聚焦度量過程，感悟面積本質
——“量面積”教學設計與思考

廣東省深圳市寶安區海韻學校 張 明

一、教學設計思考

“面積”是北師大版數學三年級下冊第五單元的內容，開展“量面積”活動的教學是我們在進行“面積”單元統整時設計的第2課時。從內容來講，本節課涵蓋了原教材“長方形的面積”這一內容，是學生在前一課時初步認識面積和面積單位的基礎上，以長方形、正方形為研究對象，進一步從度量的角度進行“面”的大小刻畫，理解面積本質。同時，本節課也是本單元繼續學習面積單位換算和面積相關應用的重要基礎。從知識之間的整體聯系來看，本節課與之前學習的長度的度量，以及后續要學習的角度、體積的相關知識，在學習方式上具有一致性；長方形的面積知識也是后續其他平面圖形，如平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積度量轉化的基礎。

作為承前啟后的一節課，怎樣讓學生既能從知識內容上感受前后聯系，從度量角度加深對面積本質的進一步認識，又能在學習方法上進行遷移，感受學習方式的一致性呢？結合學情調研和教學實踐分析，基于單元統整的理念，在教材整合和教學重構方面，我們進行了如下的思考與嘗試。

（一）突出“量”的活動，感悟度量本質

測量是將測量對象和標準單位進行比較的過程。學生在前一節課的學習中已經能用面積單位“鋪滿”圖形的方式度量圖形的面積。本節課繼續聚焦“量”面積的活動，從長方形、正方形入手，拓展至其他學生認識的平面圖形，在“量”的活動中，進一步理解面積的本質是面積單位的累加，即測量對象內部包含的面積單位的多少。

（二）溝通“量”的方法，理解公式本質

基于教學前測和教學實踐經驗，教師未教授相關知識之前，有些學生就已經知道長方形面積=長×寬，以及學習后容易將“長方形面積=長×寬”與“長方形周長=（長+寬）×2”混淆，是學習長方形面積這一內容時，常遇到的問題。究其原因，學生感到困難的從來都不是測量的結果，而是學生未能很好地從“量”的方法上，建立起長、寬與內部所包含面積單位數量之間的聯系。因此，本節課力求引導學生升級“量”的方式，實現從鋪滿，到不鋪滿，再到公式計算的過渡，理解面積公式是“數”法（面積單位）優化的結果，建立起一維“長、寬”和二維“面積”之間的對應和聯系。

（三）豐富“量”的素材，積累活動經驗

三年級學生思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維逐漸過渡的發展階段，這樣的思維特點決定了其對長方形面積的探究過程，還是需要借助一定的直觀“測量”活動，才能到達最后合理抽象公式進行推理計算。有效的數學活動經驗，應該要能促進有效的數學思考。在安排“量”的素材時，教師既要考慮對象的豐富性，如量長方形、正方形，以及其他平面圖形時，也要考慮方式的多樣性，如鋪滿“量”、不鋪滿“量”、想象“量”，滿足不同學生的能力需求，引導學生積累“量”面積的活動經驗，實現長方形面積刻畫從形象到抽象，從直覺到推理的過程。

（四）變換“量”的對象，實現方法遷移

長方形的面積探究，是學生從度量角度感悟面積本質的一個例子和應用，同時也是后續學習其他圖形面積的基礎。因此，本節課還要注意揭示知識的縱橫聯系，在進行不同圖形“量”面積的活動時，教師要引導學生在不同的圖形變換的基礎上思考其中的不變，促進學生對“圖形的度量”整體知識網絡的建構和學習方法的遷移。同時也注重從統整的視角審視整個小學階段的“測量”教學，幫助學生建立學習長度、面積、角度以及體積等知識的整體框架。

基于以上思考，我們將本課的學習目標定位為：在升級“量”法、優化“數”法的過程中，探究并理解長方形的面積公式；在“量”更多平面圖形面積的過程中，發展學生的空間觀念、培養學生的知識遷移能力，從度量角度進一步理解面積的意義，引導學生在探究交流中發展數學表達能力，建立“測量”的數學知識網絡。

二、教學過程

環節一：探究長方形的面積

活動1：挑戰激趣，升級“量”

（1）量一量：長方形的面積是多少

師：上節課我們認識了什么是面積，同學們了解了選擇不同的面積單位，在圖形上鋪滿，就能知道這個圖形的面積是多少。這節課我們繼續研究長方形的面積（板書：量長方形的面積），不過難度要升級了——不鋪滿！你能知道長方形的面積是多少嗎？

生：能！

課件呈現活動要求。

選一選：選擇一種學習材料（每組提供1張長方形的紙、1把直尺、1平方厘米的小正方形若干）。

鋪一鋪：一眼看出你的測量方法。

填一填：長方形的面積是多少。

師：老師收集了一些同學的作品，看看大家是怎樣“不鋪滿”，也能知道長方形面積的。

學生作品展示：

（2）說一說：測量面積的方法和結果

師：請同學們看一看以上作品，并說一說。

生1：圖1把第一排鋪好了，鋪了4個1平方厘米的小正方形，一共有3行，3×4=12，一共是12個1平方厘米的小正方形，也就是12平方厘米。

圖1

生2：圖2和圖1其實是一樣的，只要把圖1中第一行的4個1平方厘米的小正方形移了下來，就是圖2。所以圖2也可以用3×4=12，得出長方形紙的面積是12平方厘米。

圖2

生3：圖3雖然沒有鋪滿，但是每一個空的地方都相當于一個1平方厘米的小正方形，我們通過想象填上去的話，也是一行有4個，一共有3行。

圖3

師：如果把圖3中沒有鋪上去的小正方形添上去，一行也有4個1平方厘米的小正方形，能鋪3行，一共12個。誰還有其他的方法嗎？

生4：我來說圖4，寬是3厘米，平均分成3段，長是4厘米，平均分成4段，再用3×4，就可以得出12平方厘米。

圖4

師：圖4都沒有鋪，你是怎樣看出是12平方厘米的？4代表什么？3又表示什么意思？

生：4表示長方形的長邊上能擺4個1平方厘米的小正方形，寬邊上能擺3行，一共就是3×4=12（平方厘米）。

[設計意圖]圍繞“量”字開啟教學，激活學生度量學習的活動經驗，并在此基礎上升級“量”法挑戰，激發學生探究的興趣和學習需要。

活動2：交流溝通，理解“量”

師：同學們想到了這么多升級后的“量”法，都知道了這個長方形紙的面積是12平方厘米。老師把大家的方法放大了展示到黑板上（貼板書），這些方法之間有什么聯系嗎？

生：都可以用3×4=12，長方形的面積是12平方厘米。

師：既可以用3乘4，也可以用4乘3，這里的4代表什么？3代表什么呢？

生1：4代表長方形的長，3代表長方形的寬。

生2：4代表長方形的長，表示能鋪4平方厘米，3代表長方形的寬，表示能鋪3個1平方厘米，鋪滿的話就是4×3=12（平方厘米）。

師：（結合黑板上板書）你們的意思就是說，原來需要鋪滿才能知道面積，現在只需要知道一行有幾個這樣的小正方形，一共有幾行就能知道面積。或者說只要知道長邊上有幾個這樣的面積單位，寬邊上有幾個這樣的面積單位就可以了。所以長方形的面積，我們還可以怎樣計算？

生：4×3=12。

（師板書12=4×3）

師：4是什么？3是什么？也就是長方形的面積可以用……

生：長方形的面積=長×寬。

（師板書）

師：在這幾種方法中，你都能找到長方形的面積等于長乘寬嗎？

師指名學生找一找，說一說。

[設計意圖]展示學生不同的“量”面積的方式，從“不鋪滿”測量面積的方式中，優化“數”面積單位的方法，找到長、寬與長方形所包含面積單位個數之間的對應關系，理解公式的本質。

活動3：豐富素材，想象“量”

師：用升級后的玩法，如果1格表示1平方厘米，你能快速說出下面這些長方形的面積是多少嗎？

課件逐一出示下面的長方形，指名學生說一說。

生1：圖5是長方形，面積是8×4=32（平方厘米），8代表一行有8個1平方厘米，共4行，面積是32平方厘米。

圖5

生2：圖6中，一行有5個1平方厘米，共5行，面積是5×5=25（平方厘米）。

圖6

師：圖6也是一個正方形，所以正方形的面積可以怎樣簡化算呢？

生：正方形面積=邊長×邊長。

（師板書）

環節二：探究其他圖形的面積

活動4：變換圖形，拓展“量”

（1）嘗試操作

師：真厲害！這么快就完成了長方形、正方形面積測量方法的升級，接下來我們繼續升級，你們敢接受挑戰嗎？你們還能測量出更多圖形的面積嗎？（板書：更多圖形）猜一猜，我們可能要挑戰測量哪些圖形的面積？

生：三角形、平行四邊形、梯形……（見圖7）

圖7

課件出示：

活動要求：

標一標，畫一畫：一眼看出你的測量方法；

填一填：圖形的面積是多少？

生獨立完成挑戰卡，小組內交流，每人挑戰一個，快速完成的同學可以申請再挑戰一個圖形。

（2）匯報交流

師：我們一起來看看同學們是怎樣測量的。

①平行四邊形。

生1：我把平行四邊形上多出來的一部分切下來，移到左邊，剛好拼成了一個長方形（見圖8）。

圖8

生2：我也是這樣拼接的，拼起來之后變成了長4厘米、寬3厘米的長方形，面積可以用4×3=12（平方厘米），見圖9。

圖9

師：切下來，補過去，是個好辦法！由平行四邊形變成了長方形，形狀變了，但是什么沒變？

生：面積沒變。

師：哦，同學們把平行四邊形的面積轉化成了長方形的面積，真不錯。

②三角形。

生1：我是把三角形里面兩個半格的小三角形拼在一起，就是1個1平方厘米整格。4個半格的小三角形剛好拼成2個整格，還有6個原本就是整格的，一共8平方厘米（見圖10）。

圖10

生2：我覺得這整個三角形像是大正方形的一半，正方形的面積是4×4=16平方厘米，一半剛好是8平方厘米（見圖11）。

圖11

③梯形。

生1：我在多出來的那個部分畫上了格子，大概是4個格子的一半，也就是2格。其余的部分是4×3=12 （格），一共是14平方厘米（見圖12）。

圖12

生2：我和他的方法差不多，我把多的部分分出來，就是一個三角形，面積應該是2平方厘米，其余部分是12平方厘米，加起來也就是梯形的面積14平方厘米（見圖13）。

圖13

（3）小結思考

師：同學們，當我們需要測量不規則的圖形面積時，你們都想到了哪些好辦法？

生1：可以數一數圖形中有幾個格子，就能知道面積是多少平方厘米。

生2：可以把多出來的部分切下來，移過去補上，轉化成我們會算的圖形。

生3：2個半格的可以拼在一起算一格。

……

師：是的，我們可以用割補的方法，拼一拼、湊一湊，把不好測量的圖形轉化成我們會測量的長方形，再計算面積。

[設計意圖]長方形面積是后續學習多邊形面積計算和轉化的基礎，引導學生變化圖形，“量”其他平面圖形的面積，在操作中直觀讓學生初步體會，不管哪種平面圖形，其面積都是要看所包含單位面積的個數，不是整格的可以進行拼一拼、補一補，初步體會轉化思想。

環節三：課堂小結，前后整合

師：同學們，上節課我們從原來的“量長度”到“量面積”。這節課，我們對測量長方形面積的方法進行了升級，還研究了測量更多圖形面積的方法。現在你對“量面積”有什么體會呢？

生1：可以把不規則的轉化成規則的圖形。

生2：“量面積”時要知道里面有多少個小方格。

生3：不一樣的圖形，只要分一分、補一補，就能變成規則的圖形。

……

師：除了量線段的長度、量面的大小，以后我們還會學習量角的大小，量體積的大小。今天的學習，對你們有什么啟示嗎？

生1：在以后的學習中也會用到今天學過的方法。

生2：我覺得用今天學習的方法解題會比較輕松。

生3：以后量角或體積的話，應該有更小或更大的單位。

……

師：同學們，讓我們帶著今天“量面積”過程的學習方法和思考，共同期待后續的學習吧！

[設計意圖]“圖形度量”的教學貫穿于小學階段，從一維的長度到二維求面積，再到三維求體積，以及角度的刻畫，在內容、數學思維以及學習方式上都具有密切的聯系，因此在教學時，不能管中窺豹只見一斑，要引導學生樹立“度量”學習的全局觀，加強知識的前后聯系思考，促進整體知識網絡的建構。

三、課后反思

長方形的面積教學，內容主線清晰明了，為什么不上成一節傳統課，用量一量、擺一擺歸納面積公式，應用公式解決問題呢？反正最終也是要讓學生掌握面積計算公式。為什么還要大張旗鼓“量面積”？分析這節課，我們覺得最大的特點是，通過有效的數學操作活動，促進了學生對面積本質的數學思考。

（一）聚焦聯結，合理組織學習活動

為什么學生會出現混淆周長和面積的情況？為什么高年級學生學習多邊形面積時容易混淆公式？究其原因是學生對面積的本質理解不到位。學生除了認識面積之外，真的沒有其他學習面積的數學活動經驗了嗎？其實不然，長方形的面積屬于“圖形度量”的教學，與長度測量一脈相承。教師只有正確把握學情和知識間的聯系，才能對本節課有合理的目標定位，組織以“量”為主線的學習活動，實現從度量角度理解把握面積本質的目的。

（二）問題驅動，恰當優化操作策略

操作活動是積累數學活動的重要途徑。整節課聚焦“量面積”活動，學生充分地經歷了“長方形面積”直觀測量的過程。積累活動經驗的目的是為了促進學生有效地數學思考。為什么“長方形的面積=長×寬”？“長×寬”究竟是在計算什么？在問題驅動下，實現長方形的面積從具體直觀的“量”到借助數學抽象推理的“不量”，也即利用面積公式計算面積。

（三）拓展聯系，有效促進深度學習

史寧中教授認為，度量是人的本能，即我們先天具有感知數量多少和距離遠近的能力。因此，即使多邊形面積、角度、體積等內容的學習安排在三年級以后，也需要我們在學習面積之初，就樹立“結構化”“整體化”的意識。根據學生的學習能力、認知需求以及生活經驗，進行有針對性的前延后拓，合理遷移，才能有效促進學生對于“度量”知識的整體建構，讓深度學習發生。