充分理解算理合理優化算法

孫艷君

【摘要】掌握算法和探究算理是計算教學的兩大任務，算法本身雖易掌握，但其背后的算理卻不簡單.本文以小數除法為例，以分析學生學習起點為基礎，使用多種方法促進學生理解算理，借助數形結合幫助學生突破知識難點，對比多種算法之間的聯系，通過知識的遷移幫助學生在優化算法的同時理清除法的知識脈絡.

【關鍵詞】算理;算法;小數除法

一、理解學習目標

小學階段的除法知識共包括三個部分：整數除法、小數除法和分數除法，其中小數除法是除法計算教學中的難點和易錯點.根據除數的不同，小數除法分為除數是整數、除數是小數兩部分.小數除以整數是小數除法的起始課，由于除數是小數的除法要通過商不變的性質轉化成除數是整數的小數除法來計算，所以小數除以整數是學習小數除法計算的基礎.除數是整數的小數除法，其豎式算法和整數除法基本相同，只要將商的小數點與被除數的小數點對齊就行了.豎式算法本身雖簡單，其背后的算理卻不簡單.

本節課是小數除法的第一課時，如何幫助學生把整數除法的算理和計算方法遷移到小數除法上來，并在學生頭腦中形成除法的知識脈絡是這節課的關鍵，如何幫助學生理解商的小數點定位的緣由是這節課的重點及難點.

二、分析學習起點

學生學習小數除法最直接的知識基礎是整數除法，在計算的過程中還會涉及元角分與小數、小數的意義、小數的加減法、小數乘法等.筆者在上課前做了一個問卷調查：“9.2÷4你會計算嗎？如果會算，把你的方法寫在下面.”

9.2÷4，這個算式你能算出得數嗎？在符合情況的括號里打“”.

A.能（）B.不能（）

如果會算，請你把計算的方法寫在下面，會幾種就寫幾種.

方法一：[]

方法二：[]

方法三：[]

方法四：[]

方法五：

在符合情況的括號里打“”.

A.這樣的算式你在課外班學過.（）

B.這樣的算式你的父母教過你.（）

C.這樣的算式你以前沒學過，是現在自己想出來的.（）

分析學生的問卷之后，筆者發現多數學生選擇用豎式解決問題，原因是豎式算法的簡捷給學生留下了深刻印象，列豎式已經成為學生的習慣算法.

一部分學生用商的變化規律把被除數擴大到原數的10倍，再把商縮小到原數的1[]10來做，其原因是四年級學生正是由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關鍵時期，更多的學生喜歡用較高級的抽象邏輯思維解決問題.

一少部分學生選擇用單位換算的方法，其原因與學生三年級時學習的元角分與小數的關系有關，但由于隔的時間相對長一些，這個知識不容易被遷移過來.

極少學生用分方格圖的方法，其原因：一是學生不習慣用小數的意義解決問題;二是有的時候形象思維比抽象思維更難;三是學生沒有積累畫圖經驗，根據教材的設計和安排，畫圖一般是由教師呈現幫助學生理解抽象的算理的.學生認知的軌跡是由直觀到抽象、由已知到未知、由簡單到復雜，循著這一軌跡，教師可創設活動、設計教學、引領生成，凸顯數學思想中的“轉化”“類推”，以簡馭繁，建構算法.

三、教學環節設計及意圖

（一）通過多種方法鋪墊促進學生理解算理

筆者把這節課的任務分為兩部分：一是先不用豎式，獨立探索11.5÷5的商是多少，二是用豎式計算11.5÷5.為什么要分開探究呢？原因是筆者第一次試講時是沒有分開的，學生選什么方法都可以，包括豎式的方法，但大多數學生直接選擇用豎式進行探究，而這會淡化學生對算理的理解.故為了讓每個學生都能完整經歷小數除法豎式的探究過程，筆者將任務分為兩部分，以借助多種方法使學生充分理解算理.

（二）借助數形結合幫助學生突破知識難點

數形結合一直是學生理解算理的最佳途徑.一年級百以內的加減法與實物圖、小棒圖的結合，二年級大數的加與減與計數器和方塊圖的結合，三年級小數的加與減與方格圖的結合，可以說，這些圖為學生理解抽象算理提供了直觀的模型.隨著年級的增高，這些圖本身也是由形象到具象，再到抽象.

教師應根據學生的真實學情，適時運用數形結合的方法，讓學生直觀感知分方格的過程，明確商的小數點如此定位的緣由，使其真正理解算理.適時運用數形結合的方法，把豎式和前面分方格圖的方法聯系起來，能讓學生直觀感知分的過程，幫助學生理解算理.本節課是小數除法與方格圖的結合，通過分格子圖能讓抽象能力相對較弱的學生經歷平均分的過程，并使他們深刻認識到當分到1.5不會分的時候，可以把1個正方形轉化成10個小條，和剩下的5個小條和在一起變成15個小條，這樣再平均分成5份，每份就是3個小條，這也為抽象能力強的學生提供了直觀的數學模型.

（三）通過對比疏通多種算法之間的聯系

在不用豎式計算環節，學生使用的方法主要是利用元角分的關系進行單位換算、利用商的變化規律、分方格圖等.在學生分享了多種計算方法之后，教師引領其溝通了三種算法之間的聯系.

首先是單位換算方法和擴大10倍方法之間的聯系.單位換算方法是通過1元=10角，把11.5 元轉化成115角來分，是把小數除法轉化成了整數除法.商的變化規律的方法是通過擴大10倍把11.5轉化成115，擴大10倍方法也是把小數除法轉化成整數除法.教師引導學生總結，發現這兩個方法的實質是一樣的.

其次是分格子圖的方法和豎式方法的聯系.當學生探究豎式遇到小數點該不該落的問題時，教師可引導學生通過觀察分格子圖的方法，通過把1個一轉化成10個0.1，從而把1.5轉化成15個0.1，從而理解之所以小數點不落，是因為要分的這個數是15個0.1，而且只有這么分才好分.

這三個轉化的共通之處就是把未知轉化為已知，把小數除法轉化為整數除法.

（四）運用遷移幫助學生優化算法的同時理清除法的知識脈絡

在這之前，學生學習的是關于整數除法的知識，通過觀察比較129÷6和12.9÷6，學生可體會到其實整數除法和小數除法的算理是完全相同的，都是在一個大的計數單位不夠分的時候，將其轉化成下一個相對較小的計數單位接著分，只不過整數除法分到個位就停了，而學完小數之后，就可以把計數單位一分成若干個0.1后繼續分，還可以把計數單位0.1分成若干個0.01繼續分，直到全部分完為止.

孫曉天教授說過：如果把思想和經驗定為目標，如果給學生留出充分的探究空間，如果教師在理解算理、發現合理簡捷的運算方法方面多一些引導，那么運算就會成為一塊孕育發現能力的富饒土壤.希望這節運算課的學習能夠促進學生去發現一些數學知識的真諦.

【參考文獻】

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[4]史寧中.關于除數是分數或者小數的一個注[J].數學教育學報，2019，28（5）：1.