李東明，王萬雷*，賈 穎，呂 帥

（1.大連民族大學 機電工程學院，遼寧 大連116650；2.大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連116028）

1 引 言

隨著精密加工制造技術的迅速發展，傳統的接觸式軸承因摩擦與磨損大、壽命低及轉速低等缺點，已無法滿足半導體、醫療器械等行業對加工精度的要求。超聲懸浮軸承利用振動獲得承載能力，其結構簡單、體積小，不需要額外的壓力源，在轉子啟停階段也能保持承載能力，具有良好的發展前景。

超聲懸浮軸承主要由壓電控制電源、換能器和懸浮軸組成，根據功率大小可劃分為兩類。第一類是采用壓電疊堆式換能器的超聲懸浮軸承，使用超聲變幅桿將壓電疊堆產生的機械振動位移放大［1］。此類軸承換能器中的壓電振子沿厚度方向伸縮振動并采用多層堆疊的方式結合在一起，其特點是功率大、輸出振幅大、懸浮質量大，但體積大，發熱量也較大。第二類超聲懸浮軸承使用片狀壓電材料來制作換能器，壓電振子粘貼在基體結構上并沿長度方向伸縮振動，通過耦合基體放大機構來提高作動性能，同時還可利用壓電材料的頻率性能來提高應變輸出，使得結構在某一方向發生快速振動。其特點是結構緊湊、能耗低，易于控制，適合小型微型應用場景。

目前，對超聲懸浮軸承中壓電疊堆式換能器變幅桿的設計、優化和仿真分析的研究已較為成熟［2-3］。對于第二類超聲懸浮軸承，由于功率較小，需要通過合適的基體機構來放大壓電片的伸縮振動，因此換能器的基體結構多種多樣，其中應用最多的為徑向包容式結構和鉸鏈結構。1991年，東京理工大學的Yoshimoto等［4］提出了一種將壓電片嵌入軸承表面的系統。該軸承由滑塊、壓電驅動器和配重組成。當交變電壓作用于壓電驅動器時，滑塊軸承在配重的作用下開始振動，并在軸承和導軌表面之間產生擠壓膜。1997年，Yoshimoto等人［5-6］又提出了一種使用彈性鉸鏈減小軸承尺寸的擠壓膜空氣軸承，并將這種軸承應用于方形線性導軌。但軸承運行在幾千赫的振動頻率時會產生噪音。2010年，Stolar?ski等人設計了3種結構的壓電換能器［7］，它們均使用壓電片作為驅動源，并通過有限元軟件來仿真計算軸承幾何形狀的共振頻率，實驗表明軸承殼固定在殼體上的方式和軸承殼材料的機械性能有關。2016年，Stolarski又提出了一種利用壓電片將滑動圓軸承間隙變形為三葉軸承間隙的彈性鉸鏈軸承［8］。實驗和數值計算結果表明，該軸承能夠產生擠壓膜壓力效應。2018年，湖南大學Feng等［9］提出并設計一種新型的超聲波氣體軸承，該軸承使用貼片式壓電陶瓷驅動可傾瓦軸承高頻振動從而產生懸浮效果。2019年，東北大學姚紅良等設計了一種超聲擠壓軸承［10］，并將它應用在小型或微型轉子系統上，對該系統進行動力學特性分析并通過試驗研究證明了理論分析的正確性。

以上對國內外研究現狀的分析表明，目前第二類超聲懸浮軸承的基體結構設計多依靠經驗和仿真試驗來確定形狀和結構尺寸，缺乏理論支撐和通用性強的結構優化設計方法。本文設計了一種徑向包容式超聲懸浮軸承，并以軸承結構為對象，提出了基于多目標遺傳算法的殼體結構優化方法，最后通過試驗測試對比分析驗證了該方法的正確性。

2 超聲懸浮軸承結構與工作原理

如圖1所示，軸承主要由矩形壓電陶瓷片和包容式金屬圓柱筒組成，圓筒外側間隔120°均布有軸向肋板。壓電片通過丙烯酸結構膠粘貼在圓柱上。

圖1 軸承結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of gas squeeze film bearing

當對壓電片通入高頻激振信號時，壓電片帶動金屬圓筒產生周期性彈性變形。當壓電片的驅動頻率等于金屬圓筒的固有頻率時，圓柱筒內壁結構產生諧振變形，徑向位移達到最大值，此時氣膜的擠壓角頻率就等于固有頻率。

在金屬圓筒高頻擠壓作用下，軸與套筒微小間隙中的空氣會形成具有穩定厚度和一定承載力的擠壓氣膜，忽略擠壓氣膜在軸承邊緣存在的微小能量泄漏。在黏性流體動力學中，由N-S方程和連續方程可推導出直角坐標系下氣體擠壓膜壓力分布的三維Reynolds方程：

對方程進行無量綱化得無量綱形式Reyn?olds方程：

式中：無量綱參量為Z=z/L，P=p/p0，T=wt，p0為周圍環境壓力；r為軸承金屬圓柱筒內半徑；L為軸承長；ω為擠壓角頻率；μ為氣體的動力黏度；H=h/h0，h0為軸承的初始間隙；h為氣膜的膜

使用有限差分方法求解式（2）得到擠壓氣膜壓力分布函數P（θ，z），將它在求解域上進行積分即可得到瞬時擠壓氣膜承載力：

由氣膜承載力的推導過程進一步分析可知：在其他參數不變的情況下，一定范圍內增大振幅和擠壓角頻率均可增大超聲懸浮軸承瞬時擠壓氣膜承載力F。

2.1 軸承結構優化目標的數學模型

超聲懸浮軸承的承載能力是一項重要的性能指標，其大小決定了軸承的實際使用場合和應用價值。為此，超聲懸浮軸承的主要設計目標是獲取最大的承載能力。影響軸承承載能力的參數主要是激勵振幅和激振頻率。

獲取更大承載能力可以從兩個方面著手，一方面是增大激勵振幅，壓電材料的形變程度只與驅動電壓有關。因此，只有通過改變軸承殼體結構的局部剛度情況以獲取更大的變形能力，即軸承與軸配合表面的位移變化值（即撓度）可設定為目標函數。另一方面，當激振頻率等于軸承殼體的固有頻率時產生共振，此時振幅較大，因此激振頻率的選擇應當使頻率正好工作在結構的固有頻率處。由雷諾方程的擠壓數表達式可知激振頻率與擠壓數成正比，頻率越大擠壓效果越明顯，軸承的承載能力越強。除此之外，為了防止軸承在氣體擠壓膜邊緣處發生壓力泄漏現象［11］，應盡量選取較大的激振頻率。所以，軸承殼體的固有頻率可設定為承載力優化的第二個目標函數。綜上，本文選擇軸承圓筒殼體的固有頻率和撓度作為優化目標并建立其數學模型。

2.1.1 固有頻率函數

在研究軸承結構的固有頻率時可將軸承圓筒簡化為圓柱殼體。建立的柱坐標系如圖2所示，以u，v，w分別表示3個坐標方向的位移分量，圖中L為圓柱殼體的長度，a為圓柱殼體的平均半徑，h為圓柱殼體的厚度。

圖2 殼體模型Fig.2 Shell model

根據扁殼理論或唐奈運動微分方程可得：

式中：E為殼體材料的彈性模量；u為殼體材料的泊松比；ρ為殼體材料的密度；g為重力加速度；t為時間。

在超聲懸浮軸承的殼體結構中主要關心w方向的振動，因此可以忽略殼體中面切線方向（u，v）的慣性，根據無力矩理論，略去式（4）中的力矩項。對式（4）進行微分運算，相互代換后得：

根據純力矩理論，不考慮薄膜抗力作用，將式（4）中內力矩項和慣性力項組成振動方程：

經過以上簡化，在唐納爾形式的運動微分方程基礎上將一般振動情況分別按無力矩理論（薄膜理論）和純力矩理論（薄板彎曲理論）分別計算，最后綜合兩者的結果，可以得到圓柱殼體類結構精度較高的固有頻率解［12］。

對式（4）按無力矩理論進行化簡計算，首先設其解的形式為：

式中：U1，V1，W1為振型函數，n為周向波數，ω1為圓頻率。將式（7）代入式（5）得到：

其中：

進一步整理可得：

此時應該對低階固有頻率和高階固有頻率分別進行考慮。

可求得振型函數W1：

其中c1，c2，c3，c4為待定常數。根據式（8）可求出：

綜上所述，最后結合無矩理論和純力矩理論的結果可得：

由此求出殼休的固有頻率：

2.1.2 撓度函數

軸承圓筒外側的肋板將圓筒殼體分隔成3個對稱的振動區域。由肋板隔開的區域大小相對于整個軸承圓筒的曲率半徑而言較小，可將每個振動區域的圓筒壁展開，簡化為粘貼有壓電陶瓷片的彈性薄板，如圖3所示。圖中l為薄板的長邊，β為短邊，壓電片的極化方向與z方向平行。

圖3 殼體簡化為矩形平面彈性薄板Fig.3 Shell simplified into rectangular flat elastic thin plate

在電壓作用下，壓電材料延長度方向產生周期性的伸縮變形，壓電材料的應變又通過理想黏結層傳遞給薄板，最終使薄板基體結構產生變形。

由壓電材料的性質可知壓電片內產生的驅動應變為：

其中：d31為壓電陶瓷的壓電常數，tc為壓電片厚度，V（t）代表驅動電壓。

以壓電片和壓電片與薄板接觸部分組成的組合梁（圖4）整體為研究對象，分析時做如下假設：

圖4 組合梁彎矩分析Fig.4 Bending moment analysis of composite beam

（1）壓電片與薄板基體理想粘貼；

（2）組合梁發生純彎曲變形；

（3）假設組合梁橫截面上的縱向應變沿橫截面高度按直線規律變化。

根據組合梁理論可知，截面的中性軸與截面對稱軸之間的距離為：

式中：Ei為組合梁各組成部分材料的彈性模量，A為組合梁各組成部分的面積，Sio為組合梁各組成部分的面積相對于組合梁橫截面對稱軸的面積。

可得到組合梁橫截面沿x方向的應變分布函數：

式中H為橫梁厚度。壓電片產生的內力彎矩M，可通過如下積分求得：

式中：za=H/2-tc，Ea，Eb分別為壓電片材料和薄板的彈性模量，la為組合梁的長度。

為了簡化模型，在研究彈性薄板彎曲變形時壓電片對基體結構施加一對彎矩的作用等價為它們對基體結構的集中載荷。已知薄板跨度為板長l，則集中荷載為：

如圖5所示，假設集中力作用于彈性薄板中心處的微小矩形面上。

圖5 彈性薄板受集中載荷作用Fig.5 Elastic thin plate subjected to concentrated load

在彈性力學中矩形薄板彎曲的納維解基本形式可表示為：

將式（24）代入薄板彎曲的平衡方程，然后利用積分中值定理得到：

將式（25）代入納維解基本表達式，得到薄板上任意點（a，b）的撓度表達式：

當荷載作用在板中心時，式（26）可簡化為：

3 多目標優化過程及優化結果

對上述超聲懸浮軸承結構設計的目標函數進行計算，發現增大軸承圓筒的壁厚會導致固有頻率增大和圓筒壁撓度減小（即振幅減小），而增大圓筒的長度會導致固有頻率減小，但圓筒壁的撓度會增大。即目標之間是相互沖突的，無法使諧振頻率和撓度兩個優化目標同時達到最優。并且固有頻率和撓度的量綱也明顯不同，無法直接進行比較，此時傳統優化設計方法無法解決該問題。

多目標遺傳算法是一種基于遺傳進化原理的隨機搜索算法，為解決多目標優化問題提供了新的思路［13-14］。本文采用NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法，引入精英策略，通過計算擁擠度和擁擠度因子保證了種群的多樣性［15］。采用NSGA-Ⅱ對超聲懸浮軸承結構進行多目標優化設計，流程如圖6所示。

圖6 NSGA-II算法流程Fig.6 Flowchart of NSGA-IIalgorithm

3.1 目標函數與設計變量

利用前文推導的固有頻率與撓度的數學模型作為優化目標函數。在優化過程中，殼體的固有頻率和撓度越大越好。建立的多目標優化函數如下：

根據目標函數中的共有參數，這里選擇圓柱殼體的長l，內徑r和壁厚h作為設計變量。根據軸承的加工難度和使用要求，各結構設計參數在一定范圍內取值，選取的優化變量范圍為：

3.2 優化求解

本文基于多目標遺傳算法編制程序在Mat?lab中進行求解。設定遺傳算法參數：個體總數為100，變異率、交叉率分別設置為0.01和0.8。經過1 000代遺傳迭代后得到Pareto解，所有最優解形成帕累托前沿，如圖7所示。兩個坐標軸分別表示兩個目標函數，縱軸表示負的固有頻率，橫軸表示負的撓度。

圖7 帕累托前沿Fig.7 Pareto frontier

從Pareto最優解中選取10組最優解列于表1中。在這些解中，考慮到實際殼體的加工難度和材料的疲勞強度，殼體結構壁厚不能過小，整體結構的固有頻率不能過大。經過篩選，本文選擇第6組解作為優化結果。經圓整該優化結果為：l=40 mm，r=10 mm，h=2 mm。

表1 10組最優解Tab.1 Ten sets of optimal solutions

4 超聲懸浮軸承實驗

為了對本文優化方法的效果進行驗證，制作了3組不同尺寸的超聲懸浮軸承，表2是3組超聲懸浮軸承機構尺寸，圖8是超聲懸浮軸承實物照片。

表2 超聲懸浮軸承樣機的尺寸參數Tab.2 Size parameters of ultrasonic suspension bearing prototype

圖8 超聲懸浮軸承樣機Fig.8 Ultrasonic suspension bearing prototype

超聲懸浮軸承徑向振幅測量的實驗設備有信號發生器、壓電陶瓷控制器和激光位移傳感器，測量實驗現場如圖9所示。調節AFG-2225型信號發生器輸出正弦交流電壓信號并設置頻率。信號經E00.D3型壓電陶瓷控制器放大一定倍數，頻率不變。放大后的電壓信號經連接器和導線輸送到軸承圓筒外表面的壓電陶瓷片，此時軸承在正弦交流信號的驅動下振動。將軸承通過夾持裝置固定在隔震測量平臺上，調節傳感器激光發射源與軸承表面測量點間距到要求的測量距離后，對軸承表面測量點的振幅進行測量，通過信號采集軟件讀取軸承的徑向振動位移數據，如圖10所示。

圖9 徑向振動振幅測試Fig.9 Radial vibration amplitude test

圖10 徑向振動振幅信號采集Fig.10 Acquisition of radial vibration amplitude signal

在75 V電壓下，分別對3組超聲懸浮軸承的壓電陶瓷片施加3～60 k Hz的正弦電壓信號，并對每個軸承的振幅進行多次測量，測得的最大振幅隨激振頻率的變化如圖11所示。

由圖11可以看出，實驗組振幅在27.21 k Hz處出現峰值，峰值振幅為0.38μm；對照組A振幅在45.32 kHz處出現峰值，峰值振幅為0.18μm；對照組B振幅在17.10 kHz處出現峰值，峰值振幅為0.42μm。將優化尺寸軸承的測試結果與理論計算值進行對比，結果如表3所示。

表3 理論值與實驗測量結果對比Tab.3 Comparison of theoretical value and experimental measurement result

圖11 振幅隨激振頻率的變化Fig.11 Amplitude changes with excitation frequency

由表3可知，理論計算值與實驗測量結果存在誤差，但誤差在合理范圍內。造成振幅誤差的原因主要是環境噪聲振動。引起頻率誤差的原因主要是測量時軸承圓筒的夾持方式、裝夾位置和夾緊力不同對軸承的固有頻率產生了一定的影響。從實驗測試結果可以看出，3組尺寸中振幅最大的是對照組B，諧振頻率最大的是對照組A。對照組A雖然振幅較大但其諧振頻率較低，對照組B雖然諧振頻率較大但是振幅較小。實驗組為優化尺寸，在振幅和頻率之間取得了平衡，振幅值和頻率值均有較滿意的結果。

然后，對3組超聲懸浮軸承的徑向懸浮力進行測量和對比。實驗現場如圖12所示，實驗設備有信號發生器、壓電陶瓷控制器、光電計時器和精密天平。

圖12 徑向懸浮力測試實驗Fig.12 Radial suspension force test experiment

假設軸承工作時軸固定不動，此時圓筒殼體內表面和軸的外柱面可近似視為兩個擠壓面，在高頻交流電壓的作用下壓電片帶動軸承圓筒內壁振動，擠壓圓筒與軸圓柱面間的空氣形成擠壓膜。由于樣機產生的氣膜厚度較小，一般在微米級，很難直接判斷軸承是否完全脫離了軸面，因此直接測量軸承最大徑向懸浮力存在很大困難。為此設計了測力實驗臺，通過觀察和測量軸承與斜面之間的摩擦狀態來間接測量承載力。實驗時不斷調整傾斜軸與水平面之間的夾角，當軸承對傾斜軸的正壓力與懸浮力大小相等方向相反時，即可以近似認為軸承實現了無摩擦懸浮，此時軸承滑下加速度約等于重力加速度。軸承下滑加速度通過光電計時器測出，軸承和負載的質量通過精密天平測出，軸承對傾斜軸的正壓力通過軸承和負載的重力、傾斜軸與水平面的夾角簡單計算得出。

3組軸承傾斜軸下滑測量徑向懸浮力實驗結果如表4所示。由實驗結果可以看出，實驗組優化尺寸軸承對氣膜的擠壓效率最高、形成的徑向懸浮力最大，說明前文使用的優化方法是正確、有效的。

表4 徑向懸浮力測量實驗結果Tab.4 Experimental results of radial levitation force mea?surement

5 結 論

本文設計了一種壓電片驅動的徑向包容式超聲懸浮軸承結構，建立了軸承圓筒殼體結構的多目標優化數學模型，并將NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法應用于結構優化設計中。通過Matlab編程計算，實現了諧振頻率和撓度兩目標的優化，有效克服了同類型換能器設計時經驗依賴性強的缺陷。利用該優化設計方法，獲得了基體結構參數的最優組合，即圓筒殼體：長40 mm、直徑20 mm、壁厚2 mm。加工制作了3組軸承進行了實驗對比測試，實驗證明優化尺寸軸承在撓度和頻率之間取得了平衡，即振幅值和頻率值均有較滿意的結果，優化后軸承振幅的理論值為0.351 μm，實驗測得的振幅值為0.38μm，誤差為7.63%，諧振頻率的理論值為30.379 kHz，實驗測得的諧振頻率為27.21 k Hz，誤差為11.64%。通過軸承徑向懸浮力測量實驗，發現優化尺寸軸承對氣膜的擠壓效率最高，形成的徑向懸浮力最大可達1.28 N，提高了超聲懸浮軸承在高頻振動下的承載能力，為高效超聲懸浮軸承設計奠定了基礎。