在指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力教學(xué)案例

田慶豐

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。

在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題;能夠針對(duì)問題建立數(shù)學(xué)模型;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。

教學(xué)目標(biāo)

1.利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)差異;（重點(diǎn)）

2.結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升，指數(shù)爆炸，不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的意義;

3.會(huì)分析具體的實(shí)際問題，能夠建模解決實(shí)際問題. （難點(diǎn)）

教學(xué)過程

（一）問題描述：

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元;

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元;

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

（二）問題分析：

依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？

（三）模型假設(shè)模型建立

如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？

設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則

方案一可以用函數(shù) y=40 （xN） 進(jìn)行描述;

方案二可以用函數(shù) y=10x （xN） 進(jìn)行描述;

方案三可以用函數(shù) y= （xN） 進(jìn)行描述.

（四）模型分析求解評(píng)價(jià)

三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？

要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，如何分析？

方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同.

可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無法企及的，從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多;第9天開始 ，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.

下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：

結(jié)論：投資1～6天，應(yīng)選擇方案一;投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二;投資8 ～ 10天，應(yīng)選擇方案二;投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三.

（五）課堂練習(xí)

1.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么下輪病毒發(fā)作時(shí)，這臺(tái)計(jì)算機(jī)都可能感染沒被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī)。現(xiàn)在10臺(tái)計(jì)算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時(shí)被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時(shí)可能有多少臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染？

（解析：10×204=1 600 000）

2.以v0 m/s的速度豎直向上運(yùn)動(dòng)的物體，t s后的高度h m滿足h=v0t-4.9t2，速度v m/s滿足v=v0-9.8t.現(xiàn)以75 m/s的速度向上發(fā)射一發(fā)子彈，問子彈保持在100 m 以上的 高度有多少秒？在此過程中，子彈速度大小的范圍是多少？

（解析：子彈保持在100米以上高度的時(shí)間是12.35秒，在此過程中，子彈速度大小范圍是v[0，60.496））.

3.A、B兩城相距100 km，某天燃?xì)夤居?jì)劃在兩地之間建一天燃?xì)庹綝 給A、B兩城供氣. 已知D地距A城x km，為保證城市安全，天燃?xì)庹揪鄡沙鞘械木嚯x均不得少于10km.已知建設(shè)費(fèi)用y （萬元）與A、B兩地的供氣距離（km）的平方和成正比，當(dāng)天燃?xì)庹綝距A城的距離為40 km時(shí)， 建設(shè)費(fèi)用為1 300萬元.（供氣距離指天燃?xì)庹揪嗟匠鞘械木嚯x）（1）把建設(shè)費(fèi)用y（萬元）表示成供氣距離x （km）的函數(shù)，并求定義域;（2）天燃?xì)夤庹窘ㄔ诰郃城多遠(yuǎn)，才能使建設(shè)供氣費(fèi)用最小，最小費(fèi)用是多少？

當(dāng)x=50時(shí)，y有最小值為1 250萬元.

所以當(dāng)供氣站建在距A城50km， 建設(shè)費(fèi)用最小，最小值1 250萬元.

學(xué)生體驗(yàn)：通過實(shí)例和計(jì)算機(jī)作圖體會(huì)、認(rèn)識(shí)直線上升、指數(shù)爆炸、等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)的含義，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)建模研究，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)建模過程和建模結(jié)果的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐的能力.教師要注意對(duì)于學(xué)生建模的指導(dǎo)，包括對(duì)于實(shí)際問題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決建模中出現(xiàn)的一些問題.