碎石樁復合地基非線性固結解析解

郭 彪，楊元周，陳 賀，杜逢彬

(1.重慶市勘測院，重慶 401121；2.云南省交通規劃設計研究院有限公司，云南 昆明 650041)

近年來，復合地基的固結問題越來越受到國內外學者的重視，取得了大量的研究成果.Yoshikuni[1]最早將復合地基應力集中效應引入到復合地基的固結理論研究中.Han and Ye[2-3]考慮了碎石樁施工的涂抹效應以及井阻作用，得到了碎石樁復合地基固結解析解.XIE K H et al.[4-5]考慮了上部荷載變化、應力在地基中的不同分布等情況，得到了碎石樁復合地基較為普遍的解析解.CASTRO等[6].考慮了樁體變形對固結的影響.LU M M等[7-8]進一步考慮了樁體內部的滲流.張玉國等[9]研究了未打穿復合地基的固結問題.

然而，由于復合地基非線性固結問題的復雜性，研究一直較少.盧萌盟[13-14]在土體與樁體壓縮模量同比例增長、地基無豎向滲流、擾動區水平滲透系數不變等假設條件下得到了一個簡化的碎石樁復合地基非線性固結解.顯然，這些假定是不盡合理的.首先，地基存在橫向及豎向組合滲流，并且土體水平滲透系數沿徑向連續變化，這已經取得了共識.更為重要的是，假設在固結過程中樁土模量比不變也是與工程實際不符的.土體隨著固結的進行，孔隙水排出，土體被壓密，模量逐漸增大，而樁體在成樁時已經處理密實，其模量并不會隨著固結的進行同步增大，相反，在較大荷載作用下，由于樁體的鼓脹變形，其模量還會有減小的趨勢.也就是說，在固結過程中，樁土模量比會逐漸減小，樁土應力比也會隨之逐漸減小.這對復合地基的固結有著較大的影響.基于此，本文考慮樁土模量比隨固結而不斷變化、地基既存在徑向滲流也存在豎向滲流，土體水平滲透系數沿徑向變化等因素，得到了更符合工程實際的碎石樁復合地基的非線性固結理論解答，具有較大的工程意義.

1 固結方程及求解條件

地基固結計算模型如圖1所示.圖中H為地基深度，re為樁影響半徑，rs為涂抹區半徑，rc為樁體半徑，q0為上部荷載.

圖1 復合地基固結示意圖Fig.1 Schematic diagram of consolidation of composite foundation

假設樁體的壓縮性在固結過程中不變，而土體的壓縮性和滲透性隨著土體的固結而減小，變化符合如圖2和圖3所示的對數模型[10-15].

圖2 土體孔隙比隨有效應力變化曲線Fig.2 Curve of soil porosity ratio varying with effective stress

根據圖2、圖3可得關系式，即

(1)

(2)

(3)

圖3 土體滲透性與孔隙比關系曲線Fig.3 The relation curve of soil permeability and pore ratio

由式(1)、(2)、(3)可得土體的豎向滲透系數kv、水平滲透系數kh以及體積壓縮系數mvs的表達式，即

(4)

(5)

(6)

其中，mvs0為土體的初始體積壓縮系數，表達式為

(7)

根據式(6)可得土體的壓縮模量為

(8)

其中,Es0為土體的初始體積壓縮模量.

根據圖1，地基的豎向平衡方程可寫成

(9)

又由等應變條件有

(10)

可得

(11)

式中：Es及Ec分別為土體及樁體的壓縮模量；n=re/rc.

由式(11)可得

(12)

根據已有研究，地基的固結方程為[4]

(13)

(14)

土體水平滲透系數沿徑向變化，可寫成

kh=kmf(r)

(15)

式中：km為未擾動土體的水平滲透系數；km0為其初始值，根據式(5)有

(16)

由式(13)、式(15)可得

(17)

本文考慮地基頂面透水，底面不透水的一般情況.邊界條件為

(18)

r=rc；u=0

(19)

(20)

(21)

(22)

對式(17)兩邊對 積分，并利用邊界條件(18)得

(23)

再對式(23)兩邊對r積分，并利用邊界條件(19)，得

(24)

其中：

(25)

將式(24)代入式(14)可得

(26)

其中：

(27)

(28)

研究表明[11]，涂抹區土體由于受到擾動的程度不同，其滲透性在涂抹區內是變化的，離砂井越近，擾動程度越高，土的滲透性越小，離砂井越遠，擾動越小，土體的滲透系數越接近未擾動土體.本文考慮涂抹區內水平滲透系數線性逐漸變化，如圖4中的模式②所示.圖中模式①為傳統地考慮涂抹區內水平滲透系數不變的情況.

圖4 涂抹區水平滲透系數Fig.4 Horizontal permeability coefficient of smear area

式(27)中Fa的表達式為[13]

式中：s=rs/rc；δ=kr(re)/kr(rc).

又有

(29)

將式(4)、(16)、(29)代入式(26)可得

(30)

根據式(8)及式(12)可得：

(31)

求解式(31)可得

(32)

對式(32)兩邊求導可得：

(33)

將式(32)、(33)代入式(30)可得

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

2 固結方程求解

為了求得問題的解析解，需要將系數A、B、C作適當簡化，參考文獻[10]提出了一種簡化方法，文獻[12]通過室內試驗進行了驗證，結果顯示這一簡化方法是滿足工程精度要求的.經簡化可得：

(38)

(39)

(40)

根據邊界條件式(20)、(21)，設方程式(34)的解的形式為

(41)

將式(41)代入式(22)，有

(42)

將式(42)兩邊乘以sin(M/Hz)后積分，可得

(43)

其中，將式(41)代入式(34)后可得

(44)

將式(44)兩端乘以sin(M/Hz)后積分可得

(45)

(46)

又由式(45)及式(43)可得

(47)

將式(47)代入式(41)，可得

(48)

又地基的固結度為

(49)

將式(48)代入式(49)可得

(50)

式(50)即為本文固結問題的解析解.

3 解的討論

我們知道，在砂井地基及考慮樁土模量比在固結過程中不變的碎石樁復合地基非線性固結解中，當Cc/Ckv=1，Cc/Ckh=1時，非線性解退化為線性固結解，那么本文考慮樁土模量比隨固結變化的情況是否依然如此呢？下面來探討這個問題.

取當Cc/Ckv=1，Cc/Ckh=1時，則式(38)、(39)、(40)分別退化為

(51)

(52)

C=1

(53)

式(46)及(50)沒有變化，式(46)、(50)、(51)、(52)、(53)即為Cc/Ckv=1，Cc/Ckh=1時的非線性固結解.

當不考慮地基的非線性固結時，地基的平衡方程及等應變條件可以寫成

(54)

(55)

由式(53)及式(54)可得

(56)

由式(55)可得

(57)

將式(56)代入式(26)并整理可得

(58)

其中：

(59)

(60)

C′=1

(61)

式(58)與式(34)具有相同的形式，采用相同的解答過程，可以得到不考慮非線性固結時地基的固結度為

(62)

(63)

式(59)、(60)、(61)、(62)、(63)即為不考慮非線性的地基固結解.

通過對比可以看出，當Cc/Ckv=1，Cc/Ckh=1時時的非線性固結解與線性固結解并不一致，還與樁土模量比及土體初始有效應力相關.這與以往的理論是不同的.

圖5 不同樁土模量比時本文解與線性固結解的比較Fig.5 Comparisons between the present solution and the linear consolidation solution for different modulus ratios of pile to soil

圖6 不同荷載初始應力比時本文解與線性固結解的比較Fig.6 Comparisons between the present solution and the linear consolidation solution for different ratios of load to initial stress

碎石樁復合地基的非線性固結性狀在已有文獻[13-14]中進行了較多的論述，在這里不再贅述.與已有研究相比，本文對碎石樁復合地基的非線性固結主要有以下幾點改進完善：一是考慮樁土模量比在固結過程中是變化的，這是本文的核心創新點；二是既考慮了地基的徑向滲流也考慮了地基的豎向滲流；三是考慮了水平滲透系數徑向變化.通過改進，使得本文解析解更加符合工程實際，有較好的理論及工程意義.下面針對上述幾點對地基的非線性固結進行分析.

圖7(a)、7(b)是本文解與考慮樁土模量比不變情況下解的對比情況.圖中Cc/Ck表示Cc/Ckv及Cc/Ckh.

圖7 本文解與考慮樁土模量比不變情況下解的對比Fig.7 Comparison between the solution in this paper and that considering the invariable modulus ratio of pile to soil

圖8是本文解與忽略豎向滲流情況下解的對比情況.計算參數為n=4，s=2，δ=0.4，q0/σ′s0=5，Y=10，Cc/Ckv=Cc/Ckh=5.可以看出，忽略豎向滲流時固結最慢，km/kv越小，H/re越小，本文解與忽略豎向滲流時差別越大，不過總體差別均不大，均在6%以內，這說明碎石樁復合地基以徑向滲流為主.

圖8 豎向滲流對固結度的影響Fig.8 The effect of vertical seepage on the degree of consolidation

圖9 擾動區水平滲透系數模式對固結度的影響Fig.9 Influence of horizontal permeability coefficient model in disturbed zone on consolidation degree

4 結論

本文針對碎石樁復合地基非線性固結問題，考慮樁土模量比隨固結逐漸變化、地基徑向及豎向組合滲流、涂抹區土體滲透系數線性變化等復雜條件，得到了更加符合工程實際的地基非線性固結解析解.并對解進行了驗證，對地基固結性狀進行了分析，得到以下主要結論：

(1)在考慮樁土模量比隨固結而不斷變化情況下，當Cc/Ckv=1、Cc/Ckh=1時，地基非線性固結解與線性固結解不相等，還與樁土模量比及土體初始有效應力相關.這與以往的理論是不同的；

(2)本文考慮樁土模量比隨固結變化情況下的解比假設樁土模量比不變情況下固結要慢.因此如果忽略樁土模量比在固結過程中的變化會高估地基的固結度；

(3)考慮地基擾動區水平滲透系數線性變化比認為水平滲透系數不變固結要快，傳統理論假設擾動區水平滲透系數不變偏于保守.