具有精確幅值積分特性的正交信號發生器

孫于，李雪，耿嘉一，吳尚

(1.河北工業大學 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300132； 2.中國電工技術學會，北京 100055)

0 引 言

正交信號發生器(quadrature-signal-generator, QSG)可以產生一組較為精準的正交信號，在電網同步[1]、單向功率的瞬時計算[2]以及三相系統的對稱分量提取等場合有著較大的應用潛力以及產業價值[3-5]。其中，運用二階廣義積分器的正交信號發生器(second-order-generalized-integrator based quadrature-signal-generator, SOGI-QSG)來提取正交分量的方法應用最為廣泛，其結構簡單、性能優越[6-11]，在虛擬磁鏈積分[10,12]、機電振蕩估計[13]、無傳感器電機控制[14]等方面發揮著重要的作用。然而，文獻[4]和文獻[15]表明，SOGI-QSG在參數設計以及提取效果方面存在一定的不足與局限性，可以歸納為以下兩個方面。

一方面，由于SOGI-QSG可以表述為2個具有二階特性的傳遞函數，因此其動態性能的分析和設計可以參考典型二階系統的設計思路(second-order-system,SOS)[8,15]。SOGI-QSG的調節時間通常被設定為實際響應與穩態輸出的誤差達到并保持在最終值的2%以內所需要的時間(在某些情況下，使用1%或5%)[16]。該設計方法規則簡潔且易于實現，因此多數研究學者對于SOGI-QSG的參數設計均采用這一規則。然而，與標準SOS不同的是，SOGI-QSG的有源輸入部分并非直流信號而是正弦信號，其同時具有幅值、相位和頻率3個特征量。因此，對于SOGI-QSG而言，其調節時間并不能準確反映系統的實際狀態，導致調節時間失去了實際意義。

另一方面，廣義積分器(generalized-integrator,GI)作為SOGI-QSG的核心[6]，對于正弦信號具有幅值積分特性[17]，即當二階廣義積分器(second-order-generalized-integrator,SOGI)的諧振頻率與輸入信號頻率相同時，其工作特性與一階系統(first-order-system,FOS)中純積分器的直流積分特性一致，因此可以從FOS的角度理解SOGI-QSG。然而，文獻[17]表明，GI會受到輸入信號初始相位的影響，使其積分特性不穩定。當輸入信號的初始相位為0時，其積分效果與FOS一致，可以實現交流信號的精確跟隨；但當其初始相位不為0時，GI將不再是一個精準的幅值積分器(magnitude-integrator,MI)，因此SOGI-QSG的準確性也將嚴重下降。文獻[18]提出了降階廣義積分器(reduced-order generalized integrator,ROGI)的概念，將GI分解為正序MI以及負序MI，并分別對兩個MI進行設計，從而一定程度上消除了初始相位的影響。然而，由于其復雜的矢量表達式，使得ROGI在單相系統中不易實現。

為了能夠獲取精準的正交信號，并且能參考FOS的動態過程來設計簡單且易于實現的應用要求，本文在SOGI-QSG的基礎上提出了一種基于精確幅值積分器的正交信號發生器(accurate-magnitude-integrator based quadrature-signal-generator,AMI-QSG)。與SOGI-QSG相比，AMI-QSG具有更清晰的結構和概念，同時可以實現直流抑制以及諧波提取。

本文首先從FOS的角度對SOGI-QSG的原理進行闡述，并指出其在參數設計以及實際應用中存在的問題。在此基礎上，提出了可以精確獲取正交信號的AMI-QSG。其次，為了更好的應對實際應用中的問題，進一步對其結構進行改進，在得到正交信號的同時，實現直流分量的抑制以及諧波分量的提取。最后，實驗驗證所提出AMI-QSG的優良性能。

1 SOGI-QSG的原理及問題分析

1.1 FOS角度分析SOGI-QSG

圖1為標準FOS的結構框圖，由于純積分器對直流信號具有無窮大的增益，因此其輸出可以跟隨直流輸入，使其穩態誤差為0。FOS的閉環特性與低通濾波器相同，傳遞函數為

圖1 標準一階系統(FOS)框圖Fig.1 Block diagram of the standard first-order system (FOS)

F(s)=kdc/(s+kdc)。

(1)

其中kdc為一階系統的增益。

為了更好的實現對交流信號的跟隨，可以用SOGI取代FOS中的純積分部分，從而得到SOGI-QSG結構[19]，如圖2所示。GI是SOGI-QSG的核心構件，其傳遞函數[8]為

圖2 基于二次廣義積分器的正交信號發生器(SOGI-QSG)的結構框圖Fig.2 Block diagram of the second-order generalized integrator based quadrature signal generator (SOGI-QSG)

(2)

該結構的輸出信號v′以及qv′分別為輸入正弦信號的同相信號和正交信號，兩個正交分量的傳遞函數分別為：

(3)

(4)

圖3 GI-QSG的結構框圖Fig.3 Block diagram of the GI-QSG

為了觀察GI-QSG和FOS的響應過程，圖4和圖5分別給出了FOS對階躍信號的響應以及GI-QSG對正弦信號的幅值階躍響應。階躍響應的表達式為

v′(t)=A(1-e-tkdc),t≥0。

(5)

其中包括與輸入信號大小相等的穩態項以及由kdc決定時間常數的指數衰減項。在FOS中，將t=4T=4/kdc時刻定義為該系統的穩態時間ts，則由式(4)可以計算出，在4T時刻系統的誤差為1.83%，如圖4所示。在GI-QSG中，輸入信號為一定頻率的正弦信號，從圖5的仿真對比結果可以看出，GI-QSG的幅值響應與FOS的階躍響應并不能實現理想的同步。因此，為了能夠更好的參考FOS的動態響應的設計準則來設計GI-QSG的參數，還需對GI-QSG的動態響應存在的問題做進一步分析。

圖4 FOS階躍響應Fig.4 Step response of the FOS

圖5 GI-QSG正弦信號的幅值階躍響應Fig.5 Magnitude step response of the GI-QSG for sinusoidal signal

1.2 GI-QSG的問題分析

如前所述，FOS中的純積分環節在零頻點處具有無窮大的增益，因此可以實現對直流信號的無差跟蹤。然而，與純積分器不同的是，GI是由兩個較為復雜的積分器組合而成，即

(6)

由式(6)可知，GI在正頻域和負頻域內都存在無限增益的頻率點，其理想情況下時域響應為

v′(t)=A(1-e-tkac)sin(ωt+φ)。

(7)

其中kac為理想情況下的系統增益。

如果反饋系統是由與之相對應的復雜積分器構成，則式(7)中跟蹤特性將與FOS的跟蹤特性一致。當GI-QSG輸入單一頻率的正弦信號時，式(6)中只有一個積分器對該信號進行跟蹤，而另一個積分器的存在干擾了系統的跟蹤過程，導致系統的動態響應與FOS出現較大的差異。并且，當系統需要快速響應時，GI-QSG的幅值響應與FOS的差異將更為顯著。為了更好的解釋這個問題，需要推導出GI-QSG對正弦輸入信號v(t)=Asin(ωt+φ)的時域響應，并與式(7)中的理想響應進行比較。

首先，正弦輸入信號v(t)=Asin(ωt+φ)的拉普拉斯變換為

(8)

GI-QSG輸出的拉普拉斯變換可以通過式(8)與式(3)相乘得到(v′(s)=v(s)D(s))。當調節D(s)中的ω′使得ω′=ω時，時域響應可以通過v′(s)的拉普拉斯逆變換得到，即

(9)

與式(7)中的理想響應相比，式(9)中有相同的穩態項，但有不同的指數衰減項。為了驗證在快速動態響應情況下，FOS的參數設計規則對于GI-QSG的有效性，將穩定時間設定為0.005 s (kGI=800)，隨后對GI-QSG的正弦信號響應進行仿真，并與理想M-FOS進行對比，結果如圖6所示。由圖可知，GI-QSG在0.005 s時產生了15.46%的跟蹤誤差，與理想M-FOS相比跟蹤誤差明顯。因此，對于具有快速動態響應的GI-QSG系統，基于一階系統的設計規則不再適用。

圖6 GI-QSG與理想M-FOS的階躍響應的比較Fig.6 Magnitude-step-response comparison of the GI-QSG and the ideal M-FOS

2 基于精確幅值積分器的正交信號發生器(AMI-QSG)

由式(9)可以看出，GI-QSG的瞬態響應是高度非線性的，這使得其參數設計非常困難。解決這一問題的方案為在閉環系統中應用一個與FOS有相同幅值響應的正弦積分器，但是該系統需要輸入復雜的交流信號，這在單相系統中并不容易實現。為了適應復雜的交流輸入信號，在本節中運用反向推導的思想提出了一種新型積分器的設計方案，該方案與 GI-QSG相比更接近FOS響應。

2.1 精確幅值積分器(accurate magnitude integrator,AMI)的推導

首先,對正弦輸入信號v(t)=Asin(ωt+φ)進行拉普拉斯變換，其結果為

(10)

理想的幅值響應由式(7)給出，其拉普拉斯變換為

(11)

利用上述輸入信號和輸出信號的傳遞函數，可以推導出跟蹤系統的閉環傳遞函數，進而計算出開環傳遞函數為

(12)

式(12)為理想正弦積分器的傳遞函數，其對應跟蹤系統的幅值響應與FOS相同。然而，可以注意到傳遞函數O(s)與輸入信號的初始相位有關，但是在實際中初始相位很難獲得，實現起來較為復雜，因此假設相角為0，式(12)可以簡化為

(13)

由此，便得到AMI的結構表達式(13)。與GI類似，AMI只與信號頻率和時間常數有關，因此相較于式(12)更容易實現。由于式(13)僅為一個特例，因此有必要對該積分器在一般情況下的有效性進行驗證。為此，首先給出由式(13)建立的閉環系統的傳遞函數為

(14)

其次將v(t)=Asin(ωt+φ)作為系統的輸入信號，可以導出其時域響應為

v′(t)=Asin(ωt+φ)-Asin(ωt+φ)e-kact+

(15)

與式(9)相比，式(15)更接近于理想M-FOS的時域響應。由式(15)可以看出，僅在輸入信號初始相位為0時，AMI的時域響應與式(7)中理想M-FOS相同；當輸入信號初始相位不為0時，兩種積分器的響應結果仍然存在差異。為了測試AMI對不同初始相位正弦信號的性能，給出了4個不同初始相位的仿真結果，如圖7所示。從圖7(a)中可以看出，當初始相位為0時，AMI跟隨一階系統的響應，響應速度快于GI-QSG；當初始相位不為0時，如圖7(b)、(c)、(d)所示，AMI的響應速度還要快于FOS。這些結果說明即使在不忽略初始相位的一般情況下，AMI仍然具有較強的優越性。

圖7 GI-QSG和基于AMI的M-FOS在不同初始相位情況下，正弦輸入信號的階躍響應比較Fig.7 Magnitude-step-response comparison of the GI-QSG and the AMI based M-FOS for the sinusoidal input signal with different initial phases

2.2 基于AMI的QSG的結構實現

傳遞函數(13)可以改寫為

(16)

圖8 基于AMI的QSG(AMI-QSG)的結構實現Fig.8 Structure realization of the AMI based QSG (AMI-QSG)

(17)

(18)

(19)

(20)

圖9 AMI-QSG的伯德圖Fig.9 Bode diagrams of AMI-QSG

AMI-QSG基于一階系統的動態響應特性，運用逆推的思想，實現了交流信號的動態追蹤，為了保證圖8的結構更好的應對實際應用中的問題，以下對其結構進行了改進，并在實驗驗證中驗證了其優越性。

2.3 AMI-QSG的結構改進

考慮到FOS可以實現直流提取，因此將其與AMI-QSG結合來實現直流抑制，從而得到FOS和M-FOS的組合結構，如圖10所示，其中v′與v，εv與v的傳遞函數分別為：

(21)

(22)

圖10 具有直流抑制的AMI-QSG改進結構Fig.10 Improved AMI-QSG structure with dc rejection(AMI-QSG)

(23)

(24)

圖11 改進版AMI-QSG的伯德圖Fig.11 Bode diagrams of improved AMI-QSG

除了直流問題，另一個實際問題是低次諧波的存在會對基波分量的提取產生影響。盡管Dac(s)自身具有濾波特性，對高次諧波分量有較強的抑制能力，但是接近基頻的低次諧波仍然會使提取的基頻分量產生較大的畸變。此外，AMI-QSG的正交輸出具有高通濾波特性，使其對低次諧波更加敏感。為了解決這些問題，可以通過改變固有頻率(ω′)的取值，得到與低次諧波分量相對應的AMI-QSG結構，隨后將其并聯得到MAMI-QSG，如圖12所示。該結構可以實現對相應諧波分量的提取，其有效性將在下一節中得到驗證。

圖12 提取直流和諧波分量的多個AMI-QSG(MAMI-QSG)結構Fig.12 Structure multiple AMI-QSG (MAMI-QSG) with DC and harmonics extraction

3 實驗結果

實驗裝置由電網模擬器Chroma 61845、dSPACE DS1007平臺、DS2004高速A/D板、DS2102高分辨率D/A板和電壓傳感器板組成。電網模擬器用于生成所需的電壓，然后由電壓傳感器板進行采樣檢測，采樣頻率設定為10 kHz，再由DS2004 A/D板將其轉換成數字信號送入DS1007平臺，需要驗證的算法可以在dSPACE平臺上實現。dSPACE的處理結果將通過DS2102 D/A板將預估的變量轉換為模擬信號，最終將波形顯示在示波器中。

為了驗證所提出的AMI-QSG結構的性能，實驗分別測試了AMI-QSG與傳統GI-QSG對正弦輸入信號的動態響應，測量波形如圖13所示。實驗結果表明，AMI-QSG相比于GI-QSG有更快的響應速度，從而證明了AMI-QSG結構的優越性。

圖13 輸入正弦信號時，AMI-QSG與GI-QSG的 響應波形Fig.13 Response waveforms of AMI-QSG and GI-QSG when the input is sinusoidal signal

圖14 AMI-QSG與改進的AMI-QSG在輸入信號含有直流分量時的性能比較Fig.14 Performance comparison of the AMI-QSG and the improved AMI-QSG when the input signal contains dc component

為了驗證MAMI-QSG對諧波提取的有效性，實驗驗證了實際情況中電網電壓包含多種低次諧波分量的情況，并在輸入信號中加入基波分量10%的3、5、7次諧波為例，首先對穩態性能進行測試，實驗結果如圖15所示。圖15 (a)給出了輸入信號的波形和MAMI-QSG中所有模塊組合后的估計波形，可以看出估計波形與輸入信號完全一致。除此之外，圖15(b)進一步給出了由對應的AMI估計得到的基波分量和各次諧波分量。以上結果表明，所提出的MAMI-QSG具有良好的穩態性能。

圖15 存在諧波時MAMI-QSG的穩態性能Fig.15 Steady-state performance of the MAMI-QSG in the presence of harmonics

隨后，在輸入信號中包含相同諧波分量的情況下，測試了所提出的MAMI-QSG的動態性能，實驗結果如圖16所示。圖16顯示了所有分量的集成波形與輸入信號波形的對比結果。可以看出，輸出信號可以在0.02 s內快速跟隨輸入信號，從而驗證了該方法的有效性。

圖16 MAMI-QSG在諧波存在時的輸入信號和估計 信號波形Fig.16 Waveform of the input signal and the estimated signal of the MAMI-QSG in the presence of harmonics

4 結 論

本文從一階系統的角度分析了GI-QSG動態響應，理論分析表明，由于GI幅值積分特性的影響，導致傳統GI-QSG的動態響應設計規則不準確。為了克服GI-QSG這一缺點，本文提出一種更精確的幅度積分器 AMI-QSG。AMI-QSG的特性比GI-QSG更接近于FOS，因此可以參考FOS的動態響應參數設計規則來分析AMI-QSG的動態過程。除此之外，為了抑制輸入信號中的直流分量以及提取其中的諧波分量，進一步改進AMI-QSG的結構，并通過實驗驗證了所提方法的有效性。