《正態(tài)分布》教學(xué)設(shè)計(jì)

黃婭麗

中圖分類號(hào)：A ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：（2021）-41-311

一、學(xué)情分析

正態(tài)分布是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)和研究了離散型隨機(jī)變量的分布列，必修3第一章《統(tǒng)計(jì)》中學(xué)習(xí)了頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，學(xué)生已經(jīng)具備了一些一定的邏輯思維能力、觀察提煉能力、數(shù)學(xué)抽象能力等，這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正態(tài)分布打下了基礎(chǔ)。

存在的困難是高一學(xué)習(xí)的必修三的知識(shí)學(xué)生遺忘的比較多，怎樣將這些知識(shí)之間產(chǎn)生聯(lián)系？

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念以及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)及分布密度曲線;

2.了解正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn);

3. 在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的作用。

4. 學(xué)生通過經(jīng)歷正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，觀察正態(tài)分布曲線的特征，自己總結(jié)歸納正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)和正態(tài)曲線的特點(diǎn)，提升“直觀想象”、“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理策略

重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。

難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)生成、認(rèn)識(shí)正態(tài)分布密度曲線的過程。

處理策略：通過生活中實(shí)例引入，學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的不同之處，進(jìn)而引入連續(xù)型隨機(jī)變量，用分布列可以刻畫離散型隨機(jī)變量的概率分布，如何刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，引發(fā)學(xué)生思考，再過實(shí)例一步一步啟發(fā)學(xué)生思考，最后自然地引出正態(tài)分布密度曲線，從而突破難點(diǎn)。

四、教學(xué)創(chuàng)新點(diǎn)及教學(xué)方法

1.學(xué)生在課前3分鐘講正態(tài)分布的前生今世，學(xué)生既可以了解正態(tài)分布的發(fā)展歷史，也能吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.通過實(shí)例和問題串，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷正態(tài)分布密度曲線的發(fā)現(xiàn)過程，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

3.學(xué)生通過觀察正態(tài)分布密度曲線，總結(jié)提煉正態(tài)分布的性質(zhì)和曲線的特征。

4.通過正態(tài)分布與人生曲線滲透德育，激勵(lì)學(xué)生積極向上，努力拼搏做到自己的最好！

5.教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)、討論交流、自主探究相結(jié)合的教學(xué)方法。

五、教學(xué)過程

（一）情境導(dǎo)入

學(xué)生活動(dòng)1：課前三分鐘學(xué)生分享正態(tài)分布的數(shù)學(xué)史。

問題1你能發(fā)現(xiàn)下列隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量有什么不同之處嗎？

（1）公共汽車每15分鐘一班，某人在站臺(tái)等車時(shí)間X是個(gè)隨機(jī)變量;

（2）實(shí)際測量的誤差作為一個(gè)隨機(jī)變量X ;

（3）某電子元件的使用壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量.

學(xué)生活動(dòng)2：學(xué)生思考并回答問題，抽象概括出連續(xù)型隨機(jī)變量的概念。

連續(xù)型隨機(jī)變量的概念：如果一個(gè)隨機(jī)變量可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，即變量的取值可以是連續(xù)的，那么這個(gè)隨機(jī)變量就稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。

設(shè)計(jì)意圖：了解正態(tài)分布的發(fā)展歷史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過實(shí)例和問題串，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷正態(tài)分布密度曲線的發(fā)現(xiàn)過程，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

問題2：你能再舉一些生活中的連續(xù)型隨機(jī)變量的例子嗎？

問題3：連續(xù)型隨機(jī)變量不能一一列舉出來，那么如何刻畫它的取值的概率情況？ 如：某種產(chǎn)品的壽命（使用時(shí)間）是一個(gè)隨機(jī)變量X，它可以取大于等于0的所有數(shù)值.怎樣描述這樣的隨機(jī)變量的分布情況呢？

學(xué)生活動(dòng)3：學(xué)生同桌思考、討論、交流，教師提問。

研討結(jié)果：可以研究它落在某個(gè)區(qū)間的概率，畫出它的 頻率分布直方圖。樣本容量增大時(shí)頻率分布折線圖就近似地變成了一條光滑的曲線——總體密度曲線，也稱為隨機(jī)變量的概率分布密度曲線，即為正態(tài)分布密度曲線。

問題4：如果知道了隨機(jī)變量X的分布密度曲線，你能求出X取值于任何范圍（例如a<X<b）的概率嗎？

學(xué)生活動(dòng)4：討論交流，回答問題。

討論結(jié)果：可以通過計(jì)算該曲線下相應(yīng)部分的面積而得到，面積又可以通過定積分進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例和問題串，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷正態(tài)分布密度曲線的發(fā)現(xiàn)過程，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

（二）抽象概括，形成概念

正態(tài)分布相關(guān)概念

1.在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區(qū)間會(huì)分得更細(xì)，如果將區(qū)間無限細(xì)分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機(jī)變量X的分布密度曲線，這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為X的正態(tài)分布密度函數(shù).

2.若隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為

f（x）=12πσe1（x-μ）22σ2，χ∈（-∞，+∞）

其中μ和σ（σ>0）分別是隨機(jī)變量X的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，則稱X服從參數(shù)μ和σ的正態(tài)分布，

記作X～N（μ，σ2）.

學(xué)生活動(dòng)5：學(xué)生同桌討論并交流 學(xué)生回答，教師板書正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)和特征。

（三）討論交流，探究正態(tài)分布密度曲線和函數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：函數(shù)圖像關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;對(duì)稱區(qū)域面積相等，概率相等。

（2）單調(diào)性：x<μ時(shí)，f（x）遞增，x>μ時(shí)，f（x）遞減。

（3）最值：x=μ

（4）形狀：σ（σ>0）的大小決定函數(shù)圖像的胖、瘦;

（5）位置：由μ決定

（6）概率“3σ”原則：

P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%;P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%;P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%.

（7）小概率事件

設(shè)計(jì)意圖：通過自主探究和討論交流，提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（四）練習(xí)鞏固，應(yīng)用提升

學(xué)生練習(xí)： 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從一個(gè)正態(tài)分布，即X～N（90，100）.

（1）試求考試成績X位于區(qū)間（70，110）上的概率是多少？（2）若這次考試共有2 000名考生，試估計(jì)考試成績?cè)冢?0，100）之間的考生大約有多少人.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先思考，先做，再站起來回答問題。（檢測目標(biāo)3）

（五）思想升華，滲透德育

正態(tài)分布與人生哲理：人的生命軌跡猶如一條特殊的正態(tài)分布曲線，出生從0開始，死亡到0結(jié)束，中間囊括了人生最核心最重要的：親情、家庭、健康、責(zé)任、擔(dān)當(dāng)、愛情、學(xué)業(yè)、事業(yè)、理想……等等。雖然人的生命是有限的，但是我們可以追求人生的寬度與深度，在我們生命的每一個(gè)階段，竭盡全力， 努力做最好的自己！譜寫我們絢麗多彩的人生曲線！

設(shè)計(jì)意圖：正態(tài)分布與人生哲理，滲透德育，激發(fā)學(xué)生以積極向上的態(tài)度面對(duì)人生，珍惜生命的每一個(gè)階段，竭盡全力做最好的自己。

（六）課堂小結(jié)：用黑板上的思維導(dǎo)圖小結(jié)

六、作業(yè)布置

必做題：1. 在一次測試中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ>0），若X在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.2，求：（1）X在（0，4）內(nèi)取值的概率;（2）P（X>4）. ? （檢測目標(biāo)2）

2.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，4），則P（-3<ξ<5）=（ ） （檢測目標(biāo)2）

選做題：隨機(jī)變量ξ服從N（2，10），若ξ落在區(qū)間（-∞，k）和（k，+∞）的概率相等，則k等于（ ） ? A.1 ? B.10 C.2D·10（檢測目錄2）