標的資產帶有紅利支付的脆弱期權定價問題研究*

李 鈺，石學芹，呂會影

(1.安徽機電職業技術學院公共基礎教學部，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學數理學院，安徽 蕪湖 241000)

引言

Johnson和Stulz[1]首次在期權定價問題中考慮交易對手違約的信用風險，并將該期權命名為脆弱期權.近年來國內外學者對于該問題展開了一系列的討論.Johnson和Stulz[1]與Hull和White’s[2]分別從結構化模型和約化模型兩個不同的角度來探討脆弱期權定價問題.而Klein[3]在研究過程中將信用風險與標的資產價值聯系到一起，將前述的研究結果進行了進一步的推廣，建立起更符合實際情形的定價模型.國內學者魏正元和高紅霞[4]、劉桂芳[5]、王之淵和陳萍[6]以及張二姚[7]均在文獻[3]的基礎上從不同的角度探討了跳擴散過程下的脆弱期權定價問題，由實際交易可知，紅利支付對于期權定價有著直接的影響.為了導出更具有實際市場價值的脆弱期權定價公式，文中將利用等價鞅測度方法推導出考慮紅利支付的歐式看漲脆弱期權定價模型.

1 模型描述

本文討論的內容為歐式脆弱期權定價問題，涉及的資產定價模型為期權標的資產價格方程和期權賣方資產價格方程，具體如下所示：

dSt=μStdt+σ1StdW1t, dVt=bVtdt+σ2VtdW2t

式中μ和σ1為股票價格的常值期望收益率和波動率，b和σ2為期權賣方資產價格的常值期望收益率和波動率，Wit(i=1,2)均為標準布朗運動，且Cov(dW1t，dW2t)=ρdt.

利用伊藤公式，可以得到上述方程的解為：

(1)

(2)

在風險中性市場中，(lnST,lnVT)滿足二維正態分布：

2 脆弱歐式期權定價

定理1在上述假設之下，歐式脆弱看漲期權價格為：

C(t,T)=StN2(a1,a2,ρ)-Ke-(r-q)(T-t)N2(b1,b2,ρ)+

其中

證明為了簡化整個計算過程，將C(t,T)拆分成4個部分.即

C(t,T)=e-(r-q)(T-t)[A1-A2+A3-A4].

其中:

1)A1的計算過程

將上式代入A1中可得：

所以，A1=Ste(r-q)(T-t)N2(a1,a2,ρ)，其中

2)A2的計算過程

由于K是常數，不用做等價測度變換，從而直接可得A2=KN2(b1,b2,ρ)，其中

3)A3的計算過程

從而

將上式代入A3中可得：

式中

4)A4的計算過程

3 數值分析

為了更加直觀地體現出紅利對于歐式脆弱看漲期權定價的影響，本文將基于以下參數值，并借助于MATLAB軟件計算出相應的期權價格.

具體參數值為：St=40，Vt=40，D=8，D*=8，K=35，r=0.05，ρ=0.5

σ1=σ2=0.3，T-t=1.

從表1數據中可以看出：在其他參數不變的前提下，當γ越大時期權價格會越低；同時在其他參數不變的前提下，當q越大時期權價格也會相應降低，這些結論都與實際情況相吻合.當γ越大即交易對手發生違約的可能性會提高，那么脆弱期權價格自然會降低.當q越大即紅利支付率越高時，會使股票價格降低，從而導致歐式看漲脆弱期權的價格也隨之降低.

表1 不同紅利支付率和交易對手違約損失率下的脆弱期權價格