微積分中求數列極限的幾種方法

盧蘭

【摘要】本文主要針對求解數列極限的具體實例，對各類求解數列極限的方法進行歸納和總結，掌握了這些求數列極限的解題方法和技巧，能夠大大提高解題能力和解題效率.

【關鍵詞】數列極限;解題方法

數列極限問題是高等數學中極限問題的重要組成部分，如何求數列的極限教材一般介紹得比較簡單、分散.本文將根據具體的數列求極限問題探討其解題方法.

一、先求出n項和的表達式再求極限

這種方法通常適用于求數列通項為n項和的極限問題.求n項和的表達常常需要高中階段求數列前n項和的方法，高中問題這里不再詳述.

例1求limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1.

由于cn=2n-12n-1=anbn，其中an=2n-1是等差數列，bn=12n-1是等比數列.求這樣的數列{anbn}的前n項和，常用“乘公比，錯位減”的方法.故設Sn=1+32+522+723+…+2n-12n-1，則12Sn=12+322+523+724+…+2n-12n，將兩式相減，可得

12Sn=2+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n，

故Sn=6-4n+62n.

因為limx→∞4x+62x=limx→∞42xln 2=0，

故limn→∞4n+62n=limx→∞4x+62x=0.

所以limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1=6-0=6.

二、利用兩邊夾準則求數列極限

有時求數列通項為n項和的極限問題先求n項和的表達式是很難做到的，這時需要嘗試其他的方法，兩邊夾準則就是?？紤]的方法.利用兩邊夾準則求極限時一般需要放縮n項和，常用的放縮技巧如下：

（1）幾個正數乘積中，略去大于1的因子就縮小，略去小于1的因子就放大;

（2）分子、分母都是正數，分母縮?。ǚ糯螅瑒t分數放大（縮?。?，分子縮?。ǚ糯螅?，則分數縮小（放大）;

（3）n個正數之和可縮小為n個最小數之和（或縮小為最大數），也可放大為n個最大數之和.

例2求limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.

由于和式中各項的分子、分母都是正數，故可用放縮技巧（2），即

i[]n2+n+n≤i[]n2+n+i≤i[]n2+n+1（i=1，2，…，n），

于是，有n（n+1）[]2n2+n+n≤∑ni=1in2+n+i≤n（n+1）[]2n2+n+1，

又limn→∞n（n+1）[]2n2+n+n=12，limn→∞n（n+1）[]2n2+n+1=12，

則limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=12.

例3求limn→∞1+2n+3n+4n1n.

由于表達式的底數部分是幾個正數之和，可用放縮技巧（3），即

4=（4n）1[]n≤（1+2n+3n+4n）1[]n≤41[]n·4，limn→∞ 4·41n=4，

所以limn→∞（1+2n+3n+4n）1n=4.

三、利用定積分定義求數列極限

一般求每項為無窮小的無限項的和式極限時通常要考慮利用定積分定義求極限.

例4求limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2.

將這個和式化為某個函數在某個區間上的積分和，從而可利用定積分求和式極限.

先將和式改寫，

nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2

=1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2.

考慮用[0，1]區間上的函數f（x）=11+x2將[0，1]區間n等分，取每個小區間的右端點ξi，故

nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∑ni=111+ξ2iΔxi

=∑ni=111+in2·1n，

所以limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∫011+x2dx=π4.

有的求數列極限問題表面上看不能利用定積分的定義來求，但經過適當的變形之后是可以用的，如例5.

例5求limn→∞nn！n.

求解過程如下：limn→∞nn！n=elimn→∞ lnnn！n=elimn→∞1n [ln（n?。?nln n]

=elimn→∞1n∑ni=1lnin=e∫10ln xdx=1e.

注意，這里的∫10ln xdx是瑕積分，具體求瑕積分的過程此處省略了.

四、由單調有界原理及其遞推公式求數列的極限

用這種方法求極限的一般步驟如下：

（1）由已知條件確定數列{xn}的遞推公式xn+1=f（xn）;

（2）利用遞推公式證明此數列是單調有界數列;

（3）對遞推公式兩邊取極限得到關于此數列極限的方程，解方程得到數列極限.

例6設x1=2，xn+1=12xn+2xn，n=1，2，3，…，證明：數列{xn}收斂，并求此極限limn→∞ xn.

由已知，顯然有xn>0n=1，2，3，…，

xn+1=12xn+2xn≥xn·2xn=2，n=1，2，3，…，

即數列xn有下界，由此可知，

xn+1-xn=122xn-xn=2-x2n2xn≤0.

因此，數列xn單調遞減且收斂，故limn→∞ xn的極限存在.設limn→∞ xn=A，對所給遞推公式兩邊取極限，可得A=12A+2A，解得A=2，注意A>0.

五、利用級數收斂的必然條件求數列極限

級數收斂的必要條件：若級數∑∞n=1un收斂，則limn→∞ un=0.

例7求limn→∞n！nn.

考慮正項級數∑∞n=1n！nn.

由于limn→∞（n+1）！[]（n+1）（n+1）[]n！[]nn=limn→∞1[]1+1[]nn=1[]e<1.

所以正項級數∑∞n=1n！nn收斂.

由級數收斂的必要條件，得limn→∞n！nn=0.

六、利用施篤茲定理（Stolz）求數列極限

施篤茲定理一般教材都沒有介紹，它可以用來計算某些難度較大的數列極限limn→∞xnyn（無窮比無窮型）.施篤茲定理被稱為數列極限的洛必達法則，其定理內容如下：

設數列yn嚴格增大，且無界，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1存在或為∞，則limn→∞xnyn=limn→∞xn-xn-1yn-yn-1.

下面利用施篤茲定理再求解一遍例5.

limn→∞n[]n！[]n=limn→∞n[]n！[]nn=elimn→∞1[]nlnn！[]nn=

elimn→∞ln（n?。?nln n[]n

=elimn→∞ln（n！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）

=elimn→∞ln（n（n-1）?。?nln n-ln（（n-1）?。?（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）

=

elimn→∞（n-1）（ln（n-1）-ln n）=

elimn→∞ lnn-1[]nn-1

=

limn→∞n-1[]nn-1

=

limn→∞1-1[]n-nn-1[]-n=1[]e.

七、利用中值定理求數列極限

例8求limn→∞n2arctanan-arctanan+1（a≠0）.

由極限表達式的形式考慮用拉格朗日中值定理求解，設f（x）=arctan x，在an與an+1構成的區間上對f（x）使用拉格朗日中值定理，即存在介于an與an+1的ξ，使得

fa[]n-fa[]n+1=f′（ξ）a[]n-a[]n+1

=1[]n（n+1）·a[]ξ2+1

=arctana[]n-arctana[]n+1，

所以limn→∞ n2arctanan-arctanan+1=limn→∞n2n（n+1）·a1+ξ2=a.

【參考文獻】

[1]劉玉蓮，楊奎元.數學分析講義學習輔導書[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2004.