通過外加磁場來改變聲子晶體基體材料—磁流變彈性體的剪切模量來實現彈性波拓撲傳輸頻率范圍的非接觸式主動調控；在2.5節中研究了對于彈性波拓撲傳輸的其他被動調控的方式。

2.1 元胞色散關系與能帶反轉

通過有限元法計算圖1元胞的色散關系如圖3，圖中圓圈標記的點為受元胞結構和晶格對稱性保護的K點必然簡并狄拉克點。通過旋轉元胞中單個散射體三腳桿以一定的角度α(文中沒有特別說明的情況下α=25°)，打破元胞的鏡像對稱性，獲得分離不同拓撲相的可控帶隙，狄拉克點打開并在第8、第9條能帶之間形成禁帶。通過以兩種相反的方式打破元胞的空間對稱性如圖4，并計算其色散關系如圖5、圖6，繪制出兩種不同破壞對稱性方式形成的禁帶上下邊界位移場與受力(圖7)，圖7(a)為圖4(a)破壞方式形成禁帶的上邊界對應的位移場與受力，可以看到旋渦具有順時針的手性；圖7(b)為圖4(a)破壞方式形成禁帶的下邊界對應的位移場與受力，旋渦具有逆時針的手性。圖7(c)、圖7(d)分別對應圖4(b)破壞方式形成禁帶的上下邊界位移場與受力，其上邊界旋渦具有逆時針的手性，而下邊界具有順時針手性；可以判斷從k點簡并狄拉克點從打開—閉合—打開，第8、9能帶之間發生了能帶反轉。為了進一步證明8、9能帶之間發生了能帶反轉，參照文獻[45]引入了非零谷陳數的觀點。通過k·p微擾法，可以得到有效哈密頓量

(2)

(3)

那么，可以通過積分布里淵半區的局部Berry曲率來計算能帶的拓撲電荷

(4)

圖3 聲學超材料元胞能帶圖Fig.3 Band diagram of acoustic metamaterial cell

(a) 左三腳桿逆時針旋轉α

圖5 圖4(a)元胞對應的能帶圖Fig.5 Band diagram corresponding to the unit cell of Fig.4(a)

圖6 圖4(b)元胞對應的能帶圖Fig.6 Band diagram corresponding to the unit cell of Fig.4(b)

2.2 超元胞拓撲邊界態確定

定義圖4(a)為P型元胞，圖4(b)為Q型元胞，在COMSOL軟件中分別研究如圖8的兩種類型的超元胞，在固體力學模塊下將超元胞模型的上邊界與下邊界設置為周期性邊界條件，其他邊界設置為自由邊界進行模擬計算。基于2.1節的能帶反轉導致的拓撲邊界態，通過繪制兩種類型的超元胞能帶圖，發現在P×5+Q×5型雜化超元胞頻率為2 223 Hz與2 345.4 Hz處(圖10中實線線框標記)出現了拓撲邊界態，而這種邊界態在P×10型超元胞能帶圖(圖9)中是沒有出現的。由邊界態對應的位移場圖與能流圖(圖11)可以看出，在兩種不同的元胞結合的邊界處發生明顯的響應，而其他位置的響應被抑制，且高頻處的旋渦與低頻處的方向相反，進一步證明在兩種不同類型元胞的交界處存在拓撲邊界態。

P×10型超胞

P×5+Q×5型超胞

圖9 P×10型超元胞能帶圖Fig.9 Supercell band diagram of P×10

圖10 P×5+Q×5型超元胞能帶圖Fig.10 Supercell band diagram of P×5+Q×5

2.3 彈性波的拓撲通道傳輸

利用拓撲邊界態設計如圖12(a)的直線型彈性波拓撲傳輸通道，在通道的一端用線激勵激發頻率響應，通道另外一端設置檢測端口，通過在COMSOL中進行頻域仿真計算，發現在拓撲邊界的頻率范圍內，彈性波在設計的拓撲通道內無散射定向的傳播，通過計算透射譜(圖12(b))，得出彈性波在拓撲邊界態范圍內的傳輸損失比較小，這也證明了拓撲邊界態通道對背散射基本抑制的定向傳播。為了進一步說明拓撲通道的傳輸特性，設計如圖13(a)的Z型通道，在通道一端設置線性激勵，通過頻域仿真與透射譜計算，可以發現邊界態范圍內的彈性波可以很好的繞過轉角，沿著Z通道繼續向前傳播，而且透射率(圖13(b))基本沒有受到轉角的影響。圖14為兩種不同路徑下彈性波傳輸位移圖，通過在Z通道中間位置設置頻率為拓撲邊界對應的頻率值激勵得到圖14(c)與14(d)對應的位移場分布情況，表明了基于拓撲邊界的彈性波拓撲通道的單向傳播特性。

圖11 拓撲邊界態位移場與受力圖Fig.11 Displacement field and force diagram of topologicalboundary state

(a) 直線型彈性波拓撲通道模型

(a) Z型彈性波拓撲通道模型

(a) 直線通道彈性波傳輸位移圖

(c) Z型通道彈性波傳輸位移圖

為了說明拓撲邊界態對于缺陷的免疫特性，分別在直線通道和Z型通道中引入缺陷(如圖15)，然后再次對通道在拓撲邊界態范圍內的頻率傳輸進行仿真計算，由繪制的位移圖與透射譜(圖16)可以發現，即使通道存在物理缺陷，但是對于彈性波的傳輸幾乎沒有影響，由此可以證明拓撲傳輸通道對于缺陷具有免疫性。

(a) 引入缺陷直線拓撲通道透射譜

2.4 拓撲通道傳輸頻率范圍的非接觸式主動調控

通過改變外加磁場強度的大小對磁流變彈性體基體的剪切模量進行調控，以達到對于拓撲通道傳輸頻率范圍的非接觸式智能調控。通過用有限元法和平面波展開法計算0～800 A/m磁場強度下拓撲通道傳輸頻率，兩種方法計算結果(圖17)基本一致，誤差在20 Hz以內。由計算結果發現隨著磁場強度的增加，磁流變彈性體基體的剪切模量增加，拓撲通道的上下邊界頻率均向高頻移動，禁帶寬度也隨著磁場強度的增加而變寬(圖18)，通過這種變化關系可以對彈性波拓撲傳輸狀態進行智能調控。為了進一步證實磁場強度對于拓撲通道傳輸頻率的主動控制性，通過計算直線型拓撲通道與Z型拓撲通道在不同磁場強度下的透射譜(圖19、20)，發現拓撲通道傳輸頻率對應的部分隨著磁場強度的增加向高頻移動，傳輸頻率范圍也隨著磁場強度增加而增加。

圖17 磁場強度與拓撲通道傳輸起止頻率關系

圖18 磁場強度與拓撲通道傳輸頻率范圍關系

圖19 不同磁場下直線型拓撲通道彈性波傳輸透射譜

圖20 不同磁場下Z型拓撲通道彈性波傳輸透射譜

2.5 拓撲通道傳輸頻率范圍的被動調控

通過COMSOL研究了三腳桿旋轉角度、三腳桿材料密度、填充率等對拓撲通道傳輸頻率的影響，可以為給定傳輸頻率范圍拓撲聲子晶體的結構設計提供參考。

2.5.1 三腳桿旋轉角度對拓撲通道傳輸頻率的影響

通過計算三腳桿旋轉轉角從0°～60°的能帶圖并繪制拓撲通道上下邊界的頻率變化圖如圖21，發現隨著轉角的增大，帶隙上邊界向高頻移動，帶隙下邊界朝低頻移動，禁帶的寬度也隨著轉角的增大而增大；但當轉角超過26°以后，帶隙上邊界頻率開始朝低頻移動，禁帶寬度也隨之變窄。

圖21 三腳桿旋轉角度與拓撲通道傳輸起止頻率的關系

2.5.2 三腳桿材料密度對拓撲通道傳輸頻率的影響

改變三腳桿散射體的密度也會對形成的拓撲通道傳輸頻率范圍產生影響。將三腳桿的材料分別設置為表1中的材料，其他參數不作改變。計算不同材料作為散射體時元胞的色散關系并繪制拓撲通道起止頻率隨密度的變化關系圖，可見隨著三腳桿材料密度的增加，拓撲通道傳輸頻率范圍整體向低頻移動，且帶隙下邊界的下降趨勢大于上邊界，帶隙寬度增加。

圖22 三腳桿材料密度與拓撲通道傳輸起止頻率的關系

2.5.3 填充率拓撲通道傳輸頻率的影響

先保持參數p=0.25不變的情況下通過改變三腳桿的寬度增加填充率，計算色散關系并繪制禁帶上下邊界與三腳桿寬度的變化關系如圖23，可以看出隨著三腳桿的寬度增加，填充率變大，禁帶起止頻率朝高頻移動，禁帶寬度也隨著增加，當填充率達到0.1(w=0.093 cm)以后，禁帶寬度隨著填充率增加而減小。然后保持w=0.05 cm不變，通過改變參數p的大小改變填充率，計算色散關系并繪制禁帶起止頻率與參數p之間的關系圖(圖24)，可以看出，隨著p增加，填充率增加，禁帶起止頻率整體朝高頻移動，禁帶寬度增加，當填充率達到0.1(p=0.28)以后，禁帶寬度開始隨著填充率的增加而減小，與改變w得出結論一致。

圖23 三腳桿寬度與拓撲通道傳輸起止頻率的關系

3 結 論

(1) 設計了一種以磁流變彈性體作為基體，鐵質三腳桿為散射體的聲學超材料元胞結構，通過旋轉單個三腳桿的角度，打破了其空間對稱性，模擬了量子谷霍爾效應，使k點簡并的狄拉克點完成了打開—閉合—打開的過程，實現了不同谷贗自旋之間的能帶反轉，從而發生拓撲相變，并通過引入非零谷陳數的觀點驗證了k點簡并打開并產生了谷贗自旋態。

圖24 參數p與拓撲通道傳輸起止頻率的關系

(2) 利用拓撲邊態設計了直線型和Z型彈性波拓撲傳輸通道，通過仿真計算證明了拓撲通道對彈性波傳播的背散射基本抑制和對缺陷免疫的傳輸特性，實現了對彈性波的精確引導；可以根據實際需要設計不同的彈性波傳輸路徑，使彈性波繞過受保護的對象，也可以使彈性波高效傳輸至指定目標,在降噪及減振方面有著廣闊的應用前景。

(3) 可以通過改變外加磁場強度大小來改變磁流變基體材料的剪切模量以達到對拓撲通道的傳輸頻率范圍進行非接觸式主動調控。磁場強度增大，可傳輸頻率范圍朝高頻移動，并且可傳輸頻率范圍隨著磁場強度的增大而增加，可以適應復雜環境下的多種噪聲及振動的控制要求。

(4) 通過研究三腳桿的旋轉角度，材料密度以及填充率與拓撲通道傳輸頻率范圍之間的關系，可以為彈性波拓撲通道傳輸頻率的被動調控提供相應的參考。