冗余混聯(lián)式鉆鉚機(jī)床姿態(tài)調(diào)整軌跡優(yōu)化

潘國威 陳文亮

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京，210016

0 引言

相比傳統(tǒng)手工鉆鉚，自動化鉆鉚裝備集制孔、锪窩、鉚接和檢測等功能于一體，易于保證飛機(jī)裝配鉆鉚精度的穩(wěn)定性，越來越多地被用于飛機(jī)制造過程中。常見的自動化鉆鉚裝備有基于工業(yè)機(jī)器人的鉆鉚系統(tǒng)和專用自動鉆鉚機(jī)床兩種類型。相比基于工業(yè)機(jī)器人的鉆鉚系統(tǒng)，專用自動鉆鉚機(jī)床具有剛度高、精度高和工作空間大等特點[1]。專用自動鉆鉚機(jī)床通常包含串聯(lián)形式的上下加工末端執(zhí)行器和并聯(lián)形式的調(diào)姿托架[2]，在飛機(jī)壁板鉆鉚過程中，通過并聯(lián)托架實現(xiàn)壁板姿態(tài)調(diào)整，而串聯(lián)結(jié)構(gòu)的上下末端可實現(xiàn)較大范圍的壁板鉆鉚[3]。專用自動鉆鉚機(jī)床可等效為一種由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺上連接串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成且含有冗余自由度的混聯(lián)機(jī)構(gòu)。冗余自由度一方面提高了裝備鉆鉚任務(wù)的適應(yīng)性，另一方面冗余自由度引起的多種可行鉆鉚姿態(tài)增加了軌跡規(guī)劃的復(fù)雜程度。因此，如何充分利用冗余混聯(lián)特性優(yōu)化姿態(tài)調(diào)整軌跡，成為提高自動鉆鉚機(jī)床加工效率、保障飛機(jī)壁板鉆鉚質(zhì)量的關(guān)鍵。

運(yùn)動學(xué)模型是實現(xiàn)自動鉆鉚機(jī)床姿態(tài)軌跡規(guī)劃和控制的基礎(chǔ)。近年來，以李群和李代數(shù)為基礎(chǔ)的旋量理論在機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)建模領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。旋量理論通過研究空間直線的運(yùn)動及其引起的末端位姿變化的幾何代數(shù)描述[4]獲得機(jī)構(gòu)運(yùn)動的描述，它在全局坐標(biāo)系下描述剛體的運(yùn)動，無需在每個軸上建立局部坐標(biāo)系[5]，有利于建立統(tǒng)一的機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型，同時避免了局部坐標(biāo)系描述帶來的奇異性問題[6]。SUN等[7]針對用于飛機(jī)裝配壁板調(diào)姿的混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)進(jìn)行研究，通過旋量方法獲得了運(yùn)動學(xué)逆解。陽涵疆等[8]提出了一種基于旋量理論構(gòu)建混聯(lián)采摘機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程的方法，獲得末端執(zhí)行器的位置正解。由以上文獻(xiàn)可知，旋量方法可以有效地建立并求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型，但是涉及含冗余自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)建模還不多。

自動鉆鉚機(jī)床的冗余混聯(lián)特性使其在復(fù)雜壁板鉆鉚裝配時存在多種滿足鉆鉚任務(wù)姿態(tài)調(diào)整的構(gòu)型[9]。關(guān)于如何優(yōu)選多種加工可行姿態(tài)構(gòu)型，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。張鵬翔等[10]利用六軸聯(lián)動數(shù)控機(jī)床冗余聯(lián)動特點優(yōu)化了加工過程軌跡誤差，提高了工件加工質(zhì)量。ZHU等[11]構(gòu)建了應(yīng)用于飛機(jī)對接環(huán)鉚裝備的運(yùn)動學(xué)模型，利用測地優(yōu)化方式獲得了鉆鉚姿態(tài)調(diào)整策略。曲巍崴等[12]應(yīng)用冗余機(jī)器人的自運(yùn)動特性，以剛度最優(yōu)為目標(biāo)建立了飛機(jī)鉆鉚加工姿態(tài)調(diào)整模型，改善了鉆鉚加工性能。上述文獻(xiàn)主要通過將工件固定，即固定鉆鉚末端執(zhí)行器的姿態(tài)，通過調(diào)整冗余關(guān)節(jié)的運(yùn)動來實現(xiàn)不同的位姿調(diào)整。鉆鉚過程中將壁板零件定位在并聯(lián)托架上，通過控制并聯(lián)托架實現(xiàn)壁板零件上待鉆鉚孔位的姿態(tài)調(diào)整。針對工件在加工過程中姿態(tài)也可調(diào)整的復(fù)雜情況，徐朋等[13]將冗余鋪絲機(jī)械手的位形空間看作光滑流形，獲得了最優(yōu)化位置和姿態(tài)反解的解耦策略。GAO等[14]采用動態(tài)規(guī)劃方法對含有冗余自由度鋪絲機(jī)的鋪絲軌跡進(jìn)行優(yōu)化求解，提高了鋪絲效率。

自動鉆鉚機(jī)床姿態(tài)調(diào)姿軌跡優(yōu)化是鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)逆解的實際應(yīng)用，對鉆鉚效率、精度及能量消耗具有重要影響。本文針對鉆鉚任務(wù)，基于旋量理論獲得了解析運(yùn)動學(xué)模型；闡述了鉆鉚機(jī)床加工任務(wù)多解原理，并基于此構(gòu)建了調(diào)姿軌跡優(yōu)化模型，利用動態(tài)規(guī)劃方法對該模型進(jìn)行求解；最后通過實驗驗證所提方法的有效性。

1 混聯(lián)冗余自動鉆鉚機(jī)床

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本文研究的混聯(lián)冗余自動鉆鉚機(jī)床由龍門式串聯(lián)結(jié)構(gòu)的上下末端執(zhí)行器和并聯(lián)形式的調(diào)姿托架組成，其中，上下末端串聯(lián)分支的運(yùn)動副分別為PPPR(P為移動副，R為轉(zhuǎn)動副)和PPR結(jié)構(gòu)形式，調(diào)姿托架機(jī)構(gòu)為PS-PPS-2PPPS(S為球副)的非對稱的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。龍門定位系統(tǒng)可帶動上下末端執(zhí)行器在空間中運(yùn)動，保證末端執(zhí)行器鉆鉚的精確定位，調(diào)姿托架用于實現(xiàn)壁板姿態(tài)的精確調(diào)整，如圖1所示。

圖1 混聯(lián)冗余自動鉆鉚機(jī)床Fig.1 The redundant and hybrid ADRM

1.2 冗余特性分析

待鉆鉚壁板的幾何特性及鉆鉚工藝需要混聯(lián)結(jié)構(gòu)形式的自動鉆鉚機(jī)床實現(xiàn)5個自由度(x，y，z，α，β)的姿態(tài)調(diào)整能力。根據(jù)自動鉆鉚機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式，上末端的自由度M1=4，即(X1，Y1，Z1，A1)；下末端的自由度M2=3，即(X2，Y2，A2)；并聯(lián)調(diào)姿托架具有繞A3軸、B3軸轉(zhuǎn)動和沿Z3向移動3個自由度，即(A3，B3，Z3)，如圖2所示。由于完成鉆鉚任務(wù)時，鉆鉚軌跡規(guī)劃的公共約束為待鉆鉚點位姿，故上下末端和托架之間共同存在的A軸調(diào)整即為自動鉆鉚機(jī)床的冗余自由度，該冗余自由度增加了運(yùn)動學(xué)求解的難度，同時也為姿態(tài)調(diào)整軌跡優(yōu)化提供了可能。因此，針對給定的鉆鉚任務(wù)，如何選擇合理構(gòu)型成為鉆鉚機(jī)床姿態(tài)調(diào)整軌跡規(guī)劃的重點和難點，也是決定鉆鉚效率和質(zhì)量的關(guān)鍵。

圖2 自動鉆鉚機(jī)床自由度結(jié)構(gòu)關(guān)系Fig.2 DOF relationship of the ADRM

1.3 鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)模型

在鉆鉚過程中，為了滿足鉆鉚點的法向姿態(tài)在上下末端的A軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，首先需要通過調(diào)整并聯(lián)托架B軸將待鉆鉚孔位法矢旋轉(zhuǎn)至A軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，然后通過同步調(diào)整并聯(lián)托架各驅(qū)動軸，實現(xiàn)托架平臺在A軸和Z向的自由運(yùn)動。因此，為了便于運(yùn)用旋量方法統(tǒng)一構(gòu)建自動鉆鉚機(jī)運(yùn)動學(xué)模型，在建立運(yùn)動學(xué)模型時將并聯(lián)托架等效為僅有A軸和Z向兩個運(yùn)動自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)。建立圖3所示的坐標(biāo)系，ObXbYbZb為基坐標(biāo)系，簡記為{Ob}；OwXwYwZw為建立在調(diào)姿托架上的工件坐標(biāo)系，簡記為{Ow}；Ot1Xt1Yt1Zt1和Ot2Xt2Yt2Zt2分別為建立在上下末端的坐標(biāo)系，分別簡記為{Ot1}和{Ot2}。從基坐標(biāo)系到上下末端和托架分別形成上末端運(yùn)動鏈、下末端運(yùn)動鏈和工件鏈，分別建立上末端-下末端鏈和下末端-工件鏈。根據(jù)旋量理論[15]，基坐標(biāo)到上下末端和工件坐標(biāo)系間的位姿變換為

(1)

(2)

(3)

圖3 自動鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)結(jié)構(gòu)Fig.3 Kinematic chains of the ADRM

1.4 鉆鉚機(jī)床逆運(yùn)動學(xué)求解策略

運(yùn)動學(xué)逆解是運(yùn)動控制和軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)。根據(jù)式(1)～式(3)所示的自動鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)關(guān)系可以推導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)逆解，但冗余自由度的存在增加了解析求解的難度。為了降低求解難度，首先通過建立式(2)和式(3)所示的下末端-工件鏈模型，求解下末端和調(diào)姿托架的運(yùn)動學(xué)逆解。在此基礎(chǔ)上，通過上下末端的幾何協(xié)調(diào)關(guān)系，獲得上末端的運(yùn)動學(xué)逆解[16]，獲得的反解為

(4)

式中，nx、ny、nz為目標(biāo)位置的法向分量；θA3、θA2分別為托架和下末端的A軸旋轉(zhuǎn)量；l12為托架z1和z2之間的距離；下末端轉(zhuǎn)軸上點PA2坐標(biāo)記為(xA2，yA2，zA2)；θA1為上末端的A軸旋轉(zhuǎn)量；lT1和lT2為上下末端端點到對應(yīng)轉(zhuǎn)動軸間的偏距；上末端轉(zhuǎn)軸上點PA1坐標(biāo)記為(xA1，yA1，zA1)。

綜上，利用旋量方法建立的自動鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)模型僅需知道鉆鉚機(jī)床各軸在{Ob}中的基本幾何信息和各軸的運(yùn)動信息，便可通過運(yùn)動學(xué)模型直接獲得末端執(zhí)行器相對于壁板零件的鉆鉚姿態(tài)，無需對具體的自動鉆鉚機(jī)結(jié)構(gòu)建立局部坐標(biāo)系及其對應(yīng)的矩陣變化關(guān)系，簡化了建模過程。

2 鉆鉚任務(wù)描述

從飛機(jī)鉆鉚離線編程軟件中可以獲得各鉆鉚點的位置和法矢信息，即pi=(xi，yi，zi，ai，bi，ci)T，在每個鉆鉚點建立局部坐標(biāo)系WiXiYiZi，其中Zi為鉆鉚點法矢方向，定義Xi方向為當(dāng)前鉆鉚點和下一個鉆鉚點的連線方向，即Xi=pi+1-pi，Yi方向由右手定律確定。根據(jù)每個鉆鉚點的坐標(biāo)定義方法，Twi為每個鉆鉚點到{Ow}的齊次變換矩陣，鉆鉚任務(wù)可寫成一系列齊次變換：

Tw1→Tw2→…→Twn

(5)

根據(jù)式(5)給定的鉆鉚任務(wù)，冗余自由度的存在使得完成每個鉆鉚點都存在無窮多個可行姿態(tài)，如圖4所示。

圖4 鉆鉚構(gòu)型多解示意圖Fig.4 Infinite variety of configurations for each fastening point

3 鉆鉚姿態(tài)調(diào)整軌跡動態(tài)規(guī)劃求解

為了最大化應(yīng)用自動鉆鉚機(jī)的冗余特性，鉆鉚姿態(tài)軌跡規(guī)劃的過程如下：①建立鉆鉚機(jī)床和待鉆鉚零件三維模型，并對待鉆鉚孔位加工信息進(jìn)行提取和分類；②考慮鉆鉚機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性、運(yùn)動范圍和碰撞等約束條件，在笛卡兒空間中進(jìn)行鉆鉚軌跡規(guī)劃；③通過運(yùn)動學(xué)映射關(guān)系規(guī)劃關(guān)節(jié)空間運(yùn)動；④通過后置處理完成鉆鉚程序的輸出，進(jìn)行鉆鉚作業(yè)[17]，如圖5所示。

圖5 鉆鉚姿態(tài)軌跡規(guī)劃過程Fig.5 The trajectory planning utilizing the redundancy

3.1 笛卡兒空間姿態(tài)調(diào)整動態(tài)規(guī)劃

為了便于在整個鉆鉚過程中發(fā)揮各軸特性，選擇上下末端和托架的協(xié)作工作空間中心安裝定位壁板工件，并選定鉆鉚開始點和結(jié)束點。根據(jù)冗余特性，將每個鉆鉚點的可行連續(xù)解離散化，每個中間點都有多種可行解，將鉆鉚點A軸轉(zhuǎn)動范圍按步長δh離散成m組加工姿態(tài)，根據(jù)離散化結(jié)果，將姿態(tài)調(diào)整軌跡表示為多層全連接結(jié)構(gòu)形式，計算最短姿態(tài)調(diào)整路徑，如圖6所示，則鉆鉚任務(wù)即式(5)的姿態(tài)調(diào)整最優(yōu)鉆鉚點序列為

Wk1，1→Wk2，2→…→Wkn，n

(6)

圖6 可行解空間離散化和全連接層模型Fig.6 Discretized nodes and the multi-layer connected structure

其中，Wki，i為第Wi個待鉆鉚孔位的離散空間中的ki位置。為了充分利用自動鉆鉚機(jī)床冗余特性來調(diào)整加工姿態(tài)，以鉆鉚過程中各運(yùn)動軸的行程最短即能量消耗最少構(gòu)建姿態(tài)調(diào)整優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(7)

圖7 調(diào)姿過程碰撞檢測模型Fig.7 Collision detection model in the posture adjustment

根據(jù)給定的鉆鉚任務(wù)，式(7)的姿態(tài)調(diào)整能量消耗最小問題可以轉(zhuǎn)化為搜索完成鉆鉚點間運(yùn)動各軸的最短路徑問題。最短路徑問題可以通過常規(guī)的A*和Dijkstra等算法求解，但是該類方法在求解壁板零件上有大量待鉆鉚孔位時計算效率較低。另外，增加鉆鉚點時需要對全局進(jìn)行重新優(yōu)化計算，對鉆鉚任務(wù)的柔性適應(yīng)能力不足。動態(tài)規(guī)劃算法[14]通過將待求解的問題分解歸納為更小的、相似的子問題，且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解，最終通過求解子問題產(chǎn)生一個全局最優(yōu)解[18]。鉆鉚過程的順序性使得式(7)可以采用動態(tài)規(guī)劃算法對軌跡姿態(tài)進(jìn)行優(yōu)化求解。定義tki，i為當(dāng)前鉆鉚點Wki，i與起始鉆鉚點Wk，1間的最短姿態(tài)調(diào)整時間，則下一個鉆鉚點Wki+1，i+1與起始鉆鉚點間的最短姿態(tài)調(diào)整時間為

tk，i+1=min(W(k，i)+t(W(ki，i)，W(ki+1，i+1)))

(8)

式(8)稱為鉆鉚姿態(tài)調(diào)整動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。采用動態(tài)規(guī)劃中自頂向下的遞歸算法，通過結(jié)合式(6)～式(8)求解式(5)，獲得笛卡兒空間完成鉆鉚任務(wù)姿態(tài)調(diào)整的能量消耗最小軌跡。

3.2 關(guān)節(jié)空間軌跡光順

由于鉆鉚任務(wù)的特殊性，各鉆鉚點之間的運(yùn)動可以看作點到點的軌跡調(diào)整運(yùn)動。通過獲得的笛卡兒空間最優(yōu)軌跡確定各鉆鉚點在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，以這些鉆鉚點位姿為邊界條件，基于5次多項式對自動鉆鉚機(jī)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡光順[19]：

(9)

式中，tb、tf分別為初始時間和終止時間；qb、qf分別為初始和終止位姿時自動鉆鉚機(jī)各主動關(guān)節(jié)所對應(yīng)的位置。

4 實驗驗證

在冗余混聯(lián)式自動鉆鉚機(jī)床上進(jìn)行鉆鉚實驗驗證。調(diào)姿托架z1到z2距離l12=4420 mm；z2到z3距離l23=1400 mm；上末端執(zhí)行器刀具點與其轉(zhuǎn)動副間的偏距l(xiāng)T1=478.5 mm；下末端頂鉚點與其轉(zhuǎn)動副間的偏距l(xiāng)T2=567 mm。

某無人機(jī)復(fù)材壁板上點1～5為待鉆鉚孔位，在坐標(biāo)系{Ob}下的坐標(biāo)分別為：(250 mm，482.963 mm，129.411 mm，0，0.966，0.259)，(250 mm，304.381 mm，396.677 mm，0，0.609，0.793)，(250 mm，0，500 mm，0，0，1)，(250 mm，-304.381 mm，396.677 mm，0，-0.609，0.793)，(250 mm，-482.963 mm，129.411 mm，0，-0.966，0.259)，其中，R、Q、N和D點為裝配夾持固定點，如圖8所示。由前文可知，在孔1～5

圖8 實驗方案Fig.8 Experiment platform

鉆鉚過程中，自動鉆鉚機(jī)床存在不同的姿態(tài)調(diào)整軌跡。為了對比本文所提方法的有效性，首先將調(diào)整托架固定，此時1～5孔位點僅存在唯一的制孔姿態(tài)，通過設(shè)定各軸的運(yùn)動速度，計算完成1～5鉆鉚孔姿態(tài)的調(diào)整時間為79.2 s。然后，采用考慮自動鉆鉚機(jī)床的冗余特性，設(shè)1～5孔位可行解范圍為±5°，每個孔位選擇m=10進(jìn)行離散化，即增量為1°，利用動態(tài)規(guī)劃方法計算能量消耗最小時的調(diào)整時間為59.8 s，姿態(tài)調(diào)整效率提高24.58%。此時對應(yīng)的各軸的運(yùn)動位置見表1。根據(jù)所獲得的1～5鉆鉚點時各軸的運(yùn)動位置，將其作為關(guān)節(jié)空間軌跡光順的點到點邊界約束，利用多項式方法獲得各驅(qū)動軸的運(yùn)動軌跡。將計算結(jié)果代入自動鉆鉚機(jī)控制系統(tǒng)中，并實時采集各軸運(yùn)動數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果獲得鉆鉚時最優(yōu)調(diào)姿軌跡的各移動軸運(yùn)動速度曲線對比結(jié)果，如圖9所示。由圖9可以看出，各軸運(yùn)動平穩(wěn)，理論計算和實際獲得的移動軸速度誤差小于2 mm/s、轉(zhuǎn)動軸速度誤差小于0.05°/s，且未超出各軸限定范圍，驗證了該算法的有效性。

表1 鉆鉚點對應(yīng)各軸運(yùn)動位置量Tab.1 The motion of each joints of the ADRM

(a) Z1軸速度及誤差曲線

(b) Y1軸速度及誤差曲線

(c) A1軸速度及誤差曲線圖9 關(guān)節(jié)速度理論值和實驗值對比Fig.9 Joints velocity between theoretical and experimental

5 結(jié)論

(1)給出了自動鉆鉚機(jī)床加工時的冗余自由度，通過將并聯(lián)托架等效為串聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用旋量方法建立了混聯(lián)鉆鉚機(jī)床的統(tǒng)一運(yùn)動學(xué)模型，獲得了鉆鉚機(jī)床運(yùn)動學(xué)反解。

(2)針對給定的鉆鉚任務(wù)，闡述了飛機(jī)壁板鉆鉚姿態(tài)調(diào)整軌跡優(yōu)化原理；基于動態(tài)規(guī)劃算法獲得了完成鉆鉚任務(wù)時的最優(yōu)姿態(tài)調(diào)整軌跡，并在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行運(yùn)動軌跡光順，實驗結(jié)果表明，本文方法可有效提高飛機(jī)壁板鉆鉚效率。