擬廣義加權引致OWA算子及其應用*

徐迎軍

(曲阜師范大學經濟學院，山東 日照 276826)

引言

在決策分析中一個重要的問題是用集結算子把不同信息來源的多個信息集結成為一個綜合信息，因此對集結算子的研究引起了眾多研究者的極大興趣[1-3].Harsanyi提出了加權平均(Weighted Averaging, WA)算子，此后得到了廣泛應用[4].Yager創新性地提出了OWA(Ordered Weighted Averaging, OWA)算子[5].Xu和Da把幾何平均算子與OWA算子集成到一起，提出了有序加權幾何平均(Ordered Weighted Geometric，OWG)算子[6]，此算子有廣泛應用[7].Fodor等把擬算術平均算子與OWA算子進行了集成，提出了擬算術OWA(Quasi OWA, Q-OWA)算子[8].

Mitchell和Estrakh提出了一修正的OWA算子，其元素的排序是依據元素的某函數值[9].Yager和Filev基于Mitchell和Estrakh的順序引致思想對OWA進行了進一步擴展，提出了IOWA[10].Chiclana等提出了重要性IOWA(Importance IOWA, I-IOWA)算子、一致性IOWA(Consistency IOWA, C-IOWA)算子和偏好IOWA(Preference IOWA, P-IOWA)算子用來集結模糊偏好關系[11].Merigo和Casanovas把DS(Dempster Shafer)證據理論引入IOWA算子，提出了信度結構IOWA(Belief Structures IOWA, BS-IOWA)算子[12].

Yager把廣義平均的思想引入OWA，提出了廣義有序加權平均(Generalized Ordered Weighted Averaging，GOWA)算子[13].Merigo和Gil-Lafuente把GOWA和IOWA融合到一起，提出了引致廣義OWA算子(Induced Generalized OWA, IGOWA)[14]和擬IOWA(Quasi IOWA, Q-IOWA)算子.Merigo等基于充分性參數對IGOWA進行了擴展[15].基于我們對分析問題的興趣，我們可以給予不同算子不同的重要性.為解決此問題，Merigó提出了IOWAWA算子，把IOWA算子和WA算子統一到一個公式中，考慮到了不同算子的重要性[16].Merigo等考慮到概率算子、WA算子和OWA算子的重要性，把它們統一到一個引致概率有序加權平均加權平均(Induced Probabilistic Ordered Weighted Averaging-Weighted Averaging)算子中[17].

Aggarmal引入一參數來控制補償度，提出了補償加權平均(Compensative Weighted Averaging, CWA)算子[18].Aggarwal把廣義平均思想引入CWA算子，提出了廣義補償加權平均(Generalized Compensative Weighted Averaging, GCWA)算子，并把GCWA和OWA融合為廣義補償有序加權平均(Generalized Compensative Ordered Weighted Averaging, GCOWA)算子，把GCWA和IOWA融合為廣義補償引致有序加權平均(Generalized Conpensative Induced Ordered Weighted Averaging, GCIOWA)算子[19].Aggarwal對IOWA進行了擴展，基本思想是，把引致順序變量信息與加權向量進行融合，得到新的加權向量，充分利用了信息，提出了加權引致有序加權平均(Weighted Induced OWA, WIOWA)算子[20].本文把擬算術平均算子有機融合進WIOWA算子，提出了更具廣泛性的擬廣義加權引致有序加權平均(Quasi Generalized Weighted Induced OWA, QGWIOWA)算子.并通過具體例子來驗證了新算子的可行性和有效性.

1 預備知識

在這一部分，簡要介紹OWA算子、IOWA算子和廣義OWA算子等.Yager創新性地提出了OWA算子，此算子為一廣泛的算子族，包括算術平均、最大算子以及最小算子等[5].

定義1n維OWA算子為一映射，OWA：Rn→R，W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權重向量，滿足權重向量分量之和為1，且均為非負分量：

(1)

(a1,a2,…,an)為被集結元素向量，(b1,b2,…,bn)為把(a1,a2,…,an)的分量從大到小重排之后的數據向量.可以對重排操作進行擴展，即區分從大到小和從小到大，則可把OWA算子區分為下降OWA和上升OWA.OWA算子具有單調性、有界性、冪等性和可交換性等性質[5].

OWA算子中一個重要的步驟是對被集結元素進行重排序，而在此過程中OWA算子只利用了被集結算子本身的信息，忽略了其他重要信息，比如決策者的判斷一致性或者經驗的豐富程度等信息，Yager和Filev基于Mitchell和Estrakh的順序引致思想[9]對OWA進行了進一步擴展，提出了IOWA[10].

定義2n維IOWA算子為一映射，IOWA：Rn→R，W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權重向量，滿足權重向量分量之和為1，且均為非負分量.(a1,a2,…,an)為被集結元素向量，每一個被集結元素ai均有一個相應的順序引致元素ui，根據相應的ui(i=1,…,n)對所有被集結元素ai(i=1,…,n)按照從大到小順序進行排列，得到重排之后的被集結元素向量(b1,b2,…,bn)，然后利用權重向量對(b1,b2,…,bn)用下面的公式進行集結：

(2)

IOWA算子也具有單調性、有界性、冪等性和可交換性等性質.Yager把廣義平均思想融合進OWA算子，利用一參數來控制被集結元素的被集結強度，對OWA算子進行了推廣，提出了下面的GOWA算子[7].

定義3 (廣義OWA算子)算子M:Rn→R稱為n維GOWA算子，如果

(3)

其中W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權重向量，滿足權重向量分量之和為1，且均為非負分量；λ為一參數，滿足λ∈[-∞,∞]；bj是第j個最大的ai.

2 擬廣義加權引致OWA算子及其性質

本文把WIOWA算子進行了推廣，提出了QGWIOWA算子如下.

定義4[21](WIOWA) WIOWA算子是一個映射，WIOWA:Rn→R.集結數據為(a1,…,an)，相關聯的加權向量為W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.順序引致向量為u=(u1,…,un).集結數據ai的順序由與其相關聯的變量ui來導出.即根據與ai相關聯的引致變量ui的值對ai進行排序，設得到的排序后的數據序列為Bu=(b1,b2,…,bn).可表示如下：

WIOWA(,…,)=WTBu

(4)

WIOWA集結需要兩個步驟.第一步，通過把與ai相關聯的引致變量ui進行排序，得到重排后的數據序列Bu=(b1,b2,…,bn)，其中bi是具有第i大的引致變量值ui的ai.重排后的集結對象為(,…,).接著，vi(i=1,…,n)與wi∈W(i=1,…,n)共同產生加權向量：

(5)

(6)

因此，順序引致變量值vi(i=1,…,n)除了導出原始數據(a1,…,an)在集結中的順序外，還被用來產生集結權重.就像在IOWA算子中一樣，順序引致變量可能是專家的信心、意見一致性、偏好等或其他性質.下面把WIOWA進行推廣，得到QGWIOWA算子.

定義5 (QGWIOWA)n維QGWIOWA算子是一個映射：QGWIOWA：Rn→R：

(7)

(,…,)是被集結的數據對，a1,…,an是被集結的數據元素，u1,…,un分別為與a1,…,an相對應的順序引致數據.關聯權重向量是W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.(v1,…,vn)為(u1,…,un)按照由大到小順序重排后的順序引致變量.f:R→R為一嚴格單調遞增函數.g:R→R為一嚴格單調函數.

接下來討論QGWIOWA的一些性質，包括單調性、有界性、冪等性和可交換性等.

定理1(單調性) 令集結數據α=(a1,…,an)，β=(b1,…,bn)，滿足ai≤bi對?i成立.相關聯的加權向量為W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.順序引致向量為u=(u1,…,un)，那么，

QGWIOWA(,,…,)≤

QGWIOWA(,,…,)

(8)

證明由(8)得到，

其中(c1,…,cn)是(a1,…,an)根據順序引致變量(u1,…,un)按照降序重排得到的序列，(d1,…,dn)是(b1,…,bn)根據順序引致變量(u1,…,un)按照降序重排得到的序列.因為ai≤bi對?i成立，所以，ci≤di對?i成立.所以，

QGWIOWA(,…,)≤QGWIOWA(,…,).

N≤QGWIOWA(,…,)≤M

(9)

因此，N≤QGWIOWA(,…,)≤M.

定理3(冪等性) 如果對?i，有ai=a,則：

QGWIOWA(,…,)=a

(10)

證明根據與ai相關聯的引致變量ui的值對ai進行排序，設排序后的數據序列為Bu=(b1,b2,…,bn).因為對?i，有ai=a，所以，對?i，bi=a.有

定理4(置換不變性) 設(,…,)是(,…,)的任何一種重排列.那么

QGWIOWA(,…,)=QGWIOWA(,…,)

(11)

證明根據與ai相關聯的引致變量ui的值對ai進行排序，設排序后的數據序列為(,…,).根據與ci相關聯的引致變量mi的值對ci進行排序，設排序后的數據序列為(,…,).對?i，di=bi，ni=vi，有

定理得證.

QGWIOWA算子是一族非常廣義的算子，它包含了許多重要的算子.當f(x)=g(x)=x時，QGWIOWA算子退化為WIOWA算子.當f(x)≡1，且g(x)≡xλ時，QGWIOWA算子退化為GOWA算子.

3 決策應用

Step 1：建立決策矩陣；

Step 2：利用QGWIOWA算子得到方案綜合屬性值；

Step 3：根據綜合屬性值對方案進行排序.

例1 現對國內四家航空公司X={x1,x2,x3,x4}的服務質量進行評價[21].評價指標為：c1為定售票服務，c2為登記程序，c3為客艙服務，c4為響應性.指標權重向量確定為(0.15,0.25,0.35,0.25).經過專家評估建立決策矩陣M=(aij)44.根據專家給出的決策矩陣，對四家航空公司的服務質量進行評價.

Step 1：由專家給出關于四家航空公司服務質量的決策矩陣見表1(評分為10分制)：

表1 專家關于四家航空公司的屬性評價決策矩陣

Step 2：由QGWIOWA算子得到各個方案的綜合屬性值如下：

為簡單起見，在此假設對于四家航空公司，ui=ai，i=1,2,3,4，即順序引致變量值與屬性評價值是一致的.且令f(x)=2x，g(x)=3x+1.

x1=31.162 76；x2=27.879 23；x3=30.156 86；x4=29.961 45.

Step 3：根據方案的綜合得分值，其優劣排序為：

x1?x3?x4?x2.即第一家航空公司x1是最優的.

為了考察不同的函數對集成結果的影響，分別選取幾種情形：

1)f(x)=2x，g(x)=3x+1；

2)f(x)=x2，g(x)=3x2+1；

3)f(x)=x3，g(x)=3x3+1.

本例中，所有評價值都是正值，在自變量取正值時，三種情況下的函數都是嚴格單調函數.通過QGWIOWA算子計算出方案綜合屬性值，將綜合屬性值和排序結果列入表2.

表2 方案綜合屬性值和方案排序

由表2中計算結果可以看到：當f(x)和g(x)取值不同時，排序結果有差異，可見在實際使用QGWIOWA算子時，應根據需要，選擇合適的函數f(x)和g(x).

5 結論

把WIOWA推廣為QGWIOWA算子，證明了QGWIOWA算子的冪等性、單調性、有界性等性質.提出了基于QGWIOWA算子的決策方法，并通過具體例子驗證了決策方法的有效性.本文研究結果豐富了OWA算子相關理論.

可以把幾何平均的思想融入QGWIOWA，提出幾何版的QGWIOWA算子.另外，作為模糊集的推廣的直覺模糊集，可以從支持、反對和中立三個方面來刻畫對某問題的態度，能更好地反應現實情境，受到了學者們的關注.然后，學者們在利用直覺模糊集對方案進行評價時，容易出現隸屬度和非隸屬度的和大于1的情形，為有效處理這種情況，Yager提出了畢達哥拉斯模糊集，允許隸屬度和非隸屬度的和大于1，但限制其平方和不大于1[22].把QGWIOWA算子推廣到畢達哥拉斯模糊集環境中是一個有意義的研究主題.