表貼式永磁同步電機改進滑模觀測器控制

呂德剛，李子豪

(哈爾濱理工大學 大型電機電氣與傳熱技術國家地方聯合工程研究中心，哈爾濱150080)

0 引 言

永磁同步電機具有結構簡單，響應速度快，可靠性高，質量輕及功率因數高等優點，適用于穩態精度需求較高、調速范圍需求較大的場合[1-5]。永磁同步電機轉軸上安裝機械傳感器易受環境影響，降低其穩定性，并且增加電機成本。針對上述問題提出采用無位置傳感器技術替代機械有位置傳感器的改進方法[6]。目前滑模變結構控制方法被廣泛應用于各種中高速無傳感器控制系統中[7]。

文獻[8]采用傳統滑模觀測器，通過觀測電機的相電壓和相電流估算出電機的速度和轉子位置角度。由于傳統滑模變結構控制會出現抖振，使結果偏離實際值，所以文獻[9]提出用連續的飽和切換函數sat(x)代替傳統的不連續切換函數sign(x)，重新定義滑模切換函數。文獻[10-11]提出用趨近律的方法減小滑模運動中的抖振，通過指數趨近律控制縮短了運動點到達滑模面的運動時間，并降低了運動點到達滑模面時的速度。在滑模觀測器后面進行二次低通濾波[12-13]或者采用卡爾曼濾波[14-15]同樣可以減小滑模面上出現的抖振問題。近年來新的滑模算法被提出，通過更加復雜的算法也可以減小系統抖振，如采用超螺旋的二階滑模算法[16-17]。此外文獻[18]提出用變積分滑模觀測器削弱在線性區造成的電流觀測誤差并減小抖振。

在向滑模面運動過程中，頻繁的開關切換和慣性的存在造成系統的抖振不可避免。為了在上述抑制抖振方法基礎上，進一步減小抖振。本文選取在零點處連續的切換函數代替不連續的切換函數并和指數趨近律結合的控制方法，抑制傳統滑模觀測器出現的系統抖振，并進行仿真和實驗研究。

1 永磁同步電機的數學模型

根據永磁同步電機的永磁體在轉子上擺放方式的不同，可分為表貼式永磁同步電動機、內嵌式永磁同步電動機和內埋式永磁同步電動機。表貼式永磁同步電動機具有均勻的氣隙磁場，其交直軸電感系數近似相同[19-20]，磁阻轉矩幾乎為0，可近似等效于隱極同步電動機。因此，選取表貼式永磁同步電動機進行分析。假設永磁同步電機定子繞組三相相互對稱，磁路近似為線性，轉子上阻尼繞組為0，忽略定子鐵心的飽和現象，不計渦流和磁滯損耗，構造永磁同步電機在兩相靜止α-β坐標系下的數學模型。

α-β坐標系下的定子電壓方程為：

(1)

式中：uα、uβ為α-β坐標系下電壓分量；iα、iβ為α-β坐標系下電流分量；R為定子電阻，L為定子電感；eα、eβ為α-β坐標系下反電動勢分量。

反電動勢方程為：

(2)

式中：ψf為永磁體磁鏈；ω為電機電角速度。

電磁轉矩方程為

(3)

式中：Te為電磁轉矩；pn為電機極對數；ψα、ψβ為α-β坐標系下磁鏈分量。

機械運動方程為

(4)

式中：J為電機的轉動慣量；TL為負載轉矩。

2 滑模觀測器算法

2.1 傳統滑模觀測器原理

由式(2)可知，永磁同步電機的反電動勢決定了轉速和轉子位置角，反電動勢eα、eβ為正弦波。將永磁同步電機中可以觀測到的定子相電流、相電壓作為輸入量，根據滑模變結構控制原理構造滑模觀測器。通過滑模觀測器估算出反電動勢信息，進而得到所需量：轉子位置角度信息與轉速信息。

由式(1)可得α-β坐標系下的電流狀態方程為：

(5)

根據滑模變結構控制原理定義滑模面為

(6)

結合滑模觀測理論將定子觀測電流與定子實際電流做差可得到滑模切換面s(x)。選取常數切換的開關切換法則作為滑模控制函數為

u(x)=Kssign(x)。

(7)

式中：sign(x)為數學符號函數，在x大于0處函數值為1，在x小于0處函數值為-1；Ks為滑模增益。

將反電動勢eα、eβ用電流誤差開關信號函數表示。并結合式(5) ～式(7)最終得到傳統滑模電流觀測器為：

(8)

(9)

將式(9)和式(5)做差可得電機定子電流估算方程：

(10)

(11)

上述滑模觀測器采用的開關控制函數sign(x)在零點處不連續，導致控制系統在時間和空間上均存在滯后現象。此外，系統慣性和測量誤差使運動軌跡反復穿越滑模切換面、形成鋸齒波，使系統在運行過程中出現抖振現象[21-22]。

2.2 改進滑模觀測器算法

針對上述傳統滑模觀測器出現的抖振問題，作出了如下改進：首先選取在零點處連續的開關控制函數sigmoid(x)替代原有在零點處不連續的函數sign(x)。sigmoid(x)函數表達式為

(12)

曲線如圖1所示。

由圖1可知sigmoid(x)在零點處函數值為0且在實數域內連續。圖中a可以調節sigmoid(x)的陡度，a的值越大sigmoid(x)在零點附近越抖。為了避免控制函數在零點附近函數值變化太快，影響控制效果。選取a=2時較平滑的sigmoid(x)作為新的切換函數。圖中Δ為邊界厚度，Δ越大減小抖振效果越好，但會降低控制精度。將x=Δ,y=1代入式(12)中，可以解出Δ=3。當-ΔΔ，x<-Δ時sigmoid(x)函數變成sign(x)函數，此時等效為傳統滑模控制。

圖1 sigmoid函數示意圖Fig.1 Schematic diagram of sigmoid function

滑模運動實際上是由趨近運動和滑模運動兩個過程所組成。系統的趨近運動可定義為：從任意初始狀態到達切換面的運動。考慮到讓系統更快速的到達切換面，結合趨近律控制，選取指數趨近律如下

(13)

式中：ε>0,q>0，采用指數趨近律控制，可以減少系統到達切換面的時間，使趨近速度逐漸減少，最終以很小的速度達到滑模面。依然選取式(6)為滑模切換面。

此時電機的反電動勢為：

(14)

結合式(5)、式(6)、式(13)、式(14)最終得到改進的滑模觀測器算法：

(15)

將式(15)與式(5)作差可得電機的定子電流估算方程：

(16)

為證明滑模運動的可達性、穩定性和存在性。定義李雅普諾夫函數為

(17)

其導數應滿足：

(18)

(19)

結合式(16)、式(18)、式(19)可以推得：

(20)

(21)

(22)

(23)

要滿足式(18)和式(19)，且ε>0、q>0、R>0，結合式(20)～式(23)可得出

ε>>max{|eα|,|eβ|}。

(24)

通過上述公式推導可知：指數趨近律中的趨近速度ε要遠大于反電動勢eα和eβ的最大值，才能使滑模運動趨于穩定，并減小抖振。結合上述算法，做出改進滑模觀測器的結構示意簡圖，如圖2所示。

圖2 改進滑模觀測器結構示意圖Fig.2 Structure diagram of improved sliding mode observer

由式(2)及改進滑模觀測器算法可推導出永磁同步電機轉速和轉子位置角度計算公式：

(25)

通過對比恒壓頻比控制、直接轉矩控制、矢量控制的優缺點。最終選取了動態響應高、調速范圍較寬的轉子磁場定向矢量控制方法，并采用定子直軸電流id=0的控制措施。結合改進后的滑模觀測器算法，最終可得出永磁同步電機無傳感器控制系統，整體控制系統原理圖如圖3所示。

圖3 永磁同步電機無傳感器控制系統示意圖Fig.3 Schematic diagram of sensorless control system of permanent magnet synchronous motor

3 仿真分析

3.1 改進后滑模觀測器仿真分析

使用MATLAB軟件中的仿真模塊系統，對永磁同步電機傳統滑模觀測器無感控制系統和改進后的滑模觀測器無感控制系統，分別進行仿真。

根據所提出的控制方法，采用固定步長2e-7，ode3算法。仿真時間設置為0.1 s，仿真轉速設定為1 200 r/min，進行空載實驗。MATLAB仿真實驗中的仿真模型參數如表1所示。

表1 電機仿真模型的參數

為了更直觀反映轉子位置角度的估計值和實際值之間的關系。截取了前0.03 s的轉子位置跟蹤仿真圖，轉速仿真圖截取到0.1 s。傳統滑模觀測器無感控制系統，仿真實驗結果如圖4、圖5所示。

圖5 傳統滑模觀測器轉速跟蹤圖Fig.5 Speed tracking chart of traditional sliding mode observer

由圖4可知在前0.002 5 s時，估計的轉子位置值較實際值誤差較大，因為在電機剛啟動的時候轉速比較低，在低速區滑模算法不能準確估計轉子實際位置。當轉速上升時，滑模算法精度變高使轉子位置估計值更接近實際值。

圖4 傳統滑模觀測器轉子位置跟蹤圖Fig.4 Rotor position tracking diagram of traditional sliding mode observer

由圖5可知，估計轉速在前0.002 s時一直是0，是由于電機剛啟動時滑模算法估計不準確。經過大約0.017 s后估計轉速達到給定值，但在給定轉速1 200 r/min時小幅度波動。其值與給定轉速接近，抖振大約在1.7%左右。

改進的滑模觀測器控制系統，其轉子位置角度仿真同樣截取前0.03 s、轉速仿真截取前0.1 s。仿真實驗結果如圖6、圖7所示。

由圖6可知在前0.001 2 s時，電機剛啟動轉速較低，滑模算法精度較低，轉子位置估計值與實際值誤差較大。但相比于傳統滑模觀測器算法，改進的滑模觀測器能更快的減小轉子位置估計值與實際值之間的誤差。并使估計值更加接近實際值。由圖7可知轉速依然是先從0上升至給定值，之后穩定在給定轉速處。估計的轉速大約在0.013 s處達到給定值，與實際值十分接近，在1 200 r/min時波動范圍很小，抖振大約在0.8%左右。

圖6 改進滑模觀測器轉子位置跟蹤圖Fig.6 Rotor position tracking diagram of improved sliding mode observer

圖7 改進滑模觀測器轉速跟蹤圖Fig.7 Speed tracking chart of improved sliding mode observer

綜上對比傳統滑模觀測器和改進滑模觀測器仿真實驗，可以得出：改進后的滑模觀測器估計出的轉子位置角度和轉速值與實際值更加貼近，且能快速到達穩定值，抖動更小。

3.2 與其它改進滑模觀測器算法對比分析

為了突出改進后的滑模觀測器算法的優勢，將其它文獻上已經提出的改進方法在MATLAB中進行仿真。設置相同的仿真時間，將得到的結果與改進后的算法進行對比。基于連續切換的sat(x)函數滑模觀測器算法結果如圖8、圖9所示。基于指數趨近律的滑模觀測器算法結果如圖10、圖11所示。

圖8 基于sat函數的滑模觀測器轉子位置跟蹤圖Fig.8 Rotor position tracking diagram of sliding mode observer based on sat function

圖9 基于sat函數的滑模觀測器轉速跟蹤圖Fig.9 Speed tracking diagram of sliding mode observer based on sat function

圖10 基于指數趨近律的滑模觀測器轉子位置跟蹤圖Fig.10 Rotor position tracking diagram of sliding mode observer based on exponential reaching law

由圖8和圖10可知，轉子估計的位置與實際位置較接近，相比于圖4傳統滑模觀測器算法出現的抖振更小。由圖9和圖11可知，估計的轉速在達到給定轉速1 200 r/min后，上下波動出現抖振。與圖5傳統滑模觀測器估計出的轉速相比，其波動較小，在一定程度上抑制了抖振。但與圖7改進后的滑模觀測器算法相比，其轉速波動較大，抑制抖振效果不明顯。

圖11 基于指數趨近律的滑模觀測器轉速跟蹤圖Fig.11 Speed tracking diagram of sliding mode observer based on exponential reaching law

為了更直觀的比較上述幾種滑模觀測器算法的效果，截取同樣時間下的仿真結果，并將其繪制到一張圖上進行比較。不同算法下的轉子位置跟蹤圖如圖12所示，不同算法下的轉速抖動圖如圖13所示。圖中所示內容由上到下依次為：傳統滑模觀測器算法結果、基于連續切換的sat(x)函數滑模觀測器算法結果、基于指數趨近律的滑模觀測器算法結果和改進后的滑模觀測器算法結果。

圖12 不同算法下的滑模觀測器轉子位置比較圖Fig.12 Rotor position comparison chart of sliding mode observer based on different algorithms

由圖12可知，采用傳統滑模觀測器算法的估計位置與實際位置存在較大偏差，抖動明顯。采用sat(x)函數或采用指數趨近律的改進滑模觀測器算法的估計位置與實際位置較一致，出現的抖振較小。而改進后的滑模觀測器算法的估計位置與實際位置更加貼近，誤差更小，抑制抖振效果更明顯。由圖13可知，采用傳統滑模觀測器算法估計出的轉速，抖動最大值約為20轉，誤差約為1.7%。采用sat(x)函數的改進滑模觀測器算法估計出的轉速，抖動最大值約為14轉，誤差約為1.2%。采用指數趨近律的滑模觀測器算法估計出的轉速，抖動最大值約為16轉，誤差約為1.3%。而改進后的滑模觀測器算法估計出的轉速，抖動最大值約為10轉，誤差約為0.8%。綜上對比可知，改進后的滑模觀測器算法能更好的抑制抖振，使估計值誤差更小，更切合實際值。

圖13 不同算法下的滑模觀測器轉速抖動比較圖Fig.13 Comparison of the speed jitter of sliding mode observer under different algorithms

4 實驗結果與分析

為了驗證上述理論和仿真的正確性，搭建了永磁同步電機改進滑模觀測器無傳感器控制系統實驗平臺。實驗平臺如圖14所示。

圖14 永磁同步電機無感控制實驗平臺Fig.14 Experimental platform for sensorless control of permanent magnet synchronous motor

選取了TI公司生產的TMS320F28335芯片為電機控制板處理器，選用48 V永磁同步電動機以及功率驅動板、上位機、示波器。上位機端設定電機轉速基準值為1 200 r/min，采用SVPWM調制方法，進行電機空載實驗。為了驗證無傳感器控制的可行性，安裝位置傳感器，檢測實時位置信號。實驗結果如圖15、圖16所示。

圖15 永磁同步電機空載轉子位置角度跟蹤圖Fig.15 No load rotor position angle tracking diagram of permanent magnet synchronous motor

圖16 永磁同步電機空載轉速跟蹤圖Fig.16 No load speed tracking diagram of permanent magnet synchronous motor

由實驗波形圖可以得出，改進滑模觀測器無傳感器控制系統中轉子估計位置角度與轉子實際位置角度誤差較小，抖振也較小。電機估計轉速值與實際轉速值也十分接近，誤差在1%左右，略有抖振。

為了驗證所提算法在不同工況下的可行性，將電機轉速基準值同樣設置為1 200 r/min，選取0.5 N·m的負載，采用SVPWM調制方法，進行電機負載實驗。實驗結果如圖17、圖18所示。

由圖17、圖18可知，改進滑模觀測器無傳感器控制系統在負載工況下，轉子估計位置角度與轉子實際位置角度差別很小接近一致，略有抖振。估計轉速值十分貼近給定轉速值，誤差在0.9%左右。

圖17 永磁同步電機負載轉子位置角度跟蹤圖Fig.17 Load rotor position angle tracking diagram of permanent magnet synchronous motor

圖18 永磁同步電機負載轉速跟蹤圖Fig.18 Load speed tracking diagram of permanent magnet synchronous motor

5 結 論

本文以表貼式永磁同步電機作為研究對象，通過對改進前后的滑模觀測器無傳感器控制系統進行仿真和不同工況下的實驗，對結果進行對比。得出結論：采用在實數域上連續切換函數的改進滑模觀測器能夠減小系統抖振；結合指數趨近律控制能使系統更早地達到穩定值、更快地趨于穩定。通過對現有文獻提出的改進滑模觀測器算法和本文所提改進滑模觀測器算法進行仿真對比。得出結論：將連續切換函數和指數趨近律控制結合的算法，可以在只采用連續切換控制函數算法或只采用指數趨近律控制算法的基礎上，更進一步的抑制抖動，減小觀測誤差，使估計值更切合實際值。實驗和仿真結合表明，本文提出的改進滑模觀測器無傳感器控制系統方案可行，穩定性更高。